Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională 2024 (clasa a VIII-a, an școlar 2023–2024), publicat de Ministerul Educației (CNPEE) la sfârșitul lunii octombrie 2023, rezolvat complet: cei 12 itemi grilă din Subiectul I și Subiectul II, plus cele 6 probleme din Subiectul III, pas cu pas, conform baremului oficial. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2024 (arhiva EN_VIII_2024_Matematica_model.zip, copie arhivată, cu fișierele EN_VIII_Matematica_2024_var_model.pdf și EN_VIII_Matematica_2024_bar_model.pdf). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. Pentru 2024 ministerul nu a publicat teste de antrenament separate — modelul, simularea și examenul sunt subiectele oficiale ale anului.
Rezolvare: Înmulțirea se efectuează înaintea adunării: \(2 \cdot 5 = 10\), apoi \(3 + 10 = 13\).
Capcana tipică: Dacă aduni întâi (\(3 + 2 = 5\)) și apoi înmulțești cu 5, obții greșit 25.
Rezolvare: Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: \(4x = 2 \cdot 3 = 6\). (Sau: \(x = \frac{3}{2}\), deci \(4x = 6\).)
Capcana tipică: \(\frac{3}{2}\) este valoarea lui \(x\), dar se cere \(4 \cdot x\).
Rezolvare: \(-x = 2 - 2 = 0\), deci \(x = 0\). Verificare: \(2 - 0 = 2\).
Capcana tipică: Dacă aduni greșit 2 + 2 în loc să scazi, obții 4.
Rezolvare: Toate fracțiile au același numărător, 1. Dintre fracțiile cu același numărător, cea mai mică este cea cu numitorul cel mai mare, adică \(\frac{1}{9999}\).
Capcana tipică: \(\frac{1}{9}\) este cel mai mare element: cu cât împarți întregul în mai multe părți, cu atât fiecare parte e mai mică.
Patru elevi, Andra, Marius, Ioana și David, au calculat produsul numerelor \(a = \sqrt{5}\) și \(b = \sqrt{20}\). Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| Andra | Marius | Ioana | David |
|---|---|---|---|
| 10 | 5 | \(2\sqrt{5}\) | \(\sqrt{10}\) |
Rezultatul corect a fost obținut de către:
Rezolvare: \(a \cdot b = \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10\). Rezultatul corect l-a obținut Andra.
Capcana tipică: \(2\sqrt{5}\) este doar \(\sqrt{20}\) scris simplificat, nu produsul. Produsul a doi radicali este radicalul produsului: \(\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100}\).
Rezolvare: Numerele întregi din intervalul închis \([-3, 2]\) sunt \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\), adică 6 numere. Afirmația este falsă.
Capcana tipică: Nu uita să numeri și pe 0; dar nici nu număra de două ori: de la −3 la 2 sunt \(2 - (-3) + 1 = 6\) numere întregi.
Rezolvare: AD = AB + BC + CD = 3 · 10 = 30 cm.
Capcana tipică: 20 cm este lungimea segmentului AC (sau BD), nu a lui AD.
Rezolvare: OM este bisectoarea unghiului AOB, deci m(∢AOM) = 50° : 2 = 25°. Punctele A, O, D sunt coliniare, deci unghiurile AOM și MOD sunt adiacente suplementare: m(∢DOM) = 180° − 25° = 155°.
Capcana tipică: 130° este măsura unghiului BOD (suplementul lui 50°); unghiul cerut are latura OM, nu OB.
Rezolvare: Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC, deci m(∢ABC) = m(∢ACB) = \(\frac{180° - 50°}{2}\) = 65°. Triunghiul BDC este isoscel cu BD = BC, deci m(∢BDC) = m(∢BCD) = m(∢ACB) = 65°.
Capcana tipică: 115° este măsura unghiului ADB (suplementul lui BDC), iar 50° este unghiul DBC = 180° − 2 · 65°.
Rezolvare: Laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente: CD = AB = 10 cm și AD = BC = 6 cm. Perimetrul este \(2 \cdot (10 + 6) = 32\) cm.
Capcana tipică: 16 cm este doar semiperimetrul AB + BC.
Rezolvare: OA = OB (raze), deci triunghiul AOB este isoscel cu unghiul din vârf de 60°, adică echilateral. Rezultă \(R = OA = AB = 10\) cm, iar lungimea cercului este \(L = 2\pi R = 20\pi\) cm.
Capcana tipică: \(100\pi\) cm² ar fi aria discului (\(\pi R^2\)); lungimea cercului este \(2\pi R\).
Rezolvare: Secțiunea axială VAB este un triunghi isoscel (VA = VB, generatoare) și dreptunghic, deci dreptunghic în V. Înălțimea VO este și mediană, iar în triunghiul dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: \(VO = \frac{AB}{2} = OA = R\). Deci \(R = 2\sqrt{2}\) cm și \(\mathcal{A}_b = \pi R^2 = \pi \cdot 8 = 8\pi\) cm².
Capcana tipică: 8 cm² uită factorul \(\pi\): aria discului este \(\pi R^2\), iar \(R^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8\), nu 16.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) Notăm cu \(x\) întreaga sumă. După prima zi rămâne \(x - \frac{20}{100}x = \frac{80}{100}x\), iar în a doua zi Mihai cheltuiește \(\frac{30}{100} \cdot \frac{80}{100}x = \frac{24x}{100}\), adică 24% din sumă. Cum \(\frac{24x}{100} \lt \frac{25x}{100} = \frac{x}{4}\), Mihai nu a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă.
b) Prima zi: \(\frac{x}{5}\); a doua zi: \(\frac{6x}{25}\); a treia zi: \(\frac{6x}{25} + 20\); a patra zi: 44 de lei.
\[\frac{x}{5} + \frac{6x}{25} + \left(\frac{6x}{25} + 20\right) + 44 = x\]\[\Rightarrow \frac{17x}{25} + 64 = x\]\[\Rightarrow \frac{8x}{25} = 64\]\[\Rightarrow x = 200.\]Verificare: 40 + 48 + 68 + 44 = 200. Mihai a cheltuit în total 200 de lei.
a) Descompunem numitorii: \(9 + 3x = 3(x+3)\) și \(x^2 + 3x = x(x+3)\). Numitorul comun este \(3x(x+3)\):
\[\frac{x}{3(x+3)} - \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x(x+3)}\]\[= \frac{x^2 - 6x + 9}{3x(x+3)}\]\[= \frac{(x-3)^2}{3x(x+3)}.\]b) \(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} - 2 = \frac{x^2 + 9 - 6x}{3x} = \frac{(x-3)^2}{3x}\), deci
\[E(x) = \frac{(x-3)^2}{3x(x+3)} \cdot \frac{3x}{(x-3)^2}\]\[= \frac{1}{x+3}.\]Atunci \(5 \cdot E(n) = \frac{5}{n+3}\). Pentru ca acest număr să fie natural, \(n + 3\) trebuie să fie divizor natural al lui 5: \(n + 3 = 1\) sau \(n + 3 = 5\). Cum \(n\) este natural, \(n + 3 \ge 3\), deci \(n + 3 = 5\) și \(n = 2\) (care respectă condițiile \(n \ne 0\), \(n \ne 3\)). Verificare: \(5 \cdot E(2) = \frac{5}{5} = 1\).
a) \(f(-2) = -2 + 2 = 0\), deci \(2023 \cdot f(-2) = 2023 \cdot 0 = 0\).
b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = -2\), deci \(A(-2, 0)\); \(f(0) = 2\), deci \(B(0, 2)\). Triunghiul AOB este dreptunghic isoscel (OA = OB = 2), iar OM este mediană, deci și bisectoare: m(∢MOB) = 45°. Ducem \(NP \perp Ox\), \(P \in Ox\): \(P(3, 0)\), iar triunghiul NPO este dreptunghic isoscel (OP = PN = 3), deci m(∢PON) = 45°. Atunci
\[m(\sphericalangle MON) = m(\sphericalangle MOB)\]\[+ m(\sphericalangle BOP) + m(\sphericalangle PON)\]\[= 45° + 90° + 45°\]\[= 180°,\]deci punctele N, O și M sunt coliniare. (Altfel: \(M(-1, 1)\), iar M și \(N(3, -3)\) se află amândouă pe dreapta \(y = -x\), care trece prin O.)
a) În triunghiul ABC, dreptunghic în B, cu teorema lui Pitagora: \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\) \(= \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\) cm.
b) \(QN \parallel AB \parallel CD\), \(PM \parallel BC \parallel AD\), iar m(∢QAM) = m(∢PCN) = 90°, deci AMEQ și CNEP sunt dreptunghiuri. EC = AC − AE = 5 cm. Cum \(PC \parallel AM\), \(\triangle PEC \sim \triangle MEA\), deci
\[\frac{PE}{ME} = \frac{PC}{AM}\]\[= \frac{EC}{EA}\]\[= \frac{5}{10}\]\[= \frac{1}{2}.\]Rezultă ME = 2 · PE și AM = 2 · PC, deci \(\mathcal{A}_{AMEQ} = AM \cdot ME\) \(= 4 \cdot PC \cdot PE = 4 \cdot \mathcal{A}_{CNEP}\). (Numeric: AM = 8 cm, ME = 6 cm, PC = 4 cm, PE = 3 cm; ariile sunt 48 cm² și 12 cm².)
a) În triunghiul ABC, dreptunghic în B: \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\) \(= \sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) cm. Perimetrul este
\[P_{ABC} = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}\]\[= 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\]\[= 2\sqrt{2}\,(3 + \sqrt{3}) \text{ cm}.\]b) Fie EM mediana din E în triunghiul dreptunghic isoscel AEB (M mijlocul lui AB): \(EM \perp AB\) și \(EM = \frac{AB}{2} = \sqrt{2}\) cm. Unghiul EBA are 45°, deci BE este bisectoarea unghiului drept ABC; ducem \(EN \perp BC\), \(N \in BC\): un punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului, deci \(EN = EM = \sqrt{2}\) cm. Atunci
\[\mathcal{A}_{AEC} = \mathcal{A}_{ABC} - \mathcal{A}_{AEB} - \mathcal{A}_{BEC}\]\[= \frac{AB \cdot BC}{2} - \frac{AB \cdot EM}{2} - \frac{BC \cdot EN}{2}\]\[= 4\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}\]\[= 2(\sqrt{3} - 1) \text{ cm}^2.\]Fie \(EP \perp AC\), \(P \in AC\). Din \(\mathcal{A}_{AEC} = \frac{AC \cdot EP}{2}\) obținem \(EP = \frac{2 \cdot 2(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\) cm.
Distanța de la E la dreapta AC este \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\) cm (aproximativ 0,52 cm).
a) \(\mathcal{A}_t = 2(AB \cdot AA' + BC \cdot AA' + AB \cdot BC)\) \(= 2(16 + 8 + 8) = 2 \cdot 32 = 64\) cm².
b) Triunghiurile B′C′D′ și B′C′C sunt dreptunghice în C′, cu catetele C′D′ = CC′ = 4 cm și catetă comună B′C′ = 2 cm, deci sunt congruente (C.C.) și \(B'D' = B'C\) (\(= 2\sqrt{5}\) cm).
Cu teorema catetei: în triunghiul B′C′D′, \(B'N = \frac{B'C'^2}{B'D'}\), iar în triunghiul B′C′C, \(B'P = \frac{B'C'^2}{B'C}\). Cum \(B'D' = B'C\), rezultă \(B'N = B'P\).
În triunghiul B′D′C avem \(\frac{B'N}{B'D'} = \frac{B'P}{B'C}\), deci, din reciproca teoremei lui Thales, \(NP \parallel D'C\). Dreapta D′C este inclusă în planul \((ACD')\), iar NP nu este inclusă în acest plan, deci \(NP \parallel (ACD')\).
| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.6 | Ordinea operațiilor, proporții, ecuații, compararea fracțiilor, radicali, intervale | Fracții · Radicali |
| III.1 | Procente, ecuații | Procente |
| III.2 | Rapoarte algebrice, divizori | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, puncte coliniare | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Unghiuri, triunghiul isoscel, paralelogram, cerc, asemănare, arii, distanța de la un punct la o dreaptă | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul · fișă asemănare |
| II.6, III.6 | Conul, paralelipipedul dreptunghic, dreaptă paralelă cu un plan | Conul · Paralelipipedul dreptunghic · Teorema lui Thales |
După model, rezolvă subiectele reale din 2024: Simularea EN 2024 rezolvată și Examenul EN 2024 rezolvat. Pentru anul acesta vezi modelul EN 2027 rezolvat. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Când a fost publicat modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2024 la matematică? Modelul de subiect și baremul au fost publicate de Ministerul Educației (CNPEE) la sfârșitul lunii octombrie 2023, pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2024.
Cum arată structura subiectului EN 2024 la matematică? Modelul are trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I și Subiectul II conțin câte 6 itemi grilă (încercuiești litera corectă), iar Subiectul III conține 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu punctele a) (2 puncte) și b) (3 puncte). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.
Cum se punctează grilele din modelul EN 2024? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte — se punctează doar răspunsul, fără punctaje intermediare. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din modelul EN 2024? Subiectul I: 1b, 2c, 3b, 4d, 5a, 6b. Subiectul II: 1a, 2d, 3b, 4c, 5b, 6c — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2027) · Calculator medie admitere liceu
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.