Evaluare Națională 2025 matematică

Subiectele oficiale de matematică de la Evaluarea Națională 2025 (sesiunea de examen), rezolvate pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectul I (algebră) și Subiectul II (geometrie), plus cele 6 probleme din Subiectul III, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului

4 + 12 : 2

este egal cu:

6
8
10 ✓ răspuns corect
12

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Împărțirea se efectuează înaintea adunării: $12 : 2 = 6$ , apoi $4 + 6 = 10$ .

Capcana tipică: Dacă aduni întâi, obții $(4 + 12) : 2 = 8$ , ceea ce este greșit.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Știind că

\frac{a}{2} = \frac{2}{3}

, atunci

\frac{a}{4}

este egal cu:

$\frac{1}{3}$ ✓ răspuns corect
$\frac{4}{3}$
2
3

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din $\frac{a}{2} = \frac{2}{3}$ obținem $a = \frac{4}{3}$ .
$\frac{a}{4} = \frac{a}{2} : 2 = \frac{2}{3} : 2 = \frac{1}{3}$ .

Capcana tipică: $\frac{4}{3}$ este valoarea lui $a$ , nu a lui $\frac{a}{4}$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Produsul numerelor

- 2

și

5

este egal cu:

$- 10$ ✓ răspuns corect
$- 3$
$3$
$10$

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $(- 2) \cdot 5 = - 10$ .

Capcana tipică: Produsul dintre un număr negativ și unul pozitiv este negativ; 3 este suma numerelor, nu produsul lor.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Soluția ecuației

6 x - 2 = 1

este numărul:

$- \frac{1}{3}$
$- \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$ ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $6 x = 1 + 2 = 3$ , deci $x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Capcana tipică: Termenul $- 2$ trece în membrul drept cu semn schimbat (se adună 2, nu se scade).

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Ana, Maria, Dan și Vlad, calculează suma numerelor $a = \sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ și $b = \sqrt{3^{2} \cdot 4^{2}}$ . Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ana	Maria	Dan	Vlad
17	19	37	43

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

Ana ✓ răspuns corect
Maria
Dan
Vlad

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $a = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$b = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12$
$a + b = 5 + 12 = 17$ — Ana.

Capcana tipică: Radicalul unei sume nu se desface în suma radicalilor: dacă scrii $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 3 + 4$ , obții greșit 19 (Maria).

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii participanți la un concurs (numărul de elevi pentru fiecare punctaj):

Puncte	40	50	60	70	80	90	100
Nr. elevi	2	3	6	5	4	6	4

Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, 5 dintre elevii participanți au obținut exact 80 de puncte.” este:

adevărată
falsă ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din diagramă, bara corespunzătoare punctajului de 80 de puncte are înălțimea 4: exact 4 elevi au obținut 80 de puncte, nu 5. Afirmația este falsă.

Capcana tipică: 5 elevi au obținut 70 de puncte; citește bara de la 80 de puncte.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată, punctul B este mijlocul segmentului AC și punctul D este simetricul punctului B față de C. Știind că AD = 12 cm, lungimea segmentului AC este egală cu:

3 cm
4 cm
6 cm
8 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Notăm AB = BC = x. D este simetricul lui B față de C, deci CD = BC = x.
AD = 3x = 12 cm, deci x = 4 cm.
AC = 2x = 8 cm.

Capcana tipică: 4 cm este lungimea lui AB, nu a lui AC.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente AOB și BOC, m(∢BOC) = 2 · m(∢AOB). Măsura unghiului AOC este egală cu 120° și semidreapta OM este bisectoarea unghiului BOC. Măsura unghiului AOM este egală cu:

30°
40°
60°
80° ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢AOB) + 2 · m(∢AOB) = 120°, deci m(∢AOB) = 40° și m(∢BOC) = 80°.
OM este bisectoarea unghiului BOC: m(∢BOM) = 40°.
m(∢AOM) = m(∢AOB) + m(∢BOM) = 40° + 40° = 80°.

Capcana tipică: 40° este măsura unghiului AOB (și a lui BOM); unghiul AOM le cuprinde pe amândouă.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu m(∢BAC) = 120°. Punctul E aparține segmentului BC, astfel încât CE = 4 cm, iar dreptele AB și AE sunt perpendiculare. Lungimea segmentului BC este egală cu:

16 cm
12 cm ✓ răspuns corect
8 cm
6 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢B) = m(∢C) = (180° − 120°) : 2 = 30°.
m(∢EAC) = 120° − 90° = 30° = m(∢C), deci triunghiul AEC este isoscel: AE = CE = 4 cm.
În triunghiul dreptunghic BAE, cateta AE se opune unghiului de 30°: BE = 2 · AE = 8 cm.
BC = BE + EC = 8 + 4 = 12 cm.

Capcana tipică: 8 cm este doar BE; la el se adaugă EC = 4 cm.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 3 · BC. Perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 32 cm. Aria dreptunghiului ABCD este egală cu:

16 cm²
32 cm²
48 cm² ✓ răspuns corect
64 cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $2 (A B + B C) = 32$ , deci $A B + B C = 16$ cm.
$3 \cdot B C + B C = 16$ , deci BC = 4 cm și AB = 12 cm.
Aria: $12 \cdot 4 = 48$ cm².

Capcana tipică: 32 cm este perimetrul; suma AB + BC este semiperimetrul, adică 16 cm.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, înscris în cercul de centru O. Punctul D aparține arcului mic BC. Măsura unghiului BDC este egală cu:

60°
90°
120° ✓ răspuns corect
150°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiul înscris BAC are 60°, deci arcul mic BC are $2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$ .
D se află pe arcul mic BC, deci unghiul înscris BDC cuprinde arcul mare BC, de $360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ}$ .
m(∢BDC) = 240° : 2 = 120°.

Capcana tipică: 60° este unghiul BAC; punctul D se află pe arcul mic, de cealaltă parte a coardei BC față de A.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral VAB, cu AB = 6 cm. Aria laterală a conului este egală cu:

18π cm² ✓ răspuns corect
27π cm²
36π cm²
54π cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Raza bazei: $R = \frac{A B}{2} = 3$ cm; generatoarea: $G = V A = A B = 6$ cm.
$A_{ℓ} = π R G = π \cdot 3 \cdot 6 = 18 π$ cm².

Capcana tipică: $36 π$ cm² se obține greșit dacă iei raza egală cu diametrul (6 cm).

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Varianta 7), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Ana a cumpărat de la o librărie caiete, pixuri și creioane. Prețul unui pix este egal cu 75% din prețul unui caiet, iar prețul unui creion este egal cu 40% din prețul unui pix. a) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat. b) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de 45 de lei, determină prețul unui caiet.

Vezi rezolvarea

a) Notăm cu $x$ prețul unui caiet. Prețul unui pix este $\frac{75}{100} \cdot x = \frac{3}{4} x$ . Opt pixuri costă $8 \cdot \frac{3}{4} x = 6 x$ , iar cinci caiete costă $5 x$ . Cum $6 x \neq 5 x$ , nu este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete.

b) Prețul unui creion este $\frac{40}{100} \cdot \frac{3}{4} x = \frac{3}{10} x$ . Din enunț:

3 x + 4 \cdot \frac{3}{4} x + 5 \cdot \frac{3}{10} x = 45

adică $3 x + 3 x + \frac{3}{2} x = 45$ ; înmulțind cu 2: $15 x = 90$ , deci $x = 6$ . Prețul unui caiet este de 6 lei.

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 3}) : \frac{1}{x^{2} - 3 x},

unde

x

este număr real,

x \neq - 3

x \neq 0

și

x \neq 3

. a) Arată că

\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 3} = \frac{x^{2} + 27}{x (x - 3) (x + 3)}

, pentru orice număr real

x

x \neq - 3

x \neq 0

și

x \neq 3

. b) Demonstrează că

E (n) > 6

, pentru orice număr natural

n

n \neq 0

n \neq 3

Vezi rezolvarea

a) Aducem la numitorul comun $x (x - 3) (x + 3)$ :

\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 3}

= \frac{2 x (x + 3) - 3 (x - 3) (x + 3) + 2 x (x - 3)}{x (x - 3) (x + 3)}

= \frac{2 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 27 + 2 x^{2} - 6 x}{x (x - 3) (x + 3)}

= \frac{x^{2} + 27}{x (x - 3) (x + 3)} .

b) Cum $x^{2} - 3 x = x (x - 3)$ , împărțirea la $\frac{1}{x (x - 3)}$ înseamnă înmulțirea cu $x (x - 3)$ :

E (x) = \frac{x^{2} + 27}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot x (x - 3) = \frac{x^{2} + 27}{x + 3} .

E (n) - 6 = \frac{n^{2} + 27 - 6 n - 18}{n + 3} = \frac{(n - 3)^{2}}{n + 3} .

Pentru $n$ natural, $n \neq 0$ , $n \neq 3$ : $n + 3 > 0$ și $(n - 3)^{2} > 0$ , deci $E (n) - 6 > 0$ , adică $E (n) > 6$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = 2 x - 4

. a) Arată că

f (2) - f (0) = 4

. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției

f

intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Punctul C este simetricul punctului A față de axa Oy. Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu

4 (\sqrt{5} + 1)

Vezi rezolvarea

a) $f (2) = 4 - 4 = 0$ și $f (0) = - 4$ , deci $f (2) - f (0) = 0 - (- 4) = 4$ .

b) $f (x) = 0 \Rightarrow x = 2$ , deci $A (2, 0)$ ; $f (0) = - 4$ , deci $B (0, - 4)$ . C este simetricul lui A față de axa Oy, deci $C (- 2, 0)$ , OC = OA = 2 și CA = 4. În triunghiul dreptunghic AOB: $A B = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ ; analog, în triunghiul COB, $B C = 2 \sqrt{5}$ . Atunci

P_{A B C} = 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 4 = 4 (\sqrt{5} + 1) .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral ACE, astfel încât punctele D și E sunt situate de aceeași parte a dreptei AC. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu 48 cm. a) Arată că perimetrul triunghiului ACE este egal cu

36 \sqrt{2}

cm. b) Arată că distanța de la punctul D la dreapta AE este egală cu

3 \sqrt{2} (\sqrt{3} - 1)

cm.

Vezi rezolvarea

a) AB = 48 : 4 = 12 cm, iar diagonala pătratului este $A C = 12 \sqrt{2}$ cm. Triunghiul ACE este echilateral, deci $P_{A C E} = 3 \cdot A C = 36 \sqrt{2}$ cm.

b) DA = DC și EA = EC, deci triunghiurile ADE și CDE sunt congruente (LLL), iar punctul D se află în interiorul triunghiului ACE. Rezultă

A_{A D E} = \frac{A_{A C E} - A_{A C D}}{2} .

$A_{A C E} = \frac{A C^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{288 \sqrt{3}}{4} = 72 \sqrt{3}$ cm² și $A_{A C D} = \frac{12 \cdot 12}{2} = 72$ cm², deci $A_{A D E} = 36 (\sqrt{3} - 1)$ cm².

Fie $D M ⊥ A E$ , $M \in A E$ ; atunci d(D, AE) = DM și $A_{A D E} = \frac{A E \cdot D M}{2}$ , de unde

D M = \frac{2 \cdot 36 (\sqrt{3} - 1)}{12 \sqrt{2}} = \frac{6 (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}}

= 3 \sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) cm .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ DC, m(∢DAB) = 90°, AB = 8 cm și AD = DC = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului DC și P este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD. a) Arată că

B C = 4 \sqrt{2}

cm. b) Calculează aria patrulaterului MPBC.

Vezi rezolvarea

a) Ducem $C N ⊥ A B$ , $N \in A B$ . ADCN este dreptunghi, deci CN = AD = 4 cm și AN = DC = 4 cm, de unde NB = 8 − 4 = 4 cm. În triunghiul dreptunghic CNB: $B C = \sqrt{C N^{2} + N B^{2}} = \sqrt{16 + 16} = 4 \sqrt{2}$ cm.

b) $D M ∥ A B$ , deci $△ D P M \sim △ B P A$ și $\frac{P M}{P A} = \frac{D M}{B A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ . Ducem prin P perpendiculara EF pe AB ( $E \in C D$ , $F \in A B$ ); EF = AD = 4 cm. Din $△ P M E \sim △ P A F$ : $\frac{P E}{P F} = \frac{P M}{P A} = \frac{1}{4}$ , deci $P F = \frac{4}{5} \cdot 4 = \frac{16}{5}$ cm.

A_{A P B} = \frac{A B \cdot P F}{2} = \frac{8 \cdot \frac{16}{5}}{2} = \frac{64}{5} {cm}^{2}

ABCM este trapez cu bazele AB = 8 cm, MC = 2 cm și înălțimea AD = 4 cm: $A_{A B C M} = \frac{(8 + 2) \cdot 4}{2} = 20$ cm². Atunci

A_{M P B C} = A_{A B C M} - A_{A P B} = 20 - \frac{64}{5}

= \frac{36}{5} = 7, 2 {cm}^{2} .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 8 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar dreptele A′B și AB′ se intersectează în punctul E. Punctul F este mijlocul segmentului CC′. a) Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ este egal cu 512 cm³. b) Demonstrează că dreptele FO și DE sunt perpendiculare.

Vezi rezolvarea

a) $V = A B^{3} = 8^{3} = 512$ cm³.

b) O este mijlocul lui AC și F este mijlocul lui CC′, deci FO este linie mijlocie în triunghiul ACC′: $F O ∥ A C^{'}$ . Prin urmare ∢(FO, DE) = ∢(AC′, DE).

Punctele A, B′, C′, D sunt coplanare ( $A B^{'} ∥ D C^{'}$ ), iar E este mijlocul lui AB′. Fie ${Q} = D E \cap A C^{'}$ . Din $A B^{'} ∥ D C^{'}$ : $△ A Q E \sim △ C^{'} Q D$ , deci

\frac{A Q}{C^{'} Q} = \frac{Q E}{Q D} = \frac{A E}{C^{'} D} = \frac{1}{2},

de unde $Q D = \frac{2}{3} \cdot D E$ și $C^{'} Q = \frac{2}{3} \cdot C^{'} A$ .

$A D ⊥ (A B B^{'} A^{'})$ , deci triunghiul DAE este dreptunghic în A, cu $A E = 4 \sqrt{2}$ cm: $D E = \sqrt{64 + 32} = 4 \sqrt{6}$ cm. Diagonala cubului este $C^{'} A = 8 \sqrt{3}$ cm. Rezultă $Q D = \frac{8 \sqrt{6}}{3}$ cm și $C^{'} Q = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$ cm, iar $C^{'} D = 8 \sqrt{2}$ cm.

Q D^{2} + C^{'} Q^{2} = \frac{384}{9} + \frac{768}{9}

= 128 = C^{'} D^{2},

deci, după reciproca teoremei lui Pitagora, m(∢DQC′) = 90°. Așadar ∢(FO, DE) = 90°, adică dreptele FO și DE sunt perpendiculare.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Evaluare Națională 2025 matematică — subiectele rezolvate complet

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională