Test 5 antrenament EN 2021 matematică

Test 5 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2021 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, cu rezolvări complete după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 2 + 3 · (4 + 5) este egal cu:

19
−20
29 ✓ răspuns corect
45

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Întâi paranteza, apoi înmulțirea, la final adunarea: $2 + 3 \cdot 9 = 2 + 27 = 29$ .

Capcana tipică: Dacă aduni întâi 2 + 3 = 5 și apoi înmulțești cu 9, obții greșit 45.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Știind că x/2 = y/3, atunci rezultatul calculului 3x − 2y este egal cu:

0 ✓ răspuns corect
1
5
12

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ rezultă (produsul mezilor = produsul extremilor) $3 x = 2 y$ , deci $3 x - 2 y = 0$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Suma numerelor întregi negative din intervalul (−5; 4] este egală cu:

−15
−10 ✓ răspuns corect
0
10

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numerele întregi negative din $(- 5; 4]$ sunt −4, −3, −2, −1, cu suma −10.

Capcana tipică: −5 nu aparține intervalului (paranteză rotundă), de aceea −15 este greșit.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Dintre numerele 2018/2019, 2019/2020, 2020/2021 și 2021/2022, cel mai mare este:

2018/2019
2019/2020
2020/2021
2021/2022 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Fiecare fracție este 1 minus o fracție unitară: $\frac{2021}{2022} = 1 - \frac{1}{2022}$ etc. Cea mai mică „bucată scăzută” este $\frac{1}{2022}$ , deci cea mai mare este $\frac{2021}{2022}$ .

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi au calculat media geometrică a numerelor 4√2 și 2√2 și au obținut: Ana = 4, Andrei = 3√2, Anca = 8, Alin = 16. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:

Ana ✓ răspuns corect
Andrei
Anca
Alin

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $m_{g} = \sqrt{4 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$ , deci a calculat corect Ana.

Capcana tipică: $3 \sqrt{2}$ este media aritmetică a numerelor, nu media geometrică.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Ana are 14 ani, iar fratele ei are 10 ani. Ana afirmă că: „Peste trei ani, suma dintre vârsta mea și a fratelui meu va fi egală cu 27 de ani". Afirmația Anei este:

adevărată
falsă ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Peste trei ani Ana va avea 17 ani, iar fratele ei 13 ani: $17 + 13 = 30 \neq 27$ . Afirmația este falsă.

Capcana tipică: Fiecare dintre cei doi crește cu 3 ani, deci suma crește cu 6, nu cu 3.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat un triunghi ABC dreptunghic în A, iar punctele D, E și F sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC. Proiecția punctului E pe AC este punctul:

A
C
D
F ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: EF este linie mijlocie în triunghiul ABC (E mijlocul lui BC, F mijlocul lui AC), deci $E F ∥ A B$ . Cum $A B ⊥ A C$ , rezultă $E F ⊥ A C$ , deci proiecția lui E pe AC este F.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, dreptele paralele a și b sunt intersectate de secanta d, fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de 35° și de 2x + 5°. Valoarea lui x este de:

15
25
70 ✓ răspuns corect
75

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din figură, unghiurile de 35° și de $2 x + 5^{\circ}$ sunt suplementare (dreptele a și b sunt paralele): $2 x + 5 = 180 - 35 = 145$ , deci $2 x = 140$ și $x = 70$ .

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu ∠ABC = 60° și ∠BAC = 40°. Punctul D aparține dreptei BC astfel încât distanța dintre punctul A și punctul D să fie minimă. Măsura unghiului DAC este de:

10° ✓ răspuns corect
30°
80°
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Distanța de la A la dreapta BC este minimă pentru piciorul perpendicularei, deci $A D ⊥ B C$ . m(∢ACB) = 180° − 60° − 40° = 80°, iar în triunghiul ADC dreptunghic: m(∢DAC) = 90° − 80° = 10°.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Schița unei foi de tablă în formă de pătrat ABCD, cu AB = 2 m. Un tinichigiu vrea să taie din tablă o bucată în forma triunghiului BMC, unde M aparține dreptei DC, astfel încât aria triunghiului BMC să fie un sfert din aria pătratului ABCD. Lungimea segmentului CM este egală cu:

0,25 m
0,5 m
1 m ✓ răspuns corect
1,5 m

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Aria pătratului este $2^{2} = 4$ m², deci aria triunghiului BMC trebuie să fie 1 m². Triunghiul este dreptunghic în C: $\frac{B C \cdot C M}{2} = \frac{2 \cdot C M}{2} = 1$ , deci CM = 1 m.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

BD este raza cercului mare de centru B, CD = 2 cm este raza cercului mic de centru C, punctele A, B, C, D sunt coliniare și punctul E aparține cercului mic, astfel încât dreapta CE este perpendiculară pe dreapta AE. Distanța dintre punctele A și E este egală cu:

4 cm
4√2 cm ✓ răspuns corect
4√3 cm
6 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din figură, B se află pe cercul mic, deci BC = CD = 2 cm și raza cercului mare este BD = 4 cm = AB. Atunci AC = 6 cm. Triunghiul AEC este dreptunghic în E: $A E = \sqrt{A C^{2} - C E^{2}} = \sqrt{36 - 4} = 4 \sqrt{2}$ cm.

Capcana tipică: AE este tangentă la cercul mic ( $C E ⊥ A E$ ), de aceea se folosește teorema lui Pitagora în triunghiul AEC.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

O cutie în formă de cub ABCDEFGH are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 60 cm. Volumul cutiei este egal cu:

25 cm³
100 cm³
125 cm³ ✓ răspuns corect
150 cm³

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cubul are 12 muchii egale: $ℓ = 60 : 12 = 5$ cm, iar volumul este $5^{3} = 125$ cm³.

Capcana tipică: 150 cm² ar fi aria totală ( $6 ℓ^{2}$ ), nu volumul.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din Testul 5 oficial (Ministerul Educației – CNPEE, 2021), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Radu a citit în prima zi

\frac{1}{4}

din cartea pe care a primit-o de ziua lui de la Andreea. A doua zi citește 27 de pagini și constată că a citit jumătate din paginile cărții. a) Este posibil să aibă 100 de pagini cartea pe care a primit-o Radu de ziua lui de la Andreea? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de pagini din cartea lui Radu.

Vezi rezolvarea

a) Dacă ar avea 100 de pagini, în prima zi Radu ar citi $\frac{1}{4} \cdot 100 = 25$ de pagini, iar în două zile $25 + 27 = 52$ de pagini. Jumătate din carte ar fi 50 de pagini, iar $52 \neq 50$ , deci nu este posibil.

b) Notăm cu $x$ numărul de pagini:

\frac{x}{4} + 27 = \frac{x}{2} \Rightarrow

\frac{x}{4} = 27 \Rightarrow x = 108.

Cartea are 108 pagini.

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (x - 1)^{2} - (x - 2)^{2}

+ (1 - x)^{2} - (2 - x)^{2},

unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = 4 x - 6

, pentru orice număr real

x

. b) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația

2 - E (x) \leq 0

Vezi rezolvarea

a) $(1 - x)^{2} = (x - 1)^{2}$ și $(2 - x)^{2} = (x - 2)^{2}$ , deci

E (x) = 2 ((x - 1)^{2} - (x - 2)^{2})

= 2 (x - 1 - x + 2) \cdot

(x - 1 + x - 2)

= 2 (2 x - 3) = 4 x - 6.

b) $2 - E (x) = 2 - 4 x + 6 = 8 - 4 x$ . Inecuația $8 - 4 x \leq 0$ devine $4 x \geq 8$ , adică $x \geq 2$ . Mulțimea soluțiilor este $S = [2, + \infty)$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numerele reale

a = (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) : \frac{1}{2}

și

b = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})

. a) Arată că

a = \frac{16}{15}

. b) Arată că numărul

a

este de 16 ori mai mare decât numărul

b

Vezi rezolvarea

a) $a = \frac{5 + 3}{15} \cdot 2 = \frac{8}{15} \cdot 2 = \frac{16}{15}$ .

b) $b = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 3}{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15}$ . Atunci $a = \frac{16}{15} = 16 \cdot \frac{1}{15} = 16 b$ , iar $a, b > 0$ , deci a este de 16 ori mai mare decât b.

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată schița unui teren agricol în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 600 m și AD = 400 m. Punctul E este mijlocul laturii AB, punctul F este mijlocul laturii CD și punctul M este mijlocul segmentului CE. a) Arată că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 2000 m. b) Arată că aria patrulaterului AEMF este de trei ori mai mare decât aria triunghiului CFM.

Vezi rezolvarea

a) $P_{A B C D} = 2 (A B + A D) =$ $2 (600 + 400) = 2000$ m.

b) AE ∥ FC și AE = FC = 300 m, deci AECF este paralelogram, iar diagonala EF îl împarte în două triunghiuri cu arii egale: $A_{A E F} = A_{C F E}$ .

M este mijlocul lui CE, deci FM este mediană în triunghiul CFE: $A_{E M F} = A_{C F M} = \frac{1}{2} A_{C F E}$ . Atunci

A_{A E M F} = A_{A E F} + A_{E M F}

= 2 A_{C F M} + A_{C F M} = 3 A_{C F M} .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, iar punctul M este proiecția punctului A pe BC. Lungimea segmentului BM este de 16 cm, iar lungimea segmentului CM este de 4 cm. a) Arată că AM = 8 cm. b) Demonstrează că perimetrul triunghiului ABC este mai mare decât 44 cm.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul ABC este dreptunghic în A și $A M ⊥ B C$ . Din teorema înălțimii:

A M = \sqrt{C M \cdot M B} = \sqrt{4 \cdot 16}

= 8 cm .

b) BC = 4 + 16 = 20 cm. Din teorema catetei: $A C = \sqrt{C M \cdot C B} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ cm și $A B = \sqrt{B M \cdot B C} = \sqrt{320} = 8 \sqrt{5}$ cm.

P_{A B C} = 12 \sqrt{5} + 20 cm .

$12 \sqrt{5} + 20 > 44 \Leftrightarrow 12 \sqrt{5} > 24 \Leftrightarrow$ $\sqrt{5} > 2 = \sqrt{4}$ , adevărat. Deci perimetrul este mai mare decât 44 cm.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă ABCDA′B′C′D′ cu baza pătratul ABCD. Punctul O este intersecția dreptelor AC și BD, AB = 8 cm și

A A^{'} = 8 \sqrt{2}

cm. a) Demonstrează că dreptele A′C și AC′ sunt perpendiculare. b) Demonstrează că dreapta OB′ este paralelă cu planul (A′C′D).

Vezi rezolvarea

a) Diagonala pătratului este $A C = 8 \sqrt{2}$ cm = AA′. Patrulaterul ACC′A′ este dreptunghi (prisma este dreaptă) cu două laturi alăturate egale, deci este pătrat. Diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare: $A^{'} C ⊥ A C^{'}$ .

b) Fie ${O^{'}} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}$ . Cum $B^{'} D^{'} ∥ B D$ , avem $B^{'} O^{'} ∥ D O$ și $B^{'} O^{'} = D O$ (jumătăți de diagonale egale), deci DOB′O′ este paralelogram și $O B^{'} ∥ D O^{'}$ . Dreapta DO′ este inclusă în planul (A′C′D), iar OB′ nu este inclusă în acest plan, deci $O B^{'} ∥ (A^{'} C^{'} D)$ .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 5 de antrenament — Evaluare Națională 2021 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională