Evaluare Națională 2026 matematică — subiectele rezolvate complet

Rezolvare: Înmulțirea se face prima: 2 · 5 = 10, apoi 12 − 10 = 2.

Capcana tipică: Dacă scazi întâi (12 − 2 = 10) și apoi înmulțești cu 5, obții greșit 50.

Rezolvare: 40% din 250 = 40/100 · 250 = 100 de băieți.

Capcana tipică: 150 este numărul fetelor (60%), nu al băieților.

Rezolvare: Opusul lui 10 este −10, deci 10 + (−10) = 0.

Capcana tipică: Nu confunda opusul (−10) cu inversul (1/10): 10 + 1/10 = 101/10 este răspunsul-capcană.

Rezolvare: Fracție periodică simplă: 1,(2) = (12 − 1)/9 = 11/9. Verificare: 1,(2) = 1 + 0,(2) = 1 + 2/9 = 11/9.

Capcana tipică: 6/5 = 1,2 este fracția zecimală finită, nu cea periodică; perioada se împarte la 9, nu la 10.

Rezolvare: Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: 2x = (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4, deci x = 2. Răspunsul 2 a fost dat de Andreea.

Capcana tipică: (√5 − 1)(√5 + 1) este diferența de pătrate: (√5)² − 1² = 4. Nu uita să împarți la 2.

Rezolvare: Cea mai scurtă bară din diagramă este cea din martie (500 de mașini), mai mică decât în ianuarie (1000), februarie (2000) și aprilie (2500). Afirmația este adevărată.

Capcana tipică: Citește înălțimea fiecărei bare pe axa verticală; nu compara doar cu luna vecină.

Rezolvare: C este mijlocul lui AD, deci AC = 6 : 2 = 3 cm. BC = AC − AB = 3 − 1 = 2 cm.

Capcana tipică: 3 cm este AC, nu BC; scade AB.

Rezolvare: AB ∥ CD, iar AC este secantă. B și D sunt de o parte și de alta a secantei, deci unghiurile CAB și ACD sunt alterne interne: m(∢CAB) = m(∢DCA) = 80°. Unghiurile EAB și CAB sunt adiacente suplementare (E, A, C coliniare), deci m(∢EAB) = 180° − 80° = 100°.

Capcana tipică: 80° este unghiul CAB; unghiul cerut, EAB, este suplementul lui.

Rezolvare: Mediana AD împarte triunghiul ABC în două triunghiuri de arii egale: A(ADC) = A(ABC)/2. G se află pe AD cu GD = AD/3, iar triunghiurile DGC și ADC au aceeași înălțime din C, deci A(DGC) = A(ADC)/3 = A(ABC)/6. Rezultă A(ABC) = 6 · 15 = 90 cm².

Capcana tipică: G împarte mediana în raportul 2 : 1 de la vârf, deci DG este o treime din AD, nu jumătate.

Rezolvare: BD ⊥ BC, deci BD este înălțimea paralelogramului corespunzătoare bazei BC. A(ABCD) = BC · BD = 12 cm². (Echivalent: diagonala BD împarte paralelogramul în două triunghiuri dreptunghice congruente, fiecare cu aria BD · BC / 2 = 6 cm².)

Capcana tipică: 6 cm² este aria unui singur triunghi, BCD; paralelogramul are dublul ei.

Rezolvare: Unghiurile BAC și BDC sunt înscrise în cerc și cuprind același arc BC, deci m(∢BAC) = m(∢BDC) = 40°. AC este diametru, deci m(∢ABC) = 90° (unghi înscris în semicerc). În triunghiul ABC: m(∢BCA) = 180° − 90° − 40° = 50°.

Capcana tipică: 40° este unghiul BAC; unghiul cerut este complementul lui, pentru că triunghiul ABC este dreptunghic în B.

Rezolvare: Baza este pătratul ABCD, cu aria A_b = 4² = 16 cm². V = A_b · h / 3 = 16 · 6 / 3 = 32 cm³.

Capcana tipică: Fără împărțirea la 3 obții 96 cm³ — acela ar fi volumul prismei cu aceeași bază și înălțime.

a) Notăm cu \(n\) numărul copiilor. Prețul mingii este \(18n + 30\). Dacă \(18n + 30 = 153\), atunci \(18n = 123\), adică \(n = \frac{123}{18}\), care nu este număr natural. Deci nu este posibil ca mingea să coste 153 de lei.

b) Prețul mingii se scrie și \(24n - 12\). Din \(18n + 30 = 24n - 12\) obținem \(6n = 42\), deci \(n = 7\) copii. Mingea costă \(18 \cdot 7 + 30 = 156\) de lei (verificare: \(24 \cdot 7 - 12 = 156\)).

a) Aducem la numitorul comun \((x-2)(x-3)\):

b) \(E(4) = \frac{4-2}{4-3} = 2\), deci \(A = 2^n + 2^{n+3} = 2^n(1 + 2^3) = 9 \cdot 2^n\). Cum \(n \ge 1\), \(2^n\) este divizibil cu 2, deci \(A = 9 \cdot 2^n\) este divizibil cu \(9 \cdot 2 = 18\).

a) \(f(1) = 3 - 6 = -3\), \(f(3) = 9 - 6 = 3\), deci \(f(1) + f(3) = -3 + 3 = 0\).

b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 2\), deci \(A(2, 0)\); \(f(0) = -6\), deci \(B(0, -6)\). Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele OA = 2 și OB = 6, deci \(AB = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\). OM este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci \(OM = \frac{AB}{2} = \sqrt{10}\).

a) Triunghiul AOB este isoscel (OA = OB = 6 cm), iar OM este mediană, deci și înălțime: OM ⊥ AB. În triunghiul dreptunghic AMO: \(AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) cm.

b) Fie BE un diametru al cercului (E pe cerc). Unghiurile BAE și BDE sunt înscrise în semicerc, deci m(∢BAE) = m(∢BDE) = 90°. Atunci AE ⊥ AB și, cum CD ⊥ AB, rezultă AE ∥ CD. Coardele paralele AE și CD determină arce congruente AC și DE, deci AC = DE. În triunghiul BDE, dreptunghic în D: \(DE^2 + BD^2 = BE^2\), adică \(AC^2 + BD^2 = 12^2 = 144\) cm².

a) DN ∥ AT și DN = AT = 5 cm (jumătăți ale laturilor opuse CD și AB), deci ATND este paralelogram. \(P_{ATND} = 2 \cdot AT + 2 \cdot AD = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 = 26\) cm.

b) Fie S punctul de intersecție a dreptelor AM și NT. Cum ATND este paralelogram, TN ∥ AD ∥ BC și TN = AD = 8 cm. În triunghiul ABM, T este mijlocul lui AB și ST ∥ BM, deci ST este linie mijlocie: \(ST = \frac{BM}{2} = 2\) cm și S este mijlocul lui AM. Atunci SN = 8 − 2 = 6 cm. Din SN ∥ BM rezultă △QNS ∼ △QBM, deci \(\frac{QS}{QM} = \frac{SN}{BM} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\), de unde \(\frac{SM}{QM} = \frac{QS + QM}{QM} = \frac{5}{2}\). Cum \(AM = 2 \cdot SM\), obținem \(\frac{AM}{QM} = 5\), deci \(\frac{AQ}{QM} = 4\).

a) \(A_\ell = 4 \cdot AB \cdot AA' = 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2}\) cm².

b) Fie O intersecția diagonalelor AC și BD. BD ⊥ AC și BD ⊥ AA′; cum AC ∩ AA′ = {A}, rezultă BD ⊥ (AA′C), planul care conține și punctele A′, C′, O. Ducem A′P ⊥ C′O, P ∈ C′O. Cum A′P ⊂ (AA′C), avem A′P ⊥ BD; și cum C′O ∩ BD = {O}, rezultă A′P ⊥ (C′BD), deci d(A′, (C′BD)) = A′P.

În dreptunghiul AA′C′C: \(A'C' = 4\sqrt{2}\) cm, iar distanța de la O la A′C′ este \(AA' = 4\sqrt{2}\) cm, deci \(\mathcal{A}_{A'OC'} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 16\) cm². \(CO = \frac{AC}{2} = 2\sqrt{2}\) cm, deci \(C'O = \sqrt{CO^2 + CC'^2} = \sqrt{8 + 32} = 2\sqrt{10}\) cm. Din \(\mathcal{A}_{A'OC'} = \frac{A'P \cdot C'O}{2}\) obținem \(A'P = \frac{2 \cdot 16}{2\sqrt{10}} = \frac{16}{\sqrt{10}} = \frac{8\sqrt{10}}{5}\) cm.