Subiectul de rezervă de la Evaluarea Națională 2024 la matematică (clasa a VIII-a, Varianta 2) este varianta de siguranță pregătită pentru proba din 27 iunie 2024: se folosește doar dacă subiectul extras nu poate fi dat, iar după examen ministerul îl publică oficial, cu barem. Are aceeași structură și dificultate ca subiectul de examen, deci este un test suplimentar excelent — mai jos îl găsești rezolvat complet: 12 itemi grilă și 6 probleme din Subiectul al III-lea, pas cu pas, conform baremului. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Ce este subiectul de rezervă? La fiecare probă a Evaluării Naționale, pe lângă varianta extrasă pentru examen, se stabilește și o variantă de rezervă, care ar înlocui subiectul principal în situații excepționale (de exemplu, dacă acesta ar fi compromis). Ea este elaborată de aceeași comisie, după aceeași programă și același model, iar după probă este publicată alături de subiectul dat la examen.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate de Ministerul Educației (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație — CNPEE) pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Subiecte și bareme EN 2024 (arhiva EN_VIII_2024_Matematica_rezerva.zip (copie arhivată), cu fișierele ENVIII_Matematica_2024_var_02_LRO.pdf și ENVIII_Matematica_2024_bar_02_LRO.pdf). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. Subiectul dat efectiv la examen îl găsești rezolvat pe pagina Evaluare Națională 2024 matematică — subiectele rezolvate.
Rezolvare: Întâi paranteza: \(4 - 2 = 2\); apoi împărțirea: \(14 : 2 = 7\); la final scăderea: \(14 - 7 = 7\).
Capcana tipică: Dacă efectuezi scăderea \(14 - 14\) înaintea împărțirii, obții greșit 0.
Rezolvare: Din proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: \(a \cdot b = 6 \cdot 2 = 12\). Atunci \(\frac{a \cdot b}{a \cdot b + 1} = \frac{12}{13}\).
Capcana tipică: Nu este nevoie să afli separat \(a\) și \(b\) — contează doar produsul lor.
Rezolvare: \(15 = 1 \cdot 15 = 3 \cdot 5\), deci divizorii naturali sunt 1, 3, 5 și 15.
Capcana tipică: Nu uita divizorii improprii 1 și 15; iar 0 nu este divizor al niciunui număr.
Rezolvare: \(x^2 = 4\), deci \(x = 2\) sau \(x = -2\). Mulțimea soluțiilor este \(\{-2, 2\}\).
Capcana tipică: Ecuația \(x^2 = 4\) are două soluții reale; \(\{2\}\) pierde soluția negativă.
Patru elevi, George, Anca, Marius și Alina, ordonează crescător numerele \(a = \frac{2}{3}\), \(b = 0{,}5\), \(c = 0{,}1(3)\) și \(d = \frac{1}{4}\). Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| George | Anca | Marius | Alina |
|---|---|---|---|
| \(d \lt c \lt b \lt a\) | \(c \lt d \lt a \lt b\) | \(c \lt d \lt b \lt a\) | \(d \lt b \lt a \lt c\) |
Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
Rezolvare: Scriem numerele ca zecimale: \(a = 0{,}666\ldots\), \(b = 0{,}5\), \(c = 0{,}133\ldots\), \(d = 0{,}25\). Ordinea crescătoare este \(c \lt d \lt b \lt a\) — răspunsul lui Marius.
Capcana tipică: \(0{,}1(3) = 0{,}1333\ldots\) este mai mic decât \(0{,}25\); nu te lăsa păcălit de cifra 3 din perioadă.
Rezolvare: Peste 3 ani fiecare fată va fi mai mare cu 3 ani, deci suma vârstelor crește cu \(2 \cdot 3 = 6\) ani: \(28 + 6 = 34\) de ani, nu 31. Afirmația este falsă.
Capcana tipică: Cei 3 ani se adaugă la vârsta fiecărei persoane, nu o singură dată la sumă.
Rezolvare: Numerele consecutive cu BC = 7 la mijloc sunt 6, 7, 8: AB = 6 cm, CD = 8 cm. MB = 3 cm, deci MD = MB + BC + CD = 3 + 7 + 8 = 18 cm.
Capcana tipică: 21 cm este lungimea întregului segment AD; M este mijlocul lui AB, deci se scade jumătate din AB.
Rezolvare: Dreptele a și b sunt paralele, iar AB este secantă; unghiurile EAB și ABC sunt alterne interne, deci m(∢DBC) = m(∢DAE) = 67°. În triunghiul DBC, dreptunghic în D, m(∢DCB) = 90° − 67° = 23°.
Capcana tipică: 67° este măsura unghiului DBC, nu a unghiului DCB; 113° este suplementul lui 67°.
Rezolvare: m(∢ABC) = 90° − 75° = 15°. BC este bisectoarea unghiului ABE, deci m(∢ABE) = 2 · 15° = 30°. În triunghiul ABE, dreptunghic în A: m(∢BEA) = 90° − 30° = 60°. Cum C se află pe segmentul AE, ∢BEC = ∢BEA, deci m(∢BEC) = 60°.
Capcana tipică: 30° este măsura unghiului ABE; 105° este măsura unghiului BCE (suplementul lui 75°).
Rezolvare: Diagonalele dreptunghiului sunt egale: AC = BD = 20 cm. Aria unui patrulater convex se poate calcula cu diagonalele: \(\mathcal{A} = \frac{AC \cdot BD \cdot \sin 30°}{2}\) \(= \frac{20 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}}{2} = 100\) cm². (Altfel: OA = OB = 10 cm, aria triunghiului AOB este \(\frac{10 \cdot 10 \cdot \sin 30°}{2} = 25\) cm², iar diagonalele împart dreptunghiul în 4 triunghiuri de arii egale: \(4 \cdot 25 = 100\) cm².)
Capcana tipică: 25 cm² este aria unui singur triunghi AOB; 200 cm² se obține dacă uiți factorul \(\sin 30° = \frac{1}{2}\).
Rezolvare: Raza este OA = 25 cm. Diametrul perpendicular pe coardă o înjumătățește: AE = 15 cm. În triunghiul AEO, dreptunghic în E: \(OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\) cm.
Capcana tipică: 15 cm este AE (jumătate din coardă); nu uita că OA este raza (25 cm), nu diametrul.
Rezolvare: În triunghiul VOA, dreptunghic în O: \(r = OA = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\) cm. Volumul: \(V = \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 8}{3} = 96\pi\) cm³.
Capcana tipică: Dacă uiți împărțirea la 3 obții \(288\pi\) cm³; \(60\pi\) cm² este aria laterală \(\pi r g\), nu volumul.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) 205 bilete pentru adulți ar aduce \(205 \cdot 25 = 5125\) de lei. Ar rămâne \(5150 - 5125 = 25\) de lei pentru cele \(225 - 205 = 20\) de bilete pentru copii, care ar costa însă \(20 \cdot 20 = 400\) de lei. Mai simplu: 25 nu este multiplu de 20, deci nu au fost vândute 205 bilete pentru adulți.
b) Notăm cu \(n\) numărul biletelor pentru copii; biletele pentru adulți sunt \(225 - n\):
\[25(225 - n) + 20n = 5150\]\[5625 - 5n = 5150\]\[5n = 475 \Rightarrow n = 95.\]S-au vândut 95 de bilete pentru copii (verificare: \(130 \cdot 25 + 95 \cdot 20 = 3250 + 1900 = 5150\)).
a) Aducem la numitorul comun \((x-2)(x+2)\):
\[\frac{2}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{2(x+2) + x(x-2)}{(x-2)(x+2)}\]\[= \frac{x^2 + 4}{(x-2)(x+2)}.\]b) Cum \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\),
\[E(x) = \frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{x^2+4} = \frac{x+2}{x-2}.\]Atunci \(N = \frac{n+2}{n-2} - 1 = \frac{4}{n-2}\). Pentru ca N să fie număr natural, \(n - 2\) trebuie să fie divizor natural (pozitiv) al lui 4: \(n - 2 \in \{1, 2, 4\}\), adică \(n \in \{3, 4, 6\}\) (obținem N = 4, 2, respectiv 1). Pentru \(n = 0\) sau \(n = 1\), N este negativ.
a) \(f(1) = 3\) și \(f(4) = 6\), deci \(2 \cdot f(1) = 6 = f(4)\).
b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = -2\), deci \(A(-2, 0)\); \(f(0) = 2\), deci \(B(0, 2)\). Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu OA = OB = 2, deci \(AB = 2\sqrt{2}\).
Fie \(MN \perp AB\), \(N \in AB\). Punctul M se află pe axa Ox, deci \(MA = 4 - (-2) = 6\), iar înălțimea triunghiului ABM din B este \(BO = 2\). Scriind aria triunghiului ABM în două moduri:
\[\frac{MN \cdot AB}{2} = \frac{MA \cdot BO}{2} \Rightarrow MN = \frac{6 \cdot 2}{2\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.\]Distanța de la M la dreapta AB este \(3\sqrt{2}\).
a) \(MN \parallel AD\) și \(AD \perp AB\), deci \(MN \perp AB\): unghiurile ANM și MNB sunt drepte. Bisectoarele lor dau m(∢PNM) = 45° și m(∢MNQ) = 45°, deci m(∢PNQ) = 45° + 45° = 90°.
b) Triunghiul PAN este dreptunghic în A, cu m(∢ANP) = 45°, deci isoscel: AP = AN. Analog, triunghiul NBQ este dreptunghic isoscel: BQ = NB. Atunci
\[DP = AD - AP = AB - AN = NB = BQ.\]Cum \(DP \parallel BQ\) (AD ∥ BC) și DP = BQ, patrulaterul DPBQ este paralelogram. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc: O este mijlocul diagonalei DB (diagonalele pătratului), deci O este și mijlocul diagonalei PQ. Așadar punctele P, O și Q sunt coliniare.
a) AD = 2 cm. Ducem \(CM \perp AB\), \(M \in AB\); ADCM este dreptunghi, deci CM = AD = 2 cm. În triunghiul CMB, dreptunghic în M, m(∢MBC) = 30°, iar cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: BC = 2 · CM = 4 cm.
b) BC = AB = 4 cm, deci triunghiul ABC este isoscel, cu m(∢CAB) = m(∢BCA) = \(\frac{180° - 30°}{2}\) = 75°.
AE este diagonală în pătratul ABEF, deci m(∢BAE) = 45° și m(∢CAE) = 75° + 45° = 120°.
În jurul punctului B: m(∢EBG) = 360° − 90° − 30° − 90° = 150°, iar BE = AB = 4 cm = BC = BG, deci triunghiul EBG este isoscel și m(∢BEG) = \(\frac{180° - 150°}{2}\) = 15°. Atunci m(∢AEG) = m(∢AEB) + m(∢BEG) = 45° + 15° = 60°.
Cum m(∢CAE) + m(∢AEG) = 120° + 60° = 180°, unghiurile sunt interne de aceeași parte a secantei AE, deci AC ∥ EG.
AE și CG sunt diagonale în pătrate de latură 4 cm: \(AE = CG = 4\sqrt{2}\) cm, iar AE și CG nu sunt paralele. Un patrulater cu o pereche de laturi paralele și laturile neparalele congruente (fără să fie paralelogram) este trapez isoscel.
a) \(\mathcal{V} = AB^3 = 8^3 = 512\) cm³.
b) Fie P mijlocul muchiei DC. Avem \(OP \perp DC\) (O este centrul pătratului ABCD) și \(MP \perp DC\) (triunghiul MDC este isoscel, MD = MC, iar MP este mediană). Dreptele MP și OP sunt concurente în P, deci \(DC \perp (MOP)\).
Fie \(ON \perp MP\), \(N \in MP\). Cum \(ON \subset (MOP)\), avem și \(ON \perp DC\). Dreptele MP și DC sunt concurente și incluse în planul (CMD), deci \(ON \perp (CMD)\) și \(d(O, (CMD)) = ON\).
În planul (MOP): OP = 4 cm (jumătate din latură), distanța de la M la dreapta OP este muchia cubului, 8 cm, iar \(MP = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}\) cm (M se proiectează în mijlocul lui AB, la 8 cm de P). Scriind aria triunghiului MOP în două moduri:
\[\frac{ON \cdot MP}{2} = \frac{OP \cdot 8}{2} \Rightarrow ON = \frac{4 \cdot 8}{8\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ cm}.\]| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.6 | Ordinea operațiilor, proporții, divizori, ecuația \(x^2 = a\), compararea numerelor raționale, probleme cu vârste | Fracții |
| III.1 | Probleme rezolvate cu ecuații | Procente |
| III.2 | Rapoarte algebrice, divizori | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, distanța de la un punct la o dreaptă | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Segmente, unghiuri cu paralele, bisectoare, aria dreptunghiului cu diagonale, coarda și diametrul, pătratul, trapezul isoscel | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul |
| II.6, III.6 | Volumul conului, cubul, distanța de la un punct la un plan | Conul · Cubul · Dreapta perpendiculară pe plan |
Din același an: subiectul de examen EN 2024 rezolvat și modelul EN 2024 rezolvat. Alte subiecte de rezervă rezolvate: rezerva EN 2023, rezerva EN 2025, rezerva EN 2026. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Ce este subiectul de rezervă la Evaluarea Națională 2024 la matematică? Este varianta oficială de siguranță (Varianta 2), pregătită pentru proba de matematică din 27 iunie 2024 și folosită doar dacă subiectul principal nu poate fi dat. După probă a fost publicată de minister, împreună cu baremul, pe subiecte.edu.ro.
Este subiectul de rezervă mai ușor sau mai greu decât cel de la examen? Are aceeași structură (Subiectul I și Subiectul II cu câte 6 itemi grilă, Subiectul III cu 6 probleme cu punctele a) de 2 puncte și b) de 3 puncte) și același nivel de dificultate, pentru că ar trebui să poată înlocui oricând subiectul principal. De aceea este unul dintre cele mai bune teste de exersare.
Cum se punctează subiectul de rezervă EN 2024? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral. Se adaugă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din subiectul de rezervă EN 2024? Subiectul I: 1b, 2a, 3c, 4b, 5c, 6b. Subiectul II: 1c, 2a, 3c, 4c, 5a, 6b — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2027) · Calculator medie admitere liceu
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE (din 2025 Ministerul Educației și Cercetării / CNCE), preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.