Evaluare Națională 2020 matematică

Q: Când a avut loc Evaluarea Națională 2020 la matematică?

Proba scrisă la matematică a Evaluării Naționale 2020 a avut loc miercuri, 17 iunie 2020, de la ora 9:00, iar baremul a fost publicat de minister în aceeași zi. În 2020 nu s-a organizat simulare la nivel național (a fost anulată din cauza pandemiei).

Q: Cum arată structura subiectului de matematică din 2020?

Trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I are 6 itemi la care se scrie doar rezultatul, Subiectul II are 5 itemi cu rezolvare completă (primul este un desen de corp geometric), iar Subiectul III are 2 probleme de geometrie, fiecare cu punctele a), b), c). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.

Q: Cum se punctează subiectul de matematică din 2020?

La Subiectul I fiecare răspuns primește fie 5 puncte, fie 0 puncte, fără punctaje intermediare. La Subiectele II și III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral. Nota se obține împărțind la 10 punctajul total.

Q: Care sunt răspunsurile de la Subiectul I din 2020?

I.1: 50; I.2: 30; I.3: 10; I.4: 25; I.5: 90; I.6: 20 — conform baremului oficial.

Subiectele oficiale de matematică de la Evaluarea Națională 2020 (clasa a VIII-a, proba scrisă din 17 iunie 2020), rezolvate pas cu pas după baremul oficial: cei 6 itemi din Subiectul I (se scrie doar rezultatul), cei 5 itemi din Subiectul II și cele 2 probleme din Subiectul III, cu rezolvare completă. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți exersa și teste EN mai noi interactiv, cu scor instant.

Exersează teste EN online →

Documente oficiale: Subiectul (Varianta 1) și baremul au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație) pe subiecte.edu.ro, în arhiva EN_matematica_17062020.zip, care nu mai este găzduită acolo. Am folosit copiile PDF ale documentelor oficiale: subiectul și baremul. În 2020 simularea Evaluării Naționale (programată în 23–25 martie) a fost anulată din cauza pandemiei, iar cursurile au fost suspendate din martie; de aceea subiectele au acoperit doar materia parcursă până la suspendarea cursurilor. Structura (formatul folosit până în 2020): 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. La Subiectul I se scrie doar rezultatul; la Subiectele II și III se cer rezolvări complete. Din 2021, Subiectele I și II au devenit itemi grilă.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I — se scrie doar rezultatul (30 de puncte)

Itemul I.1 (Subiectul I · Calcul numeric · 5 puncte)

Rezultatul calculului

60 - 20 : 2

este egal cu

\dots

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 50 ✓

Rezolvare: Împărțirea se efectuează înaintea scăderii: $20 : 2 = 10$ , apoi $60 - 10 = 50$ .

Capcana tipică: Dacă scazi întâi, obții $(60 - 20) : 2 = 20$ , greșit.

Itemul I.2 (Subiectul I · Fracții · 5 puncte)

Numărul care reprezintă

\frac{1}{4}

din 120 este egal cu

\dots

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 30 ✓

Rezolvare: $\frac{1}{4}$ din $120 = \frac{1}{4} \cdot 120 = 30$ .

Itemul I.3 (Subiectul I · Intervale · 5 puncte)

Cel mai mic număr natural din intervalul

I = [10, 20]

este egal cu

\dots

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 10 ✓

Rezolvare: Intervalul este închis la stânga (paranteza pătrată), deci 10 aparține intervalului și este cel mai mic număr natural din el.

Capcana tipică: Dacă intervalul ar fi fost deschis, $(10, 20]$ , răspunsul ar fi fost 11 — atenție la tipul parantezei (vezi intervale de numere reale).

Itemul I.4 (Subiectul I · Geometrie plană · 5 puncte)

Pătratul

M N P Q

are latura de 5 cm. Aria pătratului

M N P Q

este egală cu

\dots

cm².

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 25 ✓

Rezolvare: $A = ℓ^{2} = 5^{2} = 25$ cm².

Capcana tipică: 20 cm este perimetrul, nu aria.

Itemul I.5 (Subiectul I · Geometrie în spațiu · 5 puncte)

În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Unghiul dreptelor

B C

și

D D^{'}

are măsura de

\dots

°.

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 90 ✓

Rezolvare: $D D^{'} ∥ C C^{'}$ , deci unghiul dreptelor $B C$ și $D D^{'}$ este unghiul $B C C^{'}$ . Fața $B C C^{'} B^{'}$ este dreptunghi, deci m(∢BCC′) = 90°.

Capcana tipică: Dreptele $B C$ și $D D^{'}$ nu se intersectează (sunt necoplanare), dar unghiul dintre ele există și este de 90°.

Itemul I.6 (Subiectul I · Organizarea datelor · 5 puncte)

Într-un depozit sunt în total 100 kg de fructe. Repartiția procentuală a tipurilor de fructe din depozit este reprezentată în diagrama de mai jos.

Conform informațiilor din diagramă, cantitatea de gutui din acest depozit este de $\dots$ kg.

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 20 ✓

Rezolvare: Din diagramă, gutuile reprezintă 20% din fructe: $\frac{20}{100} \cdot 100 = 20$ kg.

Capcana tipică: Citește bara corectă: 30% sunt prunele, nu gutuile.

Subiectul al II-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Itemul II.1 (Subiectul II · 5 puncte)

Desenați, pe foaia de examen, un cub

A B C D E F G H

Vezi rezolvarea

Baremul acordă 4 puncte pentru desenarea cubului și 1 punct pentru notarea lui $A B C D E F G H$ (de exemplu baza $A B C D$ și fața opusă $E F G H$ , cu $A E$ , $B F$ , $C G$ , $D H$ muchii laterale). Muchiile ascunse se desenează punctat.

Itemul II.2 (Subiectul II · 5 puncte)

Arătați că media aritmetică a numerelor raționale

a = (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) : \frac{1}{12}

și

b = 3 \cdot (\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6})

este egală cu 2.

Vezi rezolvarea

a = \frac{3 - 2}{4} : \frac{1}{12} = \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{1} = 3

b = 3 \cdot \frac{4 - 3 + 1}{6} = 3 \cdot \frac{2}{6} = 1

Media aritmetică: $m_{a} = \frac{a + b}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$ .

Itemul II.3 (Subiectul II · 5 puncte)

Ana și Mihai au economisit, împreună, 140 de lei. Determinați suma economisită de Ana, știind că 30% din suma economisită de ea reprezintă două cincimi din suma economisită de Mihai.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ suma economisită de Ana (în lei); Mihai a economisit $140 - x$ lei.

\frac{30}{100} \cdot x = \frac{2}{5} (140 - x) \Rightarrow 3 x = 4 (140 - x)

\Rightarrow 3 x = 560 - 4 x \Rightarrow 7 x = 560 \Rightarrow x = 80.

Ana a economisit 80 de lei. Verificare: $30 %$ din 80 este 24, iar $\frac{2}{5}$ din $140 - 80 = 60$ este tot 24.

Itemul II.4 (Subiectul II · 10 puncte)

Se consideră numerele reale

x = 3^{47} : 3^{45} - 2^{40} : 2^{38}

și

y = (\frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}) : \frac{1}{3 \sqrt{3}} .

a) (5p) Arătați că

x = 5

.
b) (5p) Se consideră numărul natural

N = y - \frac{x + 1}{2}

. Determinați cel mai mic număr natural de două cifre care este divizibil cu

N

Vezi rezolvarea

a) $x = 3^{47 - 45} - 2^{40 - 38} = 3^{2} - 2^{2} = 9 - 4 = 5$ .

b) Desfacem parantezele:

y = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot 3 \sqrt{3}

= 1 + 5 + 9 - 3 = 12.

$N = 12 - \frac{5 + 1}{2} = 12 - 3 = 9$ . Numerele de două cifre divizibile cu 9 sunt 18, 27, …, 99; cel mai mic este 18.

Itemul II.5 (Subiectul II · 5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (2 x + 1)^{2} - 3 (x - 1)^{2} - (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1),

unde

x

este număr real. Determinați numerele naturale

n

pentru care

E (n) \leq - 1

Vezi rezolvarea

Cu formulele de calcul prescurtat:

E (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1 - 3 (x^{2} - 2 x + 1) - (x^{2} - 1) - 6 x - 6

= 4 x^{2} + 4 x + 1 - 3 x^{2} + 6 x - 3 - x^{2} + 1 - 6 x - 6 = 4 x - 7,

pentru orice număr real $x$ . Atunci $4 n - 7 \leq - 1 \Leftrightarrow 4 n \leq 6 \Leftrightarrow n \leq \frac{3}{2}$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 0$ sau $n = 1$ .

Subiectul al III-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Rezolvările urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral. Figurile sunt redesenate după subiectul oficial.

Problema III.1 (15 puncte)

În Figura 2 este reprezentat un paralelogram

A B C D

A B = 13

cm,

B C = 10

cm și m(∢BAD)

<

90°. Se consideră punctul

E

astfel încât

D E ∥ A C

D E < A C

și segmentele

B C

și

C E

sunt congruente.
a) Arătați că perimetrul paralelogramului

A B C D

este egal cu 46 cm.
b) Demonstrați că segmentele

A B

și

A E

sunt congruente.
c) Demonstrați că, dacă măsura unghiului

B C E

este de 60°, atunci aria patrulaterului

A B C E

este egală cu

60 + 25 \sqrt{3}

cm².

Vezi rezolvarea

a) $P_{A B C D} = 2 (A B + B C) = 2 (13 + 10) = 46$ cm.

b) $B C = C E$ și $A D = B C$ , deci $A D = C E$ . Cum $D E ∥ A C$ și $D E < A C$ , patrulaterul $A C E D$ este un trapez cu laturile neparalele $A D$ și $C E$ egale, deci trapez isoscel; diagonalele lui sunt egale: $A E = C D$ . Dar $A B = C D$ (laturi opuse în paralelogram), deci $A B = A E$ .

c) $C B = C E = 10$ cm și m(∢BCE) = 60°, deci triunghiul $B C E$ este echilateral și are aria $\frac{10^{2} \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3}$ cm². Din $A B = A E$ și $C B = C E$ , punctele $A$ și $C$ sunt pe mediatoarea segmentului $B E$ , deci $A C$ este mediatoarea lui $B E$ . Fie $F$ intersecția dreptelor $A C$ și $B E$ ; atunci $B F = 5$ cm, $A F ⊥ B E$ și

A F = \sqrt{A B^{2} - B F^{2}} = \sqrt{169 - 25} = 12 cm,

A_{A B E} = \frac{B E \cdot A F}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 {cm}^{2},

A_{A B C E} = A_{A B E} + A_{B C E} = 60 + 25 \sqrt{3} {cm}^{2} .

Problema III.2 (15 puncte)

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi

A B C D

A B = 24

cm și

B C = 10

cm. Punctul

O

este intersecția dreptelor

A C

și

B D

, iar dreapta

E O

este perpendiculară pe planul

(A B C)

. Punctele

M

N

și

P

sunt mijloacele segmentelor

A B

A D

, respectiv

A E

.
a) Arătați că aria dreptunghiului

A B C D

este egală cu 240 cm².
b) Demonstrați că planele

(M N P)

și

(B D E)

sunt paralele.
c) Arătați că distanța dintre planele

(M N P)

și

(B D E)

este egală cu

\frac{60}{13}

cm.

Vezi rezolvarea

a) $A_{A B C D} = A B \cdot B C = 24 \cdot 10 = 240$ cm².

b) $M N$ este linie mijlocie în triunghiul $A B D$ , iar $M P$ este linie mijlocie în triunghiul $A B E$ , deci $M N ∥ B D$ și $M P ∥ B E$ . Cum $M N \cap M P = {M}$ și $B D \cap B E = {B}$ , rezultă $(M N P) ∥ (B D E)$ .

c) Fie $A T ⊥ B D$ , $T \in B D$ . $E O ⊥ (A B C)$ și $A T \subset (A B C)$ , deci $E O ⊥ A T$ ; cum $B D \cap E O = {O}$ , obținem $A T ⊥ (B D E)$ . Deoarece $(M N P) ∥ (B D E)$ , avem și $A T ⊥ (M N P)$ , deci distanța dintre plane este $T S$ , unde ${S} = M N \cap A T$ .

$N$ este mijlocul segmentului $A D$ și $N S ∥ B D$ , deci $N S$ este linie mijlocie în triunghiul $A T D$ și $T S = \frac{A T}{2}$ . În triunghiul dreptunghic $A B D$ : $B D = \sqrt{24^{2} + 10^{2}} = 26$ cm și

A T = \frac{A D \cdot A B}{B D} = \frac{10 \cdot 24}{26} = \frac{120}{13} cm,

deci $d ((M N P), (B D E)) = T S = \frac{60}{13}$ cm.

Ce capitole verifică subiectul

Item	Temă	Recapitulează
I.1–I.3, II.2, II.3	Ordinea operațiilor, fracții, intervale, media aritmetică, procente	Fracții · Procente · Intervale
II.4	Puteri, radicali, divizibilitate	Radicali
II.5	Calcul algebric, inecuații	Formule de calcul prescurtat
I.4, I.6	Aria pătratului, citirea unei diagrame	Formule clasa a 8-a
III.1	Paralelogram, trapez isoscel, mediatoare, triunghi echilateral	Patrulatere · Aria triunghiului
I.5, II.1, III.2	Paralelipipedul, cubul, plane paralele, distanța dintre două plane	Cubul · Dreaptă perpendiculară pe plan

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	50
I.2	30
I.3	10
I.4	25
I.5	90
I.6	20
II.1	desenul cubului $A B C D E F G H$
II.2	$a = 3$ , $b = 1$ , $m_{a} = 2$
II.3	Ana a economisit 80 de lei
II.4	a) $x = 5$ ; b) $N = 9$ , numărul este 18
II.5	$E (x) = 4 x - 7$ ; $n \in {0, 1}$
III.1	a) 46 cm; b) $A C E D$ trapez isoscel, $A E = C D = A B$ ; c) $60 + 25 \sqrt{3}$ cm²
III.2	a) 240 cm²; b) $M N ∥ B D$ , $M P ∥ B E$ ; c) $\frac{60}{13}$ cm

Continuă cu subiectele din anii următori, în formatul actual cu grile: Simularea EN 2021, Examenul EN 2021 și Examenul EN 2026. Pentru anul acesta vezi modelul EN 2027 rezolvat. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.

Întrebări frecvente

Când a avut loc Evaluarea Națională 2020 la matematică? Proba scrisă la matematică a Evaluării Naționale 2020 a avut loc miercuri, 17 iunie 2020, de la ora 9:00, iar baremul a fost publicat de minister în aceeași zi. În 2020 nu s-a organizat simulare la nivel național (a fost anulată din cauza pandemiei).

Cum arată structura subiectului de matematică din 2020? Trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I are 6 itemi la care se scrie doar rezultatul, Subiectul II are 5 itemi cu rezolvare completă (primul este un desen de corp geometric), iar Subiectul III are 2 probleme de geometrie, fiecare cu punctele a), b), c). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.

Cum se punctează subiectul de matematică din 2020? La Subiectul I fiecare răspuns primește fie 5 puncte, fie 0 puncte, fără punctaje intermediare. La Subiectele II și III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral. Nota se obține împărțind la 10 punctajul total.

Care sunt răspunsurile de la Subiectul I din 2020? I.1: 50; I.2: 30; I.3: 10; I.4: 25; I.5: 90; I.6: 20 — conform baremului oficial.

Exersează teste EN cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate · Calculator medie admitere liceu

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE (fost CNEE), publicat pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Evaluare Națională 2020 matematică — subiectele rezolvate complet

Subiectul I — se scrie doar rezultatul (30 de puncte)

Itemul I.1 (Subiectul I · Calcul numeric · 5 puncte)

Itemul I.2 (Subiectul I · Fracții · 5 puncte)

Itemul I.3 (Subiectul I · Intervale · 5 puncte)

Itemul I.4 (Subiectul I · Geometrie plană · 5 puncte)

Itemul I.5 (Subiectul I · Geometrie în spațiu · 5 puncte)

Itemul I.6 (Subiectul I · Organizarea datelor · 5 puncte)

Subiectul al II-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Itemul II.1 (Subiectul II · 5 puncte)

Itemul II.2 (Subiectul II · 5 puncte)

Itemul II.3 (Subiectul II · 5 puncte)

Itemul II.4 (Subiectul II · 10 puncte)

Itemul II.5 (Subiectul II · 5 puncte)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Problema III.1 (15 puncte)

Problema III.2 (15 puncte)

Ce capitole verifică subiectul

Răspunsuri pe scurt

Întrebări frecvente

Formule conexe