Evaluare Națională 2019 matematică

Subiectele oficiale de matematică de la Evaluarea Națională 2019 (clasa a VIII-a, proba scrisă din 20 iunie 2019), rezolvate pas cu pas după baremul oficial: cei 6 itemi din Subiectul I (se scrie doar rezultatul), cei 5 itemi din Subiectul II și cele 2 probleme din Subiectul III, cu rezolvare completă. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți exersa și teste EN mai noi interactiv, cu scor instant.

Exersează teste EN online →

Documente oficiale: Subiectul (Varianta 1) și baremul au fost publicate de Ministerul Educației Naționale (Centrul Național de Evaluare și Examinare) pe subiecte.edu.ro, în arhiva EN_matematica_20062019.zip, care nu mai este găzduită acolo. Am folosit copia PDF a subiectului oficial (EN_matematica_2019_var_01_LRO.pdf) și baremul oficial publicat în aceeași zi. Structura (formatul folosit până în 2020): 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. La Subiectul I se scrie doar rezultatul; la Subiectele II și III se cer rezolvări complete. Din 2021, Subiectele I și II au devenit itemi grilă.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I — se scrie doar rezultatul (30 de puncte)

Itemul I.1 (Subiectul I · Calcul numeric · 5 puncte)

Rezultatul calculului

25 - 20 : 5

este egal cu

\dots

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 21 ✓

Rezolvare: Împărțirea se efectuează înaintea scăderii: $20 : 5 = 4$ , apoi $25 - 4 = 21$ .

Capcana tipică: Dacă scazi întâi, obții $(25 - 20) : 5 = 1$ , ceea ce este greșit.

Itemul I.2 (Subiectul I · Procente · 5 puncte)

Numărul care reprezintă 10% din 1500 este egal cu

\dots

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 150 ✓

Rezolvare: $10 %$ din $1500 = \frac{10}{100} \cdot 1500 = 150$ .

Capcana tipică: 150 este chiar „10% din 1500”; nu adăuga și nu scădea procentul din 1500 (1650 sau 1350 sunt greșite).

Itemul I.3 (Subiectul I · Mulțimi · 5 puncte)

Cel mai mic număr impar din mulțimea

A = {0, 1, 2, 3, 4}

este egal cu

\dots

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 1 ✓

Rezolvare: Numerele impare din mulțimea A sunt 1 și 3. Cel mai mic dintre ele este 1.

Capcana tipică: 0 este cel mai mic element al mulțimii, dar este număr par.

Itemul I.4 (Subiectul I · Geometrie plană · 5 puncte)

Un pătrat are latura de 10 cm. Perimetrul acestui pătrat este egal cu

\dots

cm.

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 40 ✓

Rezolvare: Pătratul are 4 laturi egale: $P = 4 \cdot 10 = 40$ cm.

Capcana tipică: 100 cm² este aria pătratului, nu perimetrul.

Itemul I.5 (Subiectul I · Geometrie în spațiu · 5 puncte)

În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat

A B C D

. Dacă aria triunghiului

A B C

este egală cu 4 cm², atunci aria totală a tetraedrului

A B C D

este egală cu

\dots

cm².

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 16 ✓

Rezolvare: Tetraedrul regulat are 4 fețe, toate triunghiuri echilaterale congruente, deci fiecare față are aria 4 cm². Aria totală: $A_{t} = 4 \cdot 4 = 16$ cm².

Capcana tipică: Aria laterală are doar 3 fețe (12 cm²); aria totală le cuprinde pe toate 4.

Itemul I.6 (Subiectul I · Organizarea datelor · 5 puncte)

În diagrama de mai jos sunt înregistrate valorile temperaturilor indicate de un termometru, într-o zi, de la ora 11, până la ora 19. Măsurătorile au fost efectuate din oră în oră.

Conform informațiilor din diagramă, temperatura măsurată la ora 18 a fost mai mică decât temperatura măsurată la ora 14 cu $\dots$ °C.

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 5 ✓

Rezolvare: Din diagramă citim: la ora 14 temperatura a fost 25 °C, iar la ora 18 a fost 20 °C. Diferența este $25 - 20 = 5$ °C.

Capcana tipică: Nu citi punctul de la ora 19 (18 °C) în locul celui de la ora 18.

Subiectul al II-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Itemul II.1 (Subiectul II · 5 puncte)

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf

V

și bază

A B C D

Vezi rezolvarea

Baremul acordă 4 puncte pentru desenarea piramidei patrulatere regulate și 1 punct pentru notarea ei. Baza $A B C D$ este un pătrat (desenat în perspectivă ca un paralelogram), vârful $V$ se află deasupra centrului bazei, iar muchiile ascunse se desenează punctat.

Itemul II.2 (Subiectul II · 5 puncte)

Arătați că media geometrică a numerelor

a = 3 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6})

și

b = \frac{5}{3} : (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3})

este egală cu 2.

Vezi rezolvarea

a = 3 \cdot \frac{3 - 2 + 1}{6} = 3 \cdot \frac{2}{6} = 1

b = \frac{5}{3} : \frac{6 + 3 - 4}{12} = \frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5} = 4

Media geometrică: $m_{g} = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{1 \cdot 4} = 2$ .

Itemul II.3 (Subiectul II · 5 puncte)

Determinați cel mai mare număr natural nenul

n

, știind că, dacă împărțim numerele 73, 123 și 223 la

n

, obținem resturile 1, 3 și, respectiv, 7.

Vezi rezolvarea

Din teorema împărțirii cu rest:

$73 = n \cdot c_{1} + 1 \Rightarrow n ∣ 72$ ;
$123 = n \cdot c_{2} + 3 \Rightarrow n ∣ 120$ ;
$223 = n \cdot c_{3} + 7 \Rightarrow n ∣ 216$ .

Deci $n$ este divizor comun al numerelor 72, 120 și 216, iar cel mai mare astfel de număr este c.m.m.d.c. al lor. Cum $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ , $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ , $216 = 2^{3} \cdot 3^{3}$ , obținem $n = 2^{3} \cdot 3 = 24$ .

Numărul convine, pentru că $24 > 7$ (restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul): $73 = 24 \cdot 3 + 1$ , $123 = 24 \cdot 5 + 3$ , $223 = 24 \cdot 9 + 7$ . Răspuns: $n = 24$ .

Itemul II.4 (Subiectul II · 10 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 x - 6

.
a) (5p) Reprezentați grafic funcția

f

într-un sistem de coordonate

x O y

.
b) (5p) Graficul funcției

f

intersectează axa

O x

a sistemului de coordonate

x O y

în punctul

P

. Determinați numărul real

m

, știind că simetricul punctului

P

față de punctul

O

este situat pe graficul funcției

g : R \to R

g (x) = m x + 9

Vezi rezolvarea

a) Graficul funcției de gradul I este o dreaptă, deci ajung două puncte: $f (0) = - 6$ , deci $A (0, - 6)$ aparține graficului; $f (3) = 0$ , deci $B (3, 0)$ aparține graficului. Graficul este dreapta $A B$ .

b) $f (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ , deci $P (3, 0)$ . Simetricul lui $P$ față de originea $O$ este $S (- 3, 0)$ .

$S$ aparține graficului lui $g$ : $g (- 3) = 0 \Leftrightarrow - 3 m + 9 = 0$ , deci $m = 3$ .

Itemul II.5 (Subiectul II · 5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{3}{x - 3} - \frac{x}{x + 1}) : \frac{x - 1}{x^{2} - 1},

unde

x

este număr real,

x \neq - 1

x \neq 1

și

x \neq 3

. Arătați că

E (x) = 1

, pentru orice

x

număr real,

x \neq - 1

x \neq 1

și

x \neq 3

Vezi rezolvarea

Descompunem: $x^{2} - x = x (x - 1)$ , $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ , $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ (vezi formulele de calcul prescurtat).

E (x) = (\frac{x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} - \frac{3}{x - 3} - \frac{x}{x + 1}) \cdot \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1}

= (\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x}{x + 1}) \cdot (x + 1) = (1 - \frac{x}{x + 1}) \cdot (x + 1)

= \frac{1}{x + 1} \cdot (x + 1) = 1,

pentru orice $x$ număr real, $x \neq - 1$ , $x \neq 1$ și $x \neq 3$ .

Subiectul al III-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Rezolvările urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral. Figurile sunt redesenate după subiectul oficial.

Problema III.1 (15 puncte)

Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel

A B C D

A B ∥ C D

C D = 12 \sqrt{2}

A D = B C = 24

m și m(∢BAD) = 45°. Punctul

M

este piciorul perpendicularei din

D

pe dreapta

A B

O

este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului

A B C D

și

E

este punctul de intersecție a dreptelor

A D

și

B C

.
a) Arătați că

A M = 12 \sqrt{2}

m.
b) Determinați aria triunghiului

A E B

.
c) Punctul

P

este mijlocul laturii

A B

. Demonstrați că punctele

P

O

și

E

sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul $A M D$ este dreptunghic în $M$ , deci $\cos (∢ D A M) = \frac{A M}{A D}$ : $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{A M}{24} \Rightarrow A M = 12 \sqrt{2}$ m.

b) Trapezul este isoscel, deci $A B = C D + 2 \cdot A M$ $= 12 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2}$ m. Cum m(∢BAE) = m(∢ABE) = 45°, triunghiul $A B E$ este dreptunghic isoscel (unghiul drept în $E$ ), deci distanța de la $E$ la $A B$ (înălțimea, care este și mediană) este $d (E, A B) = \frac{A B}{2} = 18 \sqrt{2}$ m.

A_{A E B} = \frac{36 \sqrt{2} \cdot 18 \sqrt{2}}{2} = 648 m^{2} .

c) Triunghiul $A B E$ este isoscel și $E P$ este mediană, deci $E P ⊥ A B$ . Triunghiurile $A B D$ și $B A C$ sunt congruente (LUL: $A B$ latură comună, $A D = B C$ , ∢DAB ≡ ∢CBA), deci ∢ABD ≡ ∢BAC, adică triunghiul $A O B$ este isoscel; $O P$ este mediană, deci $O P ⊥ A B$ . Prin punctul $P$ trece o singură perpendiculară pe $A B$ , deci punctele $P$ , $O$ și $E$ sunt coliniare.

Problema III.2 (15 puncte)

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cu baza pătratul

A B C D

A B = 4

cm și

A A^{'} = 2 \sqrt{2}

cm. Punctul

O

este punctul de intersecție a dreptelor

A C

și

B D

.
a) Arătați că volumul prismei

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

este egal cu

32 \sqrt{2}

cm³.
b) Calculați lungimea segmentului

D^{'} O

.
c) Demonstrați că sinusul unghiului dintre dreptele

B C^{'}

și

E O

este egal cu

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, unde

E

este punctul de intersecție a dreptelor

A^{'} D

și

A D^{'}

Vezi rezolvarea

a) $V = A_{b} \cdot h = A B^{2} \cdot A A^{'}$ $= 4^{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2}$ cm³.

b) $B D = A B \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ cm, deci $D O = \frac{B D}{2} = 2 \sqrt{2}$ cm. Muchia $D D^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deci triunghiul $D^{'} D O$ este dreptunghic în $D$ :

D^{'} O = \sqrt{D D^{' 2} + D O^{2}} = \sqrt{8 + 8} = 4 cm .

c) $A B C^{'} D^{'}$ este paralelogram, deci $B C^{'} ∥ A D^{'}$ și unghiul dintre $B C^{'}$ și $E O$ este egal cu unghiul dintre $A D^{'}$ și $E O$ .

$A D^{'} = D^{'} C = \sqrt{16 + 8} = 2 \sqrt{6}$ cm, deci triunghiul $D^{'} A C$ este isoscel, iar mediana $D^{'} O$ este și înălțime: $D^{'} O ⊥ A O$ . Ducem $O F ⊥ A D^{'}$ , $F \in A D^{'}$ . În triunghiul dreptunghic $A O D^{'}$ , cu $A O = 2 \sqrt{2}$ cm:

O F = \frac{A O \cdot D^{'} O}{A D^{'}} = \frac{2 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \sqrt{6}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} cm .

$E$ este mijlocul ipotenuzei $A D^{'}$ (diagonalele dreptunghiului $A D D^{'} A^{'}$ se înjumătățesc), deci $O E = \frac{A D^{'}}{2} = \sqrt{6}$ cm. Triunghiul $E O F$ este dreptunghic în $F$ :

\sin (∢ A E O) = \frac{O F}{O E} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} .

Ce capitole verifică subiectul

Item	Temă	Recapitulează
I.1–I.4, II.2	Ordinea operațiilor, procente, mulțimi, perimetrul pătratului, media geometrică	Procente · Media geometrică
II.3	Împărțirea cu rest, c.m.m.d.c.	C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
II.4	Funcția liniară, graficul, simetricul unui punct	Funcția de gradul I
II.5	Rapoarte algebrice	Formule de calcul prescurtat
I.6	Citirea unei diagrame	Formule clasa a 8-a
III.1	Trapezul isoscel, triunghiul dreptunghic isoscel, coliniaritate	Patrulatere · Triunghiul dreptunghic
I.5, II.1, III.2	Tetraedrul regulat, piramida, prisma dreaptă cu baza pătrat, unghiul a două drepte	Piramida patrulateră regulată · Prisma patrulateră regulată

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	21
I.2	150
I.3	1
I.4	40
I.5	16
I.6	5
II.1	desenul piramidei patrulatere regulate $V A B C D$
II.2	$a = 1$ , $b = 4$ , $m_{g} = 2$
II.3	$n = 24$
II.4	a) dreapta prin $(0, - 6)$ și $(3, 0)$ ; b) $m = 3$
II.5	$E (x) = 1$
III.1	a) $A M = 12 \sqrt{2}$ m; b) 648 m²; c) $E P ⊥ A B$ , $O P ⊥ A B$
III.2	a) $32 \sqrt{2}$ cm³; b) $D^{'} O = 4$ cm; c) $\sin = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Continuă cu subiectele din anii următori, în formatul actual cu grile: Simularea EN 2021, Examenul EN 2021 și Examenul EN 2026. Pentru anul acesta vezi modelul EN 2027 rezolvat. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.

Întrebări frecvente

Când a avut loc Evaluarea Națională 2019 la matematică? Proba scrisă la matematică a Evaluării Naționale 2019 a avut loc joi, 20 iunie 2019, de la ora 9:00, iar baremul a fost publicat de minister în aceeași zi.

Cum arată structura subiectului de matematică din 2019? Trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I are 6 itemi la care se scrie doar rezultatul, Subiectul II are 5 itemi cu rezolvare completă (primul este un desen de corp geometric), iar Subiectul III are 2 probleme de geometrie, fiecare cu punctele a), b), c). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.

Cum se punctează subiectul de matematică din 2019? La Subiectul I fiecare răspuns primește fie 5 puncte, fie 0 puncte, fără punctaje intermediare. La Subiectele II și III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral. Nota se obține împărțind la 10 punctajul total.

Care sunt răspunsurile de la Subiectul I din 2019? I.1: 21; I.2: 150; I.3: 1; I.4: 40; I.5: 16; I.6: 5 — conform baremului oficial.

Exersează teste EN cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate · Calculator medie admitere liceu

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE (fost CNEE), publicat pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Evaluare Națională 2019 matematică — subiectele rezolvate complet

Subiectul I — se scrie doar rezultatul (30 de puncte)

Itemul I.1 (Subiectul I · Calcul numeric · 5 puncte)

Itemul I.2 (Subiectul I · Procente · 5 puncte)

Itemul I.3 (Subiectul I · Mulțimi · 5 puncte)

Itemul I.4 (Subiectul I · Geometrie plană · 5 puncte)

Itemul I.5 (Subiectul I · Geometrie în spațiu · 5 puncte)

Itemul I.6 (Subiectul I · Organizarea datelor · 5 puncte)

Subiectul al II-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Itemul II.1 (Subiectul II · 5 puncte)

Itemul II.2 (Subiectul II · 5 puncte)

Itemul II.3 (Subiectul II · 5 puncte)

Itemul II.4 (Subiectul II · 10 puncte)

Itemul II.5 (Subiectul II · 5 puncte)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete (30 de puncte)

Problema III.1 (15 puncte)

Problema III.2 (15 puncte)

Ce capitole verifică subiectul

Răspunsuri pe scurt

Întrebări frecvente

Formule conexe