Ridici fiecare catetă la pătrat, aduni rezultatele și extragi radicalul: a = √(b² + c²). De exemplu, pentru catetele 5 și 12, a = √(25 + 144) = √(169) = 13.

Teorema lui Pitagora — formula a² = b² + c² + exemplu

Q: Care este formula teoremei lui Pitagora?

Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza a și catetele b, c: a² = b² + c². Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Formule

Teorema lui Pitagora spune că, într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , unde $a$ este ipotenuza (latura opusă unghiului drept), iar $b$ și $c$ sunt catetele. Este cea mai folosită relație din geometria de gimnaziu și apare în aproape fiecare subiect de Evaluare Națională. Teorema poartă numele matematicianului grec Pitagora.

Enunț și formulă

În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , notăm catetele $A C = b$ , $A B = c$ și ipotenuza $B C = a$ . Atunci:

a^{2} = b^{2} + c^{2} ⟺ B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

În cuvinte: suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Teorema este valabilă numai în triunghiuri dreptunghice.

Cum afli ipotenuza sau o catetă

Din formula de bază se obțin direct cele două formule cu radical:

a = \sqrt{b^{2} + c^{2}} b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}

Ipotenuza se află adunând pătratele catetelor și extrăgând radicalul.
O catetă se află scăzând din pătratul ipotenuzei pătratul celeilalte catete.

Exemplu rapid: catetele 6 și 8 dau $a = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ . Dacă ipotenuza este 10 și o catetă 6, cealaltă catetă este $\sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ .

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă într-un triunghi pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se opune laturii celei mai lungi.

Cum verifici că un triunghi este dreptunghic:

Identifici cea mai lungă latură (candidata la ipotenuză).
Calculezi pătratul ei și suma pătratelor celorlalte două laturi.
Dacă cele două rezultate sunt egale, triunghiul este dreptunghic; dacă nu, nu este.

De exemplu, pentru laturile 9, 12, 15: $9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225 = 15^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic. Pentru 4, 5, 6: $16 + 25 = 41 \neq 36$ , deci nu este dreptunghic.

Numere pitagoreice

Numerele pitagoreice sunt triplete de numere naturale $(b, c, a)$ care verifică $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ . Recunoașterea lor scurtează mult calculele la examen.

Triplet	Verificare	Observație
3, 4, 5	$9 + 16 = 25$	cel mai mic triplet
6, 8, 10	$36 + 64 = 100$	dublul lui 3, 4, 5
9, 12, 15	$81 + 144 = 225$	triplul lui 3, 4, 5
5, 12, 13	$25 + 144 = 169$	primitiv
8, 15, 17	$64 + 225 = 289$	primitiv
7, 24, 25	$49 + 576 = 625$	primitiv
20, 21, 29	$400 + 441 = 841$	primitiv

Formula de generare: pentru orice numere naturale $m > n \geq 1$ ,

b = m^{2} - n^{2}, c = 2 m n, a = m^{2} + n^{2}

formează un triplet pitagoreic. Pentru $m = 2, n = 1$ obținem 3, 4, 5; pentru $m = 3, n = 2$ obținem 5, 12, 13; pentru $m = 4, n = 1$ obținem 15, 8, 17. Înmulțind un triplet cu același număr natural obținem tot un triplet (6, 8, 10; 15, 20, 25 etc.).

Demonstrație scurtă (prin arii)

Construim un pătrat cu latura $b + c$ și așezăm în interiorul lui patru copii ale triunghiului dreptunghic, câte una în fiecare colț. Spațiul rămas în mijloc este un pătrat cu latura $a$ (ipotenuza). Scriem aria pătratului mare în două moduri:

(b + c)^{2} = 4 \cdot \frac{b c}{2} + a^{2} \Rightarrow b^{2} + 2 b c + c^{2} = 2 b c + a^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}

O a doua demonstrație, prin asemănare, folosește înălțimea dusă pe ipotenuză: adunând relațiile din teorema catetei, $c^{2} = a \cdot B D$ și $b^{2} = a \cdot D C$ , obținem $b^{2} + c^{2} = a (B D + D C) = a^{2}$ .

Aplicații ale teoremei lui Pitagora

Mărimea	Formula
Diagonala pătratului cu latura $l$	$d = \sqrt{l^{2} + l^{2}} = l \sqrt{2}$
Diagonala dreptunghiului $L \times l$	$d = \sqrt{L^{2} + l^{2}}$
Înălțimea triunghiului echilateral cu latura $l$	$h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{l}{2})}^{2}} = \frac{l \sqrt{3}}{2}$
Distanța dintre $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$	$A B = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
Diagonala paralelipipedului dreptunghic	$d = \sqrt{L^{2} + l^{2} + h^{2}}$

Diagonala paralelipipedului dreptunghic se obține aplicând teorema de două ori: întâi în baza dreptunghiulară ( $\sqrt{L^{2} + l^{2}}$ ), apoi în triunghiul dreptunghic format de diagonala bazei și muchia laterală $h$ . Pentru celelalte relații metrice vezi și teorema înălțimii și teorema catetei.

