Evaluare Națională 2024 matematică

Subiectele oficiale de matematică de la Evaluarea Națională 2024 (sesiunea de examen), rezolvate pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectul I (algebră) și Subiectul II (geometrie), plus cele 6 probleme din Subiectul III, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului

8 + 14 : 2

este egal cu:

22
15 ✓ răspuns corect
11
6

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Împărțirea se efectuează înaintea adunării: $14 : 2 = 7$ , apoi $8 + 7 = 15$ .

Capcana tipică: Dacă aduni întâi, obții $(8 + 14) : 2 = 11$ , ceea ce este greșit.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Un album costă 200 de lei. După o reducere cu 20%, prețul albumului este egal cu:

20 de lei
40 de lei
160 de lei ✓ răspuns corect
180 de lei

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Reducerea: $\frac{20}{100} \cdot 200 = 40$ de lei.
Prețul după reducere: $200 - 40 = 160$ de lei.

Capcana tipică: 40 de lei este valoarea reducerii, nu prețul nou.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Se consideră intervalele de numere reale

I = (- \infty, 6]

și

J = (4, + \infty)

. Intersecția intervalelor I și J este intervalul:

$(- \infty, 4]$
$[4, 6)$
$(6, + \infty)$
$(4, 6]$ ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Intersecția conține numerele care aparțin ambelor intervale: $x \leq 6$ și $x > 4$ , adică $I \cap J = (4, 6]$ .

Capcana tipică: 4 este exclus (J este deschis la 4), iar 6 este inclus (I este închis la 6).

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Cel mai mare număr din mulțimea

A = {5, (024); 5, (24);

5, 2 (4); 5, 24}

este:

$5, (024)$
$5, (24)$
$5, 2 (4)$ ✓ răspuns corect
$5, 24$

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $5, (024) = 5,024 024 \dots$
$5, (24) = 5,242 424 \dots$
$5, 2 (4) = 5,244 444 \dots$
$5, 24 = 5,240 000$
Comparând zecimală cu zecimală, cel mai mare număr este $5, 2 (4)$ .

Capcana tipică: $5, (24)$ are perioada 24 ( $5,242 4 \dots$ ), deci este mai mic decât $5, 2 (4) = 5,244 4 \dots$

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Alin, Ioana, Dana și Vlad, calculează suma numerelor reale $a$ și $b$ pentru care $| a + 3 | + | b - 4 | = 0$ . Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Alin	Ioana	Dana	Vlad
−7	−1	1	7

Rezultatul corect a fost obținut de către:

Alin
Ioana
Dana ✓ răspuns corect
Vlad

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Modulul unui număr real este mai mare sau egal cu 0, deci suma a două module este 0 doar dacă ambele module sunt 0: $a + 3 = 0$ și $b - 4 = 0$ .
$a = - 3$ , $b = 4$ , deci $a + b = 1$ — Dana.

Capcana tipică: Dacă iei $a = 3$ în loc de $a = - 3$ , obții greșit 7 (Vlad).

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Afirmația: „Numărul 1 este soluția ecuației

2 x + 3 = 4 x + 1

.” este:

adevărată ✓ răspuns corect
falsă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Înlocuim $x = 1$ : membrul stâng este $2 \cdot 1 + 3 = 5$ , iar membrul drept $4 \cdot 1 + 1 = 5$ .
Egalitatea este adevărată, deci 1 este soluția ecuației (din $2 x = 2$ rezultă $x = 1$ ).

Capcana tipică: Verifică ambii membri ai ecuației după înlocuire.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât BC = 4 cm, AD = 4 · BC și AB = CD. Lungimea segmentului AB este egală cu:

4 cm
6 cm ✓ răspuns corect
8 cm
12 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AD = 4 · 4 = 16 cm.
AD = AB + BC + CD = 2 · AB + 4, deci 2 · AB = 12 și AB = 6 cm.

Capcana tipică: Scade întâi BC din AD; dacă împarți direct AD la 2 obții greșit 8 cm.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC și măsura unghiului C egală cu 40°. Punctele B, A și D sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului CAD este egală cu:

40°
60°
80° ✓ răspuns corect
100°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AB = AC, deci m(∢B) = m(∢C) = 40° și m(∢BAC) = 180° − 80° = 100°.
Unghiurile BAC și CAD sunt adiacente suplementare: m(∢CAD) = 180° − 100° = 80°.

Capcana tipică: 100° este unghiul BAC, nu unghiul exterior CAD.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu măsura unghiului A egală cu 43° și măsura unghiului C egală cu 51°. Punctele M, N și P aparțin laturilor AC, AB, respectiv BC, astfel încât dreapta MN este paralelă cu dreapta BC și dreapta MP este paralelă cu dreapta AB. Măsura unghiului NMP este egală cu:

43°
51°
86° ✓ răspuns corect
94°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢B) = 180° − 43° − 51° = 86°.
MN ∥ BP și MP ∥ BN, deci BNMP este paralelogram, iar unghiurile opuse NMP și NBP sunt congruente: m(∢NMP) = 86°.

Capcana tipică: 94° este suplementul lui 86°; unghiurile opuse ale paralelogramului sunt congruente, nu suplementare.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD. Punctul M este mijlocul segmentului AB și aria triunghiului ACM este egală cu 10 cm². Aria paralelogramului ABCD este egală cu:

10 cm²
20 cm²
30 cm²
40 cm² ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: CM este mediană în triunghiul ABC, deci $A_{A B C} = 2 \cdot A_{A C M} = 20$ cm².
Diagonala AC împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente: $A_{A B C D} = 2 \cdot 20 = 40$ cm².

Capcana tipică: 20 cm² este doar aria triunghiului ABC, adică jumătate din paralelogram.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 6 cm. Punctele A, B și C aparțin cercului, AC este diametru și măsura unghiului BAC este egală cu 30°. Lungimea coardei BC este egală cu:

6 cm ✓ răspuns corect
$6 \sqrt{3}$ cm
12 cm
$8 \sqrt{3}$ cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AC = 2 · 6 = 12 cm. Unghiul ABC este înscris în semicerc, deci m(∢ABC) = 90°.
În triunghiul dreptunghic ABC, cateta BC se opune unghiului de 30°: $B C = \frac{A C}{2} = 6$ cm.

Capcana tipică: $6 \sqrt{3}$ cm este lungimea catetei AB, nu a lui BC.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D'. Unghiul dreptelor AC și AD' are măsura egală cu:

45°
60° ✓ răspuns corect
90°
120°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AC, AD' și CD' sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci AC = AD' = CD' și triunghiul ACD' este echilateral. Unghiul dreptelor AC și AD' este unghiul CAD', adică 60°.

Capcana tipică: Diagonalele fețelor cubului formează triunghiuri echilaterale ⟹ 60°.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Varianta 7), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev. a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.

Vezi rezolvarea

a) Dacă în clasă ar fi 30 de elevi, atunci $30 - 3 = 27$ de elevi ar trebui așezați câte doi în fiecare bancă. Cum 27 este număr impar, acest lucru nu e posibil, deci nu pot fi 30 de elevi.

b) Notăm cu $a$ numărul elevilor și cu $b$ numărul băncilor. Din prima situație: $a = 2 b + 3$ . În a doua situație sunt ocupate complet $b - 6$ bănci (5 sunt libere și una are un singur elev): $a = 4 (b - 6) + 1$ .

2 b + 3 = 4 b - 23 \Rightarrow 2 b = 26 \Rightarrow b = 13.

În laborator sunt 13 bănci (și $a = 29$ de elevi; verificare: $4 \cdot 7 + 1 = 29$ ).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x - 1}) \cdot (x^{2} - 4),

unde

x

este număr real,

x \neq 1

și

x \neq 2

. a) Arată că

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

, pentru orice număr real

x

. b) Determină numerele întregi

n

n \neq 1

și

n \neq 2

, pentru care

N = \frac{5}{E (n)}

este număr natural.

Vezi rezolvarea

a) $x^{2} - 3 x + 2 = x^{2} - 2 x - x + 2 =$ $x (x - 2) - (x - 2) = (x - 2) (x - 1)$ , pentru orice număr real $x$ .

b) Folosind a) și $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ :

E (x) = \frac{1 + (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \cdot (x^{2} - 4)

= \frac{x - 1}{(x - 1) (x - 2)} \cdot (x - 2) (x + 2) = x + 2.

$N = \frac{5}{n + 2}$ este număr natural dacă $n + 2$ este un divizor natural al lui 5, adică $n + 2 \in {1, 5}$ . Obținem $n = - 1$ și $n = 3$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = 2 x - 1

. a) Arată că

f (0) + f (1) = 0

. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției

f

intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul

C (- \frac{1}{2}, 0)

la dreapta AB.

Vezi rezolvarea

a) $f (0) = - 1$ și $f (1) = 1$ , deci $f (0) + f (1) = 0$ .

b) $f (x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ , deci $A (\frac{1}{2}, 0)$ ; $f (0) = - 1$ , deci $B (0, - 1)$ . Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu $O A = \frac{1}{2}$ și OB = 1, deci $A B = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Fie $C D ⊥ A B$ , $D \in A B$ . Punctele A și C sunt pe axa Ox, cu AC = 1, iar OB este înălțimea triunghiului ABC din B. Scriind aria triunghiului ABC în două moduri, $\frac{A C \cdot O B}{2} = \frac{A B \cdot C D}{2}$ , obținem

C D = \frac{A C \cdot O B}{A B} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC. Înălțimea din vârful A intersectează latura BC în punctul D și AD = BC. Înălțimea din vârful B intersectează latura AC în punctul E. Înălțimile AD și BE se intersectează în punctul H. a) Arată că unghiurile DAC și EBC au aceeași măsură. b) Demonstrează că AH = 3 · HD.

Vezi rezolvarea

a) În triunghiul ADC, dreptunghic în D: m(∢DAC) + m(∢ACB) = 90°. În triunghiul BEC, dreptunghic în E: m(∢EBC) + m(∢ACB) = 90°. Rezultă m(∢DAC) = m(∢EBC).

b) Triunghiul ABC este isoscel și $A D ⊥ B C$ , deci AD este și mediană: $B D = D C = \frac{B C}{2} = \frac{A D}{2}$ . Din a), ∢HBD ≡ ∢DAC, iar ∢BDH ≡ ∢ADC (ambele de 90°), deci $△ B H D \sim △ A C D$ și

\frac{H D}{D C} = \frac{B D}{A D} \Rightarrow H D = \frac{\frac{A D}{2} \cdot \frac{A D}{2}}{A D} = \frac{A D}{4} .

Atunci $A H = A D - H D = \frac{3 \cdot A D}{4} = 3 \cdot H D$ .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care CD este diametru. Punctul B aparține cercului astfel încât dreptele BO și CD sunt perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și BO se intersectează în punctul N, DN = 2 · MN și MN = 4 cm. a) Arată că măsura unghiului CMD este egală cu 90°. b) Calculează aria triunghiului DON.

Vezi rezolvarea

a) CD este diametru, deci arcul CD pe care se sprijină unghiul înscris CMD are 180°. Atunci m(∢CMD) = 180° : 2 = 90°.

b) ND = 2 · 4 = 8 cm și MD = MN + ND = 12 cm. Unghiul NDO este același cu unghiul MDC. În triunghiul NOD, dreptunghic în O, cos(∢NDO) = $\frac{O D}{N D}$ , iar în triunghiul CMD, dreptunghic în M, cos(∢MDC) = $\frac{M D}{C D}$ . Cum CD = 2 · OD:

\frac{O D}{8} = \frac{12}{2 \cdot O D} \Rightarrow O D^{2} = 48 \Rightarrow O D = 4 \sqrt{3} cm .

$O N = \sqrt{D N^{2} - O D^{2}} = \sqrt{64 - 48} = 4$ cm, deci

A_{D O N} = \frac{O N \cdot O D}{2} = \frac{4 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3} {cm}^{2} .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′ cu baza triunghiul echilateral ABC, AB = 12 cm și

A A^{'} = 3 \sqrt{3}

cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB. a) Arată că aria laterală a prismei ABCA′B′C′ este egală cu

108 \sqrt{3}

cm². b) Determină distanța de la punctul M la planul (A′B′C).

Vezi rezolvarea

a) Fețele laterale sunt dreptunghiuri congruente: $A_{A B B^{'} A^{'}} = A B \cdot A A^{'} = 12 \cdot 3 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3}$ cm², deci $A_{ℓ} = 3 \cdot 36 \sqrt{3} = 108 \sqrt{3}$ cm².

b) Fie N mijlocul segmentului A′B′. Cum A′C = B′C, triunghiul A′B′C este isoscel, deci $C N ⊥ A^{'} B^{'}$ . Dreapta MN este paralelă cu AA′, deci $M N ⊥ A^{'} B^{'}$ . Cum $C N \cap M N = {N}$ , rezultă $A^{'} B^{'} ⊥ (C M N)$ .

Ducem $M P ⊥ C N$ , $P \in C N$ . Din $A^{'} B^{'} ⊥ (C M N)$ și $M P \subset (C M N)$ rezultă $A^{'} B^{'} ⊥ M P$ ; cum A′B′ și CN sunt concurente în N și incluse în planul (A′B′C), obținem $M P ⊥ (A^{'} B^{'} C)$ , deci d(M, (A′B′C)) = MP.

Triunghiul MNC este dreptunghic în M, cu $M N = 3 \sqrt{3}$ cm și $C M = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$ cm, deci $C N = \sqrt{27 + 108} = 3 \sqrt{15}$ cm și

M P = \frac{M N \cdot C M}{C N} = \frac{3 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{3}}{3 \sqrt{15}} = \frac{18}{\sqrt{15}}

= \frac{6 \sqrt{15}}{5} cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Evaluare Națională 2024 matematică — subiectele rezolvate complet

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională