Simulare Evaluare Națională 2023 matematică — subiectele rezolvate

Rezolvare: Un număr este divizibil cu 10 dacă ultima cifră este 0, deci $x=0$.
Numărul este $\overline{17x}=170$.

Capcana tipică: 17 și 70 nu au forma $\overline{17x}$ (trei cifre, primele două 1 și 7), iar 100 nici atât.

Rezolvare: $20\mathrm{\%}$ din 50 $=\frac{20}{100}\cdot 50=10$.

Capcana tipică: 20 este procentul, nu rezultatul.

Rezolvare: Numerele întregi din $[-2,3]$ sunt $-2,-1,0,1,2,3$ (capetele sunt incluse).
$(-2)+2=0$, $(-1)+1=0$, deci suma este $0+3=3$.

Capcana tipică: Parantezele pătrate includ capetele −2 și 3 în interval.

Rezolvare: Inversul lui $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$: inversul lui $\frac{2}{3}$ este $\frac{3}{2}$.
Verificare: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$.

Capcana tipică: $-\frac{2}{3}$ este opusul lui $\frac{2}{3}$, nu inversul.

Rezolvare: $m_g=\sqrt{xy}$, iar $xy=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
$=9-8=1$, deci $m_g=\sqrt{1}=1$ — George.

Capcana tipică: 3 este media aritmetică a numerelor, nu media geometrică.

Rezolvare: $4=\sqrt{16}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$.
$\sqrt{16}<\sqrt{20}$, deci $4<2\sqrt{5}$: afirmația este falsă.

Capcana tipică: Compară numerele după ce le scrii pe amândouă sub radical.

Rezolvare: C este simetricul lui B față de A: $CA=AB=5$ cm, deci $CB=10$ cm.
D este simetricul lui C față de B: $BD=CB=10$ cm.
$CD=CB+BD=20$ cm.

Capcana tipică: 10 cm este CB; D se ia simetric față de B, nu față de A.

Rezolvare: Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: $\mathrm{\angle }BOD=\mathrm{\angle }AOC={30}^{\circ }$.
$\mathrm{\angle }BOC={180}^{\circ }-{30}^{\circ }={150}^{\circ }$, iar OE bisectoare: $\mathrm{\angle }BOE={75}^{\circ }$.
$\mathrm{\angle }DOE=\mathrm{\angle }BOE+\mathrm{\angle }BOD$
$={75}^{\circ }+{30}^{\circ }={105}^{\circ }$.

Capcana tipică: 75° este doar unghiul BOE.

Rezolvare: Segmentele care unesc mijloacele laturilor sunt linii mijlocii: $MN=\frac{AC}{2}$, $NP=\frac{AB}{2}$, $MP=\frac{BC}{2}$.
$P_{MNP}=\frac{12+13+7}{2}=\frac{32}{2}=16$ cm.

Capcana tipică: 32 cm este perimetrul triunghiului ABC.

Rezolvare: Triunghiurile ACB și ADB sunt dreptunghice, cu ipotenuza comună AB.
Mediana pe ipotenuză: $MC=MD=\frac{AB}{2}$, deci triunghiul MCD este isoscel.
$\mathrm{\angle }MDC=\mathrm{\angle }MCD={40}^{\circ }$, deci $\mathrm{\angle }CMD={180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$.

Capcana tipică: Cheia este mediana în triunghiul dreptunghic, egală cu jumătate din ipotenuză.

Rezolvare: BC este diametru, deci arcul mic AB are ${180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$.
$\mathrm{\angle }ACB$ este unghi înscris care cuprinde arcul AB:
$\mathrm{\angle }ACB=\frac{{60}^{\circ }}{2}={30}^{\circ }$.

Capcana tipică: Unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins; 60° este arcul, nu unghiul.

Rezolvare: Generatoarele sunt egale ($VA=VB$), deci triunghiul VAB este dreptunghic isoscel; $AB=2\cdot AO=8$ cm.
$VA=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$ cm.
(Sau: $VO=AO=4$ cm și $VA=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$ cm.)

Capcana tipică: 8 cm este diametrul bazei, nu generatoarea.

a) În 16 apartamente cu patru camere ar fi $16\cdot 4=64$ de camere. Cum în tot blocul sunt doar 60 de camere și $64>60$, nu este posibil ca blocul să aibă 16 apartamente cu patru camere.

b) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu două camere; atunci $22-x$ apartamente au patru camere:

În bloc sunt 14 apartamente cu două camere (verificare: $14\cdot 2+8\cdot 4=28+32=60$).

a) Folosim $x^2-16=(x-4)(x+4)$.

Împărțirea devine înmulțire cu inversa:

b) Pentru $n$ natural, $n\ne 4$: $E(n)=\frac{7}{2n-3}$. Ca $E(n)$ să fie număr natural, $2n-3$ trebuie să fie divizor natural al lui 7 (pentru $n=0$ și $n=1$ numitorul e negativ, iar $E(n)$ nu e natural), deci $2n-3=1$ sau $2n-3=7$. Obținem $n=2$ sau $n=5$, care convin ($E(2)=7$, $E(5)=1$).

a) La împărțirea puterilor cu aceeași bază se scad exponenții:

b) $(0,5{)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=4$, deci

Media aritmetică este $\frac{a+b}{2}=\frac{4+2}{2}=3$.

a) Ducem $BP\perp AC$, P ∈ AC. Triunghiul BPC este dreptunghic în P, cu m(∢BCP) = 30°, deci cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: $BP=\frac{BC}{2}=5$ cm. Aria triunghiului ABC este

b) Triunghiurile CBD și CAB au unghiul C comun și ∢CBD ≡ ∢CAB, deci △CBD ∼ △CAB (cazul U.U.). Rezultă

deci CD = 5 cm.

a) Triunghiul ABE este dreptunghic isoscel (cu unghiul drept în B), deci m(∢BAE) = 45°. Cum punctele D și E sunt de o parte și de alta a dreptei AB, m(∢DAE) = m(∢DAB) + m(∢BAE) = 45° + 45° = 90°, deci DA ⊥ AE.

b) Fie N punctul de intersecție a dreptelor BC și AE. Cum $BC\parallel AD$ (laturi opuse ale rombului) și $AD\perp AE$, rezultă $BN\perp AE$. În triunghiul dreptunghic isoscel ABE, $AE=10\sqrt{2}$ cm, iar înălțimea BN este și mediană, deci

Punctul B se află între C și N, deci $CN=CB+BN=10+5\sqrt{2}$ cm. În triunghiul ACN, dreptunghic în N:

a) AC este diagonala pătratului ABCD, deci $AC=6\sqrt{2}$ cm și $CP=AC-AP=$ $6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ cm $=2\cdot AP$.

b) Cum $B^{\prime }M\parallel BC$, triunghiurile RB′M și RCB sunt asemenea, deci

Din a) avem $\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$, deci în triunghiul AB′C: $\frac{AP}{PC}=\frac{B^{\prime }R}{RC}$, iar din reciproca teoremei lui Thales $PR\parallel A{B}^{\prime }$. Atunci m(∢(PR, AD′)) = m(∢(AB′, AD′)) = m(∢B′AD′). Segmentele AB′, AD′ și B′D′ sunt diagonale ale fețelor cubului, deci au aceeași lungime $6\sqrt{2}$ cm: triunghiul AB′D′ este echilateral, iar măsura unghiului dreptelor PR și AD′ este 60°.