Greșeli frecvente

Alegerea greșită a ipotenuzei. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este întotdeauna cea mai lungă latură. În formula $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , singură în membrul stâng stă ipotenuza.
Adunare în loc de scădere la catetă. Cateta este $\sqrt{a^{2} - c^{2}}$ , nu $\sqrt{a^{2} + c^{2}}$ . Dacă o catetă iese mai mare decât ipotenuza, ai greșit semnul.
Radicalul „se împarte”. $\sqrt{b^{2} + c^{2}} \neq b + c$ . De exemplu, $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ , nu 7.
Aplicarea într-un triunghi oarecare. Fără unghi drept teorema nu este valabilă; în triunghiuri oarecare se folosește teorema cosinusului, $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ .

Întrebări frecvente

Care este formula teoremei lui Pitagora? Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$ și catetele $b$ , $c$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Cum aflu ipotenuza? Ridici fiecare catetă la pătrat, aduni rezultatele și extragi radicalul: $a = \sqrt{b^{2} + c^{2}}$ . De exemplu, pentru catetele 5 și 12, $a = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

Ce spune reciproca teoremei lui Pitagora? Dacă într-un triunghi pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus celei mai lungi laturi.

Istoric: Pitagora (cca. 570 – cca. 495 î.Hr.) — școlii sale i se atribuie prima demonstrație generală a relației dintre ipotenuză și catete, cunoscută practic încă de babilonieni.

Exersează: fișă de lucru printabilă — teorema lui Pitagora, clasa a 7-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Calculează rapid: calculator teorema lui Pitagora — ipotenuza sau cateta cu radical simplificat, înălțimea, proiecțiile și reciproca, pas cu pas.

Verifică-te: 3 întrebări

Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$ și catetele $b$ , $c$ :

$b^{2} = a^{2} + c^{2}$
$a = b + c$
$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 13 cm, iar o catetă are 5 cm. Cealaltă catetă are:

$\sqrt{194}$ cm
12 cm
8 cm

Un triunghi dreptunghic are catetele 2 cm și 4 cm. Ipotenuza are:

$2 \sqrt{5}$ cm
6 cm
$2 \sqrt{3}$ cm

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aflarea ipotenuzei

Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm și 8 cm. Calculați lungimea ipotenuzei și aria triunghiului.

Rezolvare: Ipotenuza: $a = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
Aria: $A = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm².

Exemplul 2 — aflarea unei catete

În triunghiul $A B C$ , $∠ A = 90^{\circ}$ , $B C = 13$ cm și $A B = 5$ cm. Aflați $A C$ .

Rezolvare: $A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} =$ $\sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm.

Exemplul 3 — rezultat cu radical

Catetele unui triunghi dreptunghic au 2 cm și 4 cm. Aflați ipotenuza.

Rezolvare: $a = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ cm $\approx 4, 47$ cm.

Exemplul 4 — reciproca

Stabiliți dacă triunghiurile cu laturile (a) 9 cm, 12 cm, 15 cm și (b) 5 cm, 6 cm, 8 cm sunt dreptunghice.

Rezolvare: (a) Latura cea mai lungă este 15: $9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225 = 15^{2}$ . Conform reciprocei, triunghiul este dreptunghic (unghiul drept se opune laturii de 15 cm).
(b) $5^{2} + 6^{2} = 25 + 36 = 61 \neq 64 = 8^{2}$ , deci triunghiul nu este dreptunghic.

Exemplul 5 — problemă: scara sprijinită de perete

O scară lungă de 5 m este sprijinită de un perete vertical. Piciorul scării se află pe sol, la 1,4 m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele?

Rezolvare: Peretele, solul și scara formează un triunghi dreptunghic: unghiul drept este între perete și sol, iar scara este ipotenuza. Notăm cu $h$ înălțimea căutată:

$h = \sqrt{5^{2} - 1, 4^{2}} =$ $\sqrt{25 - 1, 96} =$ $\sqrt{23, 04} = 4, 8$ m.

Răspuns: scara atinge peretele la 4,8 m înălțime.

Exemplul 6 — distanța dintre două puncte

Calculați distanța dintre punctele $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ într-un reper cartezian.

Rezolvare: Proiecțiile segmentului $A B$ pe axe au lungimile $4 - 1 = 3$ și $6 - 2 = 4$ ; ele sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $A B$ :

$A B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .

Exerciții

Exerciții propuse

În exercițiile 1–4, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ .

$A B = 9$ cm, $A C = 12$ cm. Calculați $B C$ .
$B C = 17$ cm, $A C = 8$ cm. Calculați $A B$ .
$B C = 10$ cm, $A B = 6$ cm. Calculați $A C$ și aria triunghiului.
$A B = A C = 3$ cm. Calculați $B C$ .
Verificați dacă triunghiul cu laturile 7 cm, 24 cm și 25 cm este dreptunghic.
Verificați dacă triunghiul cu laturile 4 cm, 5 cm și 6 cm este dreptunghic.
Calculați înălțimea unui triunghi echilateral cu latura de 10 cm.
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3 cm, 4 cm și 12 cm. Calculați lungimea diagonalei.

Răspunsuri

$B C = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm.
$A B = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ cm.
$A C = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm; $A = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm².
$B C = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2}$ cm.
$7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}$ — da, este dreptunghic.
$4^{2} + 5^{2} = 41 \neq 36 = 6^{2}$ — nu este dreptunghic.
$h = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$ cm $\approx 8, 66$ cm.
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Teorema lui Pitagora — formula a² = b² + c², exemplu rezolvat