Evaluare Națională 2022 matematică

Subiectele oficiale de matematică de la Evaluarea Națională 2022 (sesiunea de examen), rezolvate pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectul I (algebră) și Subiectul II (geometrie), plus cele 6 probleme din Subiectul III, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului

10 + 10 : 10

este egal cu:

2
9
10
11 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Împărțirea se efectuează înaintea adunării: $10 : 10 = 1$ , apoi $10 + 1 = 11$ .

Capcana tipică: Dacă aduni întâi, obții $(10 + 10) : 10 = 2$ , ceea ce este greșit.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Dacă

b \neq 0

și

\frac{a}{2} = \frac{10}{b}

, atunci

a \cdot b

este egal cu:

2
5
10
20 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a \cdot b = 2 \cdot 10 = 20$ .

Capcana tipică: Nu trebuie aflate a și b separat (pot fi, de exemplu, a = 4 și b = 5); se cere doar produsul lor, care este mereu 20.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Opusul numărului 5 este:

$- 5$ ✓ răspuns corect
$- \frac{1}{5}$
$\frac{1}{5}$
$5$

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Opusul numărului $a$ este $- a$ , deci opusul lui 5 este $- 5$ ( $5 + (- 5) = 0$ ).

Capcana tipică: $\frac{1}{5}$ este inversul lui 5, nu opusul.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Transformând numărul 1,3 în fracție ordinară se obține:

$\frac{1}{3}$
$\frac{13}{10}$ ✓ răspuns corect
$\frac{4}{3}$
$\frac{13}{9}$

Vezi rezolvarea

Rezolvare: 1,3 are o singură zecimală, deci $1, 3 = \frac{13}{10}$ .

Capcana tipică: $\frac{4}{3} = 1, (3)$ și $\frac{13}{9} = 1, (4)$ sunt fracții periodice, nu 1,3.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Ana, George, Radu și Elena, au calculat produsul numerelor $x = 2 \sqrt{2}$ și $y = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ , iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ana	George	Radu	Elena
$4 \sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	1	8

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

Ana
George
Radu ✓ răspuns corect
Elena

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $x \cdot y = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = 1$ — Radu.

Capcana tipică: y este inversul lui x, iar produsul unui număr cu inversul său este 1.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Andrei are 28 de ani, iar Cătălina are 13 ani. Andrei afirmă: „Peste doi ani voi avea dublul vârstei pe care o va avea Cătălina.”. Afirmația lui Andrei este:

adevărată ✓ răspuns corect
falsă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Peste 2 ani, Andrei va avea 30 de ani, iar Cătălina 15 ani.
$30 = 2 \cdot 15$ , deci afirmația este adevărată.

Capcana tipică: Adaugă cei 2 ani la ambele vârste (acum $28 \neq 2 \cdot 13$ ).

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat segmentul AB cu lungimea de 10 cm. Punctul A este mijlocul segmentului CB, iar punctul B este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului CD este egală cu:

10 cm
20 cm
30 cm
40 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: A este mijlocul lui CB: CB = 2 · AB = 20 cm.
B este mijlocul lui CD: CD = 2 · CB = 40 cm.

Capcana tipică: 20 cm este lungimea lui CB; CD este dublul lui CB.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOC și BOD. Măsura unghiului AOC este egală cu 60°. Măsura unghiului BOD este egală cu:

30°
60° ✓ răspuns corect
90°
120°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: m(∢BOD) = m(∢AOC) = 60°.

Capcana tipică: Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, nu suplementare (120°).

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu AB = BD = 12 cm. Punctul M este mijlocul segmentului CD și dreapta BM intersectează dreapta AC în punctul G. Lungimea segmentului AG este egală cu:

$12 \sqrt{3}$ cm
$10 \sqrt{3}$ cm
$9 \sqrt{3}$ cm
$8 \sqrt{3}$ cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: BC = CD = BD = 12 cm, deci triunghiul BCD este echilateral.
Fie O intersecția diagonalelor: CO este mediană (și înălțime) în triunghiul BCD: $C O = \frac{12 \sqrt{3}}{2}$ $= 6 \sqrt{3}$ cm, deci $A C = 12 \sqrt{3}$ cm.
G este intersecția medianelor BM și CO, adică centrul de greutate al triunghiului BCD: $C G = \frac{2}{3} \cdot C O = 4 \sqrt{3}$ cm.
$A G = A C - C G$
$= 12 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$ cm.

Capcana tipică: G este centrul de greutate al triunghiului BCD (nu al rombului); calculează întâi CG.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu bazele AB și CD, în care măsura unghiului BAD este egală cu 90°, AD = DC = 5 cm și AB = 10 cm. Măsura unghiului ABC este egală cu:

30°
45° ✓ răspuns corect
60°
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Fie CE ⊥ AB, E ∈ AB. AECD este pătrat, deci CE = AE = 5 cm și EB = 10 − 5 = 5 cm.
Triunghiul CEB este dreptunghic isoscel, deci m(∢ABC) = 45°.

Capcana tipică: Coboară înălțimea din C: CE = EB = 5 cm.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru BC = 10 cm. Punctul A aparține cercului astfel încât măsura arcului mic AC este de 120°. Lungimea segmentului AB este egală cu:

5 cm ✓ răspuns corect
$5 \sqrt{2}$ cm
$5 \sqrt{3}$ cm
10 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Arcul mic AB are $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ , deci m(∢AOB) = 60°.
OA = OB = 5 cm (raze), deci triunghiul AOB este echilateral: AB = 5 cm.
(Sau: m(∢BAC) = 90°, m(∢ACB) = 30°, deci $A B = \frac{B C}{2} = 5$ cm.)

Capcana tipică: $5 \sqrt{3}$ cm este lungimea coardei AC, corespunzătoare arcului de 120°.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH cu AB = 4 cm, BC = 3 cm și AE = 12 cm. Lungimea diagonalei AG a paralelipipedului este egală cu:

5 cm
13 cm ✓ răspuns corect
14 cm
19 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A G^{2} = A B^{2} + B C^{2} + A E^{2}$
$= 16 + 9 + 144 = 169$ , deci $A G = 13$ cm.

Capcana tipică: 5 cm este doar diagonala bazei AC, un pas intermediar.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Varianta 2), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Ana, Maria și Vlad au în total 396 de timbre. Ana are cu 25 de timbre mai multe decât Maria și cu 16 timbre mai puține decât Vlad. a) Poate avea Ana 132 de timbre? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de timbre pe care le are Vlad.

Vezi rezolvarea

a) Dacă Ana ar avea 132 de timbre, atunci Maria ar avea $132 - 25 = 107$ timbre, iar Vlad $132 + 16 = 148$ de timbre. Cum $132 + 107 + 148 = 387 \neq 396$ , nu este posibil ca Ana să aibă 132 de timbre.

b) Notăm cu $x$ numărul de timbre ale lui Vlad. Ana are $x - 16$ timbre, iar Maria $x - 16 - 25 = x - 41$ de timbre.

x + (x - 16) + (x - 41) = 396 \Rightarrow 3 x = 453 \Rightarrow x = 151.

Vlad are 151 de timbre (Ana 135, Maria 110).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (x + 1)^{2} +

2 (x - 1)^{2} - 3 (x^{2} - 1)

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = 6 - 2 x

, pentru orice număr real

x

. b) Determină mulțimea numerelor reale

x

, pentru care

E (x) < x

Vezi rezolvarea

E (x) = x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{2} - 2 x + 1) - 3 (x^{2} - 1)

= x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 4 x + 2 - 3 x^{2} + 3 = 6 - 2 x .

b) $6 - 2 x < x \Leftrightarrow 6 < 3 x \Leftrightarrow x > 2$ , deci mulțimea căutată este $(2, + \infty)$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x - 1

. a) Arată că

f (0) + f (1) = - 1

. b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției

f

cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul C este mijlocul segmentului AB, calculează aria triunghiului OBC.

Vezi rezolvarea

a) $f (0) = - 1$ și $f (1) = 0$ , deci $f (0) + f (1) = - 1$ .

b) $f (x) = 0 \Rightarrow x = 1$ , deci $A (1, 0)$ ; $f (0) = - 1$ , deci $B (0, - 1)$ . $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{1}{2}$ . OC este mediană în triunghiul AOB, deci împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale:

A_{O B C} = \frac{A_{A O B}}{2} = \frac{1}{4} .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C, D și E astfel încât AB = 4 cm, AC = 8 cm, AD = 10 cm și AE = 20 cm. Măsura unghiului BAC este egală cu măsura unghiului DAE și m(∢CAD) = 30°. a) Arată că aria triunghiului CAD este egală cu 20 cm². b) Demonstrează că CE = 2BD.

Vezi rezolvarea

a) Distanța de la C la dreapta AD este cateta opusă unghiului de 30° într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza AC, deci $d (C, A D) = \frac{A C}{2} = 4$ cm. Atunci $A_{C A D} = \frac{A D \cdot d (C, A D)}{2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20$ cm².

b) m(∢BAD) = m(∢BAC) + m(∢CAD) și m(∢CAE) = m(∢CAD) + m(∢DAE); cum ∢BAC ≡ ∢DAE, rezultă ∢BAD ≡ ∢CAE. În plus, $\frac{A B}{A C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ și $\frac{A D}{A E} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ . Din cazul LUL, $△ B A D \sim △ C A E$ , deci $\frac{B D}{C E} = \frac{1}{2}$ , adică CE = 2BD.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, m(∢ABC) = 45° și AD = CD = 10 cm. Paralela prin D la dreapta BC intersectează dreapta AB în punctul R. Dreptele AD și BC se intersectează în punctul T și O este punctul de intersecție a dreptelor TR și AC. a) Arată că punctul R este mijlocul segmentului AB. b) Calculează lungimea segmentului TO.

Vezi rezolvarea

a) CD ∥ AB și DR ∥ CB, deci BCDR este paralelogram și BR = CD = 10 cm. m(∢DAR) = 90° și m(∢ARD) = m(∢ABC) = 45° (unghiuri corespondente), deci triunghiul ADR este dreptunghic isoscel, cu AR = AD = 10 cm. Rezultă AR = RB, adică R este mijlocul segmentului AB (și AB = 20 cm).

b) CD ∥ AB și $C D = \frac{A B}{2}$ , deci CD este linie mijlocie în triunghiul TAB: C este mijlocul laturii TB, iar D este mijlocul laturii TA, deci TA = 20 cm. Triunghiul TAR este dreptunghic în A:

T R = \sqrt{T A^{2} + A R^{2}} = \sqrt{20^{2} + 10^{2}} = 10 \sqrt{5} cm .

TR și AC sunt mediane în triunghiul TAB, deci O este centrul de greutate al triunghiului TAB și

T O = \frac{2}{3} \cdot T R = \frac{20 \sqrt{5}}{3} cm .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDEF cu baza triunghiul echilateral ABC și AB = AD = 10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB. a) Arată că volumul prismei ABCDEF este egal cu

250 \sqrt{3}

cm³. b) Demonstrează că distanța de la punctul B la planul (EMC) este egală cu

2 \sqrt{5}

cm.

Vezi rezolvarea

a) $A_{A B C} = \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3}$ cm², iar înălțimea prismei este AD = 10 cm, deci $V = A_{A B C} \cdot A D = 250 \sqrt{3}$ cm³.

b) Ducem $B P ⊥ E M$ , $P \in E M$ . În triunghiul echilateral ABC, mediana CM este și înălțime: $C M ⊥ A B$ . Cum $A D ⊥ (A B C)$ , avem și $C M ⊥ A D$ ; AB și AD sunt concurente în A, deci $C M ⊥ (B A D)$ . Dreapta BP este inclusă în planul (BAD) (fața ABED), deci $B P ⊥ C M$ . Cum $C M \cap E M = {M}$ , rezultă $B P ⊥ (E M C)$ , deci d(B, (EMC)) = BP.

Triunghiul MBE este dreptunghic în B, cu MB = 5 cm și BE = 10 cm, deci $E M = \sqrt{25 + 100} = 5 \sqrt{5}$ cm și

B P = \frac{M B \cdot B E}{E M} = \frac{5 \cdot 10}{5 \sqrt{5}} = 2 \sqrt{5} cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Evaluare Națională 2022 matematică — subiectele rezolvate complet

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională