Evaluare Națională 2023 matematică

Subiectele oficiale de matematică de la Evaluarea Națională 2023 (sesiunea de examen), rezolvate pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectul I (algebră) și Subiectul II (geometrie), plus cele 6 probleme din Subiectul III, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului

15 - (3 + 4)

este egal cu:

3
8 ✓ răspuns corect
16
22

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Se efectuează întâi paranteza: $3 + 4 = 7$ , apoi $15 - 7 = 8$ .

Capcana tipică: Fără paranteză s-ar obține $15 - 3 + 4 = 16$ ; paranteza se calculează prima.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Știind că

\frac{x}{y} = \frac{5}{2}

y \neq 0

, rezultatul calculului

2 x - 5 y + 10

este egal cu:

0
7
10 ✓ răspuns corect
17

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $2 x = 5 y$ , deci $2 x - 5 y = 0$ .
$2 x - 5 y + 10 = 0 + 10 = 10$ .

Capcana tipică: Nu e nevoie să afli x și y; ajunge relația $2 x = 5 y$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Produsul dintre numărul 3 și opusul numărului 3 este egal cu:

$- 9$ ✓ răspuns corect
$- 6$
$0$
$1$

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Opusul lui 3 este $- 3$ , deci produsul este $3 \cdot (- 3) = - 9$ .

Capcana tipică: Opusul lui 3 este $- 3$ , nu inversul $\frac{1}{3}$ (cu inversul ai obține 1).

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Numărul care reprezintă

\frac{2}{3}

din 12 este egal cu:

2
4
8 ✓ răspuns corect
12

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{24}{3} = 8$ .

Capcana tipică: 4 reprezintă doar $\frac{1}{3}$ din 12.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Profesorul întreabă care este cel mai mare număr întreg din intervalul $(- 2, 5)$ . Răspunsurile date de elevii Andreea, Marina, David și Vlad sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Andreea	Marina	David	Vlad
−3	−2	5	4

Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect la întrebarea profesorului este:

Andreea
Marina
David
Vlad ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Intervalul $(- 2, 5)$ este deschis, deci nu conține capetele $- 2$ și 5.
Numerele întregi din interval sunt $- 1, 0, 1, 2, 3, 4$ ; cel mai mare este 4 — Vlad.

Capcana tipică: 5 este capătul intervalului, dar paranteza rotundă îl exclude.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute la un test la matematică, de către elevii unei clase a VIII-a (numărul de elevi pentru fiecare notă):

Nota	4	5	6	7	8	9	10
Nr. elevi	2	2	6	8	5	4	2

Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, la acest test, nota 7 a fost obținută de 10 elevi.” este:

adevărată
falsă ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din diagramă, bara corespunzătoare notei 7 are înălțimea 8: nota 7 a fost obținută de 8 elevi, nu de 10. Afirmația este falsă.

Capcana tipică: 10 este cea mai mare notă din diagramă, nu numărul de elevi cu nota 7 (aceștia sunt 8).

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AB = BC = CD, iar lungimea segmentului AC este egală cu 10 cm. Lungimea segmentului AD este egală cu:

5 cm
10 cm
15 cm ✓ răspuns corect
20 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AC = AB + BC = 2 · AB = 10 cm, deci AB = 5 cm.
AD = AB + BC + CD = 3 · 5 = 15 cm.

Capcana tipică: AD conține trei segmente de 5 cm, nu patru (20 cm).

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, O și B, în această ordine. Punctele M și N sunt de aceeași parte a dreptei AB, astfel încât măsura unghiului MOA este egală cu 30° și dreapta ON este perpendiculară pe dreapta AB. Măsura unghiului MON este egală cu:

30°
45°
60° ✓ răspuns corect
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: ON ⊥ AB, deci m(∢AON) = 90°.
M și N sunt de aceeași parte a dreptei AB și m(∢MOA) = 30° $<$ 90°, deci semidreapta OM este în interiorul unghiului AON: m(∢MON) = 90° − 30° = 60°.

Capcana tipică: 90° este unghiul AON; din el se scade unghiul MOA de 30°.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu aria de 15 cm². Punctul M se află pe segmentul BC, astfel încât BC = 3 · BM. Aria triunghiului AMC este egală cu:

5 cm²
7,5 cm²
10 cm² ✓ răspuns corect
12,5 cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Triunghiurile AMC și ABC au aceeași înălțime din A, deci ariile lor sunt proporționale cu bazele MC și BC.
$M C = B C - B M = \frac{2}{3} B C$ , deci $A_{A M C} = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ cm².

Capcana tipică: 5 cm² este aria triunghiului ABM (baza BM este o treime din BC).

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu perimetrul egal cu 40 cm. Lungimea segmentului AC este egală cu:

10 cm
$10 \sqrt{2}$ cm ✓ răspuns corect
$10 \sqrt{3}$ cm
20 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Latura pătratului: AB = 40 : 4 = 10 cm.
În triunghiul dreptunghic ABC: $A C^{2} = 10^{2} + 10^{2} = 200$ , deci $A C = 10 \sqrt{2}$ cm.

Capcana tipică: $10 \sqrt{3}$ cm ar fi diagonala unui cub cu muchia de 10 cm, nu a pătratului.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată, punctele distincte A, B, C, D, E, F, G și H sunt reprezentate pe cercul de centru O, astfel încât arcele mici AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH și HA sunt congruente. Măsura arcului mic BC este egală cu:

30°
45° ✓ răspuns corect
60°
75°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cele 8 arce congruente acoperă tot cercul, adică 360°.
Măsura arcului mic BC este $360^{\circ} : 8 = 45^{\circ}$ .

Capcana tipică: Arcele acoperă întregul cerc (360°), nu un semicerc (180°).

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 5 cm. Lungimea segmentului BD′ este egală cu:

5 cm
$5 \sqrt{2}$ cm
$5 \sqrt{3}$ cm ✓ răspuns corect
10 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Diagonala bazei: $B D = 5 \sqrt{2}$ cm. Triunghiul BDD′ este dreptunghic în D, cu DD′ = 5 cm.
$B D^{' 2} = B D^{2} + D D^{' 2} = 50 + 25 = 75$ , deci $B D^{'} = 5 \sqrt{3}$ cm.

Capcana tipică: $5 \sqrt{2}$ cm este diagonala unei fețe, nu diagonala cubului.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Varianta 1), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Maria are 14 ani și tatăl ei are 40 de ani. a) Este posibil ca, peste 2 ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani? Justifică răspunsul dat. b) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.

Vezi rezolvarea

a) Peste 2 ani, Maria va avea $14 + 2 = 16$ ani, iar tatăl ei $40 + 2 = 42$ de ani. Cum $16 + 42 = 58 \neq 60$ , nu este posibil.

b) Notăm cu $x$ numărul de ani care trebuie să treacă. Atunci

14 + x = \frac{1}{2} \cdot (40 + x) \Rightarrow 28 + 2 x = 40 + x \Rightarrow x = 12.

Peste 12 ani (Maria va avea 26 de ani, iar tatăl ei 52).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{x + 2}) : \frac{x + 3}{5 (x + 1)},

unde

x

este număr real,

x \neq - 3

x \neq - 2

și

x \neq - 1

. a) Arată că

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x + 1}

, pentru orice număr real

x

x \neq - 2

și

x \neq - 1

. b) Determină suma soluțiilor ecuației

E (x) = \frac{x - 3}{8}

, unde

x

este număr real,

x \neq - 3

x \neq - 2

și

x \neq - 1

Vezi rezolvarea

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1 + x + 1}{(x + 1) (x + 2)}

= \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 1} .

b) Folosind a):

E (x) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{5 (x + 1)}{x + 3} = \frac{5}{x + 3} .

Ecuația devine $\frac{5}{x + 3} = \frac{x - 3}{8}$ , adică $(x - 3) (x + 3) = 40$ , $x^{2} - 9 = 40$ , $x^{2} = 49$ . Soluțiile $x = - 7$ și $x = 7$ convin (sunt diferite de −3, −2, −1), deci suma soluțiilor este 0.

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = - x + 5

. a) Arată că

f (4) + f (6) = 0

. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției

f

intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Calculează distanța de la punctul

P (0, - 3)

la dreapta AB.

Vezi rezolvarea

a) $f (4) = 1$ și $f (6) = - 1$ , deci $f (4) + f (6) = 0$ .

b) $f (x) = 0 \Rightarrow x = 5$ , deci $A (5, 0)$ ; $f (0) = 5$ , deci $B (0, 5)$ . În triunghiul dreptunghic AOB: $A B = \sqrt{A O^{2} + O B^{2}} = \sqrt{25 + 25} = 5 \sqrt{2}$ . Punctele P și B sunt pe axa Oy, cu PB = 5 + 3 = 8, iar AO este înălțimea triunghiului PAB din A. Scriem aria triunghiului PAB în două moduri:

\frac{d (P, A B) \cdot A B}{2} = \frac{A O \cdot P B}{2} = \frac{5 \cdot 8}{2} = 20,

de unde $d (P, A B) = \frac{40}{5 \sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$ .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD și BC = 10 cm. Semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC și măsura unghiului ABD este egală cu 15°. a) Determină măsura unghiului BCD. b) Arată că

A B - A D < 14

cm.

Vezi rezolvarea

a) BD este bisectoarea unghiului ABC, deci m(∢ABC) = 2 · 15° = 30°. Cum AB ∥ CD, unghiurile ABC și BCD sunt suplementare: m(∢BCD) = 180° − 30° = 150°.

b) CD ∥ AB și BD este secantă, deci ∢CDB ≡ ∢ABD ≡ ∢CBD; triunghiul BCD este isoscel, cu CD = BC = 10 cm. Ducem $C E ⊥ A B$ , $E \in A B$ ; AECD este dreptunghi, deci AD = CE și AE = CD = 10 cm. Triunghiul CEB este dreptunghic în E, cu m(∢CBE) = 30°, deci $C E = \frac{B C}{2} = 5$ cm și $B E = 5 \sqrt{3}$ cm. Atunci

A B - A D = (10 + 5 \sqrt{3}) - 5 = 5 + 5 \sqrt{3} cm .

$5 + 5 \sqrt{3} < 14 \Leftrightarrow 5 \sqrt{3} < 9 \Leftrightarrow \sqrt{75} < \sqrt{81}$ , adevărat. Deci $A B - A D < 14$ cm.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu

A B = 9 \sqrt{10}

cm și AC = 30 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar punctul M este mijlocul segmentului CD. Dreptele BC și AM se intersectează în punctul E, iar dreptele OE și CD se intersectează în punctul P. a) Arată că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 270 cm². b) Arată că lungimea segmentului SP este egală cu 10 cm, unde S este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul ABC este dreptunghic în B: $B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = 900 - 810 = 90$ , deci $B C = 3 \sqrt{10}$ cm. $A_{A B C D} = A B \cdot B C = 9 \sqrt{10} \cdot 3 \sqrt{10} = 270$ cm².

b) Triunghiurile MCE și MDA sunt congruente (MC = MD, unghiurile din C și D sunt drepte, iar ∢CME ≡ ∢DMA, opuse la vârf), deci ME = MA.

În triunghiul ACE, CM și EO sunt mediane (M este mijlocul lui AE, O este mijlocul lui AC), iar $C M \cap E O = {P}$ ; deci P este centrul de greutate al triunghiului ACE și $\frac{M P}{M C} = \frac{1}{3}$ .

În triunghiul ACD, AM și DO sunt mediane, iar $A M \cap D O = {S}$ ; deci S este centrul de greutate al triunghiului ACD și $\frac{M S}{M A} = \frac{1}{3}$ .

Din $\frac{M P}{M C} = \frac{M S}{M A} = \frac{1}{3}$ și ∢SMP ≡ ∢AMC rezultă $△ S M P \sim △ A M C$ , deci $S P = \frac{1}{3} \cdot A C = 10$ cm.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 10 cm. a) Arată că măsura unghiului dreptelor AB′ și BC′ este egală cu 60°. b) Calculează distanța de la punctul C la planul (BDC′).

Vezi rezolvarea

a) $A B^{'} ∥ D C^{'}$ , deci ∢(AB′, BC′) = ∢(DC′, BC′). Segmentele BC′, DC′ și DB sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci $B C^{'} = D C^{'} = D B = 10 \sqrt{2}$ cm, iar triunghiul BC′D este echilateral. Rezultă ∢(AB′, BC′) = m(∢BC′D) = 60°.

b) Fie $A C \cap B D = {O}$ . $C C^{'} ⊥ (A B C)$ și $B D \subset (A B C)$ , deci $B D ⊥ C C^{'}$ ; cum și $B D ⊥ A C$ , iar $C C^{'} \cap A C = {C}$ , rezultă $B D ⊥ (C C^{'} O)$ .

Ducem $C P ⊥ C^{'} O$ , $P \in C^{'} O$ . Cum $C P \subset (C C^{'} O)$ , avem $C P ⊥ B D$ ; și cum $C^{'} O \cap B D = {O}$ , obținem $C P ⊥ (B D C^{'})$ , deci CP este distanța de la C la planul (BDC′).

Triunghiul C′CO este dreptunghic în C, cu $C O = \frac{A C}{2} = 5 \sqrt{2}$ cm și CC′ = 10 cm, deci $C^{'} O = \sqrt{50 + 100} = 5 \sqrt{6}$ cm și

C P = \frac{C O \cdot C C^{'}}{C^{'} O} = \frac{5 \sqrt{2} \cdot 10}{5 \sqrt{6}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Evaluare Națională 2023 matematică — subiectele rezolvate complet

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională