Simulare Evaluare Națională 2024 matematică

Subiectele oficiale de la Simularea Evaluării Naționale 2024 la matematică, itemii de tip grilă rezolvați pas cu pas, cu răspunsul corect și greșelile frecvente. Sunt 12 itemi grilă (Subiectul I și Subiectul II) și 6 probleme cu rezolvare completă (Subiectul al III-lea), rezolvate după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 52 − 2 · (25 − 5) este:

12 ✓ răspuns corect
92
100
1000

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Întâi paranteza: $25 - 5 = 20$ .
Apoi înmulțirea: $2 \cdot 20 = 40$ .
La final scăderea: $52 - 40 = 12$ .

Capcana tipică: Dacă faci întâi $52 - 2 = 50$ și apoi înmulțești cu 20, obții greșit 1000.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Dacă (x − 2)/5 = y/3, atunci rezultatul calculului 3x − 5y este:

0
2
5
6 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor:
$3 (x - 2) = 5 y$ , adică $3 x - 6 = 5 y$ .
Deci $3 x - 5 y = 6$ .

Capcana tipică: Dacă uiți să înmulțești și pe 2 cu 3 ( $3 x - 2 = 5 y$ ), obții greșit 2.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și B = {0, 2, 4, 6, 8}. Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea:

{0, 2, 4, 6, 8}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
{2, 4, 6} ✓ răspuns corect
{0, 2, 4, 6}

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Intersecția conține elementele comune ambelor mulțimi: 2, 4 și 6.
$A \cap B = {2, 4, 6}$ .

Capcana tipică: 0 și 8 sunt doar în B, iar varianta B este reuniunea $A \cup B$ , nu intersecția.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației 2x + 2 ≥ 4 este:

(−∞, −1]
(−∞, 1]
[−1, +∞)
[1, +∞) ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $2 x + 2 \geq 4 \Rightarrow 2 x \geq 2$
$\Rightarrow x \geq 1$ , deci $x \in [1, + \infty)$ .

Capcana tipică: Inegalitatea este nestrictă ( $\geq$ ), deci 1 este soluție: intervalul se închide cu paranteză pătrată la 1.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Ana, Ioan, Dana și Vlad, determină numărul a = |2 − 4√3| + 2(√12 + 1). Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt: Ana = 0, Ioan = 4, Dana = 4√3, Vlad = 8√3. Conform informațiilor din tabel, elevul care a determinat corect numărul a este:

Ana
Ioan
Dana
Vlad ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $4 \sqrt{3} = \sqrt{48} > 2$ , deci $2 - 4 \sqrt{3} < 0$
și $| 2 - 4 \sqrt{3} | = 4 \sqrt{3} - 2$ .
$\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ , deci $2 (\sqrt{12} + 1) = 4 \sqrt{3} + 2$ .
$a = 4 \sqrt{3} - 2 + 4 \sqrt{3} + 2 = 8 \sqrt{3}$ — Vlad.

Capcana tipică: Dacă scoți modulul fără să schimbi semnul ( $2 - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 2$ ) obții 4, rezultatul greșit al lui Ioan.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, jumătate din numărul elevilor acestei clase a obținut la testul de matematică cel puțin nota 8." este:

adevărată ✓ răspuns corect
falsă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din diagramă: notele 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 au 1, 3, 6, 5, 5, 6, 4 elevi.
Total: $1 + 3 + 6 + 5 + 5 + 6 + 4 = 30$ de elevi.
Cel puțin nota 8: $5 + 6 + 4 = 15 = \frac{30}{2}$ . Afirmația este adevărată.

Capcana tipică: „Cel puțin nota 8” include și nota 8; fără ea ai număra doar 10 elevi.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât BC = 2AB, CD = 2BC și AB = 2 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB și punctul N este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului MN este egală cu:

4 cm
5 cm
7 cm
9 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $B C = 2 \cdot 2 = 4$ cm, $C D = 2 \cdot 4 = 8$ cm.
M este mijlocul lui AB: $M B = 1$ cm; N este mijlocul lui CD: $C N = 4$ cm.
$M N = M B + B C + C N = 1 + 4 + 4 = 9$ cm.

Capcana tipică: Nu lua jumătate din $A D = 14$ cm (7 cm): M și N sunt mijloacele a două segmente diferite.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente complementare AOB și BOC. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOB și BOC = 3 · AOM. Măsura unghiului AOB este egală cu:

18°
36° ✓ răspuns corect
40°
54°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Fie $∠ A O M = x$ . OM este bisectoare, deci $∠ A O B = 2 x$ , iar $∠ B O C = 3 x$ .
Unghiurile sunt complementare: $2 x + 3 x = 90^{\circ}$ , deci $x = 18^{\circ}$ .
$∠ A O B = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}$ .

Capcana tipică: 18° este măsura lui AOM, iar 54° este măsura lui BOC.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = 10 cm și AC = 12 cm. Semidreapta BI este bisectoarea unghiului ABC și semidreapta CI este bisectoarea unghiului ACB. Paralela prin punctul I la dreapta BC intersectează dreptele AB și AC în punctele D, respectiv E. Perimetrul triunghiului ADE este egal cu:

11 cm
20 cm
22 cm ✓ răspuns corect
24 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $D I ∥ B C \Rightarrow ∠ D I B = ∠ I B C$ (alterne interne) $= ∠ D B I$ (BI bisectoare).
Triunghiul DBI este isoscel: $D I = D B$ . Analog $E I = E C$ .
$P_{A D E} = (A D + D B) + (A E + E C)$
$= A B + A C = 10 + 12 = 22$ cm.

Capcana tipică: Lungimea lui BC nu este dată și nici nu este necesară.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 3√2 cm și triunghiul BEC dreptunghic în E. Punctul F este mijlocul segmentului BC și EF = 4 cm. Aria trapezului AFCD este egală cu:

6√2 cm²
12√2 cm²
18√2 cm² ✓ răspuns corect
24√2 cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: În triunghiul dreptunghic BEC, mediana EF este jumătate din ipotenuză: $B C = 2 \cdot E F = 8$ cm.
Trapezul AFCD are bazele $A D = 8$ cm, $F C = 4$ cm și înălțimea $D C = A B = 3 \sqrt{2}$ cm.
$A = \frac{(8 + 4) \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = 18 \sqrt{2}$ cm².

Capcana tipică: $24 \sqrt{2}$ cm² este aria întregului dreptunghi, nu a trapezului.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 3 cm. Punctul P este situat la o distanță de 6 cm de centrul cercului. Dreptele PA și PB sunt tangente la cerc în punctele A și B. Măsura arcului mic AB este egală cu:

60°
90°
120° ✓ răspuns corect
150°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Tangenta este perpendiculară pe rază: $O A ⊥ P A$ .
În triunghiul dreptunghic OAP, $O A = 3 = \frac{O P}{2}$ , deci $∠ A P O = 30^{\circ}$ și $∠ A O P = 60^{\circ}$ .
Analog $∠ B O P = 60^{\circ}$ , deci $∠ A O B = 120^{\circ}$ = măsura arcului mic AB.

Capcana tipică: 60° este doar unghiul AOP; arcul AB corespunde unghiului la centru AOB.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, VA = AB și O este punctul de intersecție a dreptelor AC și DB. Dacă punctul M este mijlocul segmentului VB, atunci măsura unghiului dreptelor OM și CD este egală cu:

0°
30°
45°
60° ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: O este mijlocul lui BD și M mijlocul lui VB, deci OM este linie mijlocie în triunghiul VBD: $O M ∥ V D$ .
Unghiul dreptelor OM și CD este egal cu $∠ V D C$ .
$V D = V C = C D$ (piramidă regulată cu $V A = A B$ ), deci triunghiul VDC este echilateral: $60^{\circ}$ .

Capcana tipică: Pentru unghiul a două drepte necoplanare se înlocuiește una dintre ele cu o paralelă care intersectează cealaltă dreaptă.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți. a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 53 de cărți. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.

Vezi rezolvarea

a) $53 = 18 \cdot 2 + 17$ , deci restul împărțirii lui 53 la 18 este 17, nu 5. Maria nu poate avea 53 de cărți (chiar dacă la împărțirea la 8 și la 12 restul ar fi 5).

b) Fie $n$ numărul cărților: $n = 8 c_{1} + 5 = 12 c_{2} + 5 = 18 c_{3} + 5$ , deci $n - 5$ este multiplu comun al numerelor 8, 12 și 18. Cum $[8, 12, 18] = 72$ (c.m.m.m.c.), $n = 72 k + 5$ , cu $k$ natural. Valorile posibile sunt 5, 77, 149, 221, …; cel mai mic număr de trei cifre este 149.

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (2 x + 3)^{2} + (x - 2) (x + 2)

- 3 (1 - x) + 2

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (0) = 4

. b) Arată că numărul

N = E (n) + 6

este divizibil cu 10, pentru orice număr natural

n

Vezi rezolvarea

a) $E (0) = (2 \cdot 0 + 3)^{2} + (0 - 2) (0 + 2)$ $- 3 (1 - 0) + 2$ $= 9 - 4 - 3 + 2 = 4$ .

b) Dezvoltăm cu formulele de calcul prescurtat:

E (n) + 6 = 4 n^{2} + 12 n + 9 + n^{2}

- 4 - 3 + 3 n + 2 + 6

= 5 n^{2} + 15 n + 10 = 5 (n^{2} + 3 n + 2)

= 5 (n + 1) (n + 2) .

Numerele $n + 1$ și $n + 2$ sunt naturale consecutive, deci unul dintre ele este par și $(n + 1) (n + 2)$ se divide cu 2. Atunci $N = 5 (n + 1) (n + 2)$ se divide cu $5 \cdot 2 = 10$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numărul natural

\overset{―}{a b c}

, cu

a

b

c

cifre nenule, unde

a = 5 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) - \frac{2}{3} : \frac{1}{3}

și

b = (3 \cdot 3^{2} \cdot 3^{3} \cdot 3^{4}) : 9^{4} - 25^{4} : 5^{7}

. a) Arată că

a = 3

. b) Determină numărul

\overset{―}{a b c}

, știind că numerele

\overset{―}{a c}

și

\overset{―}{c b}

sunt direct proporționale cu numerele 4 și 3.

Vezi rezolvarea

a) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ și $\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ , deci $a = 5 \cdot 1 - 2 = 3$ .

b) $b = 3^{10} : 3^{8} - 5^{8} : 5^{7} = 3^{2} - 5 = 9 - 5 = 4$ . Numerele $\overset{―}{3 c}$ și $\overset{―}{c 4}$ sunt direct proporționale cu 4 și 3:

\frac{\overset{―}{3 c}}{4} = \frac{\overset{―}{c 4}}{3}

\Rightarrow 3 (30 + c)

= 4 (10 c + 4)

\Rightarrow 90 + 3 c

= 40 c + 16

\Rightarrow 37 c = 74 \Rightarrow c = 2.

Numărul este $\overset{―}{a b c} = 342$ (verificare: $32 : 4 = 8 = 24 : 3$ ).

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC, cu m(∢A) = 90° și m(∢B) = 40°. Semidreapta BE este bisectoarea unghiului ABC, punctul E aparține segmentului AC. Perpendiculara din punctul A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D, iar perpendiculara din punctul E pe BC intersectează dreapta BC în punctul F. Dreptele BE și AD se intersectează în punctul M. a) Arată că măsura unghiului EMA este egală cu 70°. b) Arată că patrulaterul AMFE este romb.

Vezi rezolvarea

a) BE este bisectoare, deci m(∢ABE) = m(∢EBC) = 20°. În triunghiul BMD, dreptunghic în D: m(∢BMD) = 90° − 20° = 70°. Unghiurile EMA și BMD sunt opuse la vârf, deci m(∢EMA) = 70°.

b) $E F ⊥ B C$ și $A D ⊥ B C$ , deci $E F ∥ A D$ , adică $E F ∥ A M$ . În triunghiul ABE, dreptunghic în A: m(∢AEB) = 90° − 20° = 70°, deci m(∢AEM) = m(∢EMA) = 70°, triunghiul EAM este isoscel și AE = AM. Triunghiurile dreptunghice EFB și EAB au ipotenuza BE comună și m(∢EBF) = m(∢EBA), deci sunt congruente (I.U.) și EF = EA. Atunci EF = AM și $E F ∥ A M$ , deci AMFE este paralelogram; cum are laturile alăturate AM = AE, AMFE este romb.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu AB = 15 cm. Punctul P aparține laturii AB, astfel încât PB = 2AP și O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Arată că lungimea segmentului AP este egală cu 5 cm. b) Determină raportul dintre aria triunghiului ANP și aria triunghiului DNO, unde N este punctul de intersecție a dreptelor AC și DP.

Vezi rezolvarea

a) AB = AP + PB = AP + 2AP = 3AP, deci 3AP = 15 și AP = 5 cm.

b) $A P ∥ C D$ , deci $△ A N P \sim △ C N D$ și

\frac{A N}{C N} = \frac{N P}{N D} = \frac{A P}{C D} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} .

Rezultă $A N = \frac{A C}{4}$ ; cum $A O = \frac{A C}{2}$ (diagonalele paralelogramului se înjumătățesc), $N O = A O - A N = \frac{A C}{4} = A N$ . Fie $P S ⊥ A N$ , S ∈ AN, și $D V ⊥ N O$ , V ∈ NO. Din $△ S N P \sim △ V N D$ (unghiuri drepte și unghiuri opuse la vârf în N): $\frac{P S}{D V} = \frac{N P}{N D} = \frac{1}{3}$ . Atunci

\frac{A_{A N P}}{A_{D N O}} = \frac{A N \cdot P S}{N O \cdot D V}

= \frac{A N}{N O} \cdot \frac{P S}{D V} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′. Punctele M, N, P și Q sunt mijloacele segmentelor AA′, A′D′, DD′, respectiv AD. a) Arată că MN = PQ. b) Știind că punctul T este mijlocul segmentului PQ, demonstrează că dreapta CT este paralelă cu planul (MNB).

Vezi rezolvarea

a) MN este linie mijlocie în triunghiul AA′D′, deci $M N = \frac{A D^{'}}{2}$ . PQ este linie mijlocie în triunghiul ADD′, deci $P Q = \frac{A D^{'}}{2}$ . Rezultă MN = PQ.

b) Din liniile mijlocii de la a): $M N ∥ A D^{'}$ și $P Q ∥ A D^{'}$ , deci $M N ∥ P Q$ . M și P sunt mijloacele muchiilor AA′ și DD′, deci $M P ∥ A D ∥ B C$ și MP = AD = BC; patrulaterul MPCB este paralelogram, de unde $M B ∥ P C$ . Planul (MNB) conține dreptele concurente MN și MB, iar planul (PQC) conține dreptele concurente PQ și PC, respectiv paralele cu ele; deci $(M N B) ∥ (P Q C)$ . T este pe PQ, deci $C T \subset (P Q C)$ , și atunci $C T ∥ (M N B)$ .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Simulare Evaluare Națională 2024 matematică — subiectele rezolvate

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională