Test 3 antrenament EN 2022 matematică

Test 3 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2022 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II, plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 5 · (3 + 2 · 4) este egal cu:

23
40
55 ✓ răspuns corect
100

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Se efectuează întâi calculul din paranteză (înmulțirea înaintea adunării): $3 + 2 \cdot 4 = 11$ , apoi $5 \cdot 11 = 55$ .

Capcana tipică: Dacă aduni 3 + 2 înainte de înmulțire obții $5 \cdot 20 = 100$ , greșit.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Numărul care reprezintă 10% din 300 este egal cu:

3
9
27
30 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{10}{100} \cdot 300 = 30$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 24 este egal cu:

4
60
120 ✓ răspuns corect
480

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $20 = 2^{2} \cdot 5$ , $24 = 2^{3} \cdot 3$ , deci $[20, 24] = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$ .

Capcana tipică: Produsul 480 este un multiplu comun, dar nu cel mai mic.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Cel mai mare număr din mulțimea A = {33/10, 5/2, 3/5, √3} este:

33/10 ✓ răspuns corect
√3
5/2
3/5

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{33}{10} = 3, 3$ , $\frac{5}{2} = 2, 5$ , $\frac{3}{5} = 0, 6$ , iar $\sqrt{3} \approx 1, 73$ . Cel mai mare este $\frac{33}{10}$ .

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Media aritmetică a numerelor 4√3, 5√3 și −3√3 este egală cu:

2√3 ✓ răspuns corect
3√3
4√3
6√6

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $m_{a} = \frac{4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}$ .

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Suma dintre vârsta Anei și vârsta lui Matei este de 15 ani. Afirmația „Peste 3 ani suma vârstelor Anei și a lui Matei va fi egală cu 18 ani." este:

adevărată
falsă ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Peste 3 ani fiecare dintre cei doi va fi mai mare cu 3 ani, deci suma vârstelor va fi $15 + 3 + 3 = 21$ de ani, nu 18. Afirmația este falsă.

Capcana tipică: Vârsta crește cu 3 ani pentru fiecare persoană, deci suma crește cu 6.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, A, B, C și D sunt puncte coliniare, în această ordine, astfel încât AB = BC = CD. Valoarea raportului BD/AC este egală cu:

0,25
0,5
0,75
1 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cu AB = BC = CD = x: BD = 2x și AC = 2x, deci $\frac{B D}{A C} = 1$ .

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat unghiul AOB cu măsura de 120°. Semidreapta OD este bisectoarea unghiului AOB. Semidreapta OC este situată în interiorul unghiului AOD, astfel încât măsura unghiului AOD este de două ori mai mare decât măsura unghiului AOC. Măsura unghiului COB este egală cu:

30°
60°
90° ✓ răspuns corect
120°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢AOD) = 120° : 2 = 60° și m(∢AOC) = 60° : 2 = 30°, deci m(∢COB) = 120° − 30° = 90°.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = AC și BC = 6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC și AM = 4 cm. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu:

10 cm
12 cm
16 cm ✓ răspuns corect
18 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Mediana AM în triunghiul isoscel este și înălțime, iar BM = 3 cm. Din triunghiul dreptunghic ABM: $A B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ cm. Perimetrul: 5 + 5 + 6 = 16 cm.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu aria de 24 cm². Punctul P aparține laturii CD, astfel încât DP = 3·PC. Aria triunghiului PBC este egală cu:

12 cm²
8 cm²
6 cm²
3 cm² ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: DP = 3 · PC, deci $P C = \frac{C D}{4}$ . $A_{P B C} = \frac{P C \cdot B C}{2} = \frac{C D \cdot B C}{8} = \frac{24}{8} = 3$ cm².

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Lungimea unui cerc este egală cu 24π cm. Diametrul cercului este egal cu:

24 cm ✓ răspuns corect
18 cm
12 cm
6 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Lungimea cercului este $π d = 24 π$ cm, deci d = 24 cm.

Capcana tipică: Din $L = 2 π r$ obții raza r = 12 cm — întrebarea cere diametrul.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat VABC. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AC, respectiv BC. Măsura unghiului dreptelor MN și VA este egală cu:

30°
45°
60° ✓ răspuns corect
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: MN este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci $M N ∥ A B$ și ∢(MN, VA) = ∢(AB, VA) = ∢VAB. Fața VAB este triunghi echilateral, deci unghiul are 60°.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Testul 3), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Pentru a viziona un spectacol de teatru împreună cu familia, Ana cumpără trei bilete pentru adulți și șase bilete pentru copii, plătind în total suma de 420 de lei. Prețul unui bilet pentru copii reprezintă 50% din prețul unui bilet pentru adulți. a) Este posibil ca prețul unui bilet pentru copii să fie 25 de lei? Justifică răspunsul dat. b) Determină prețul biletului pentru un adult.

Vezi rezolvarea

a) Dacă un bilet pentru copii ar costa 25 de lei, atunci un bilet pentru adulți ar costa 50 de lei, iar Ana ar plăti $3 \cdot 50 + 6 \cdot 25 = 300$ de lei. Cum $300 \neq 420$ , nu este posibil.

b) Notăm cu $x$ prețul unui bilet pentru adulți; atunci un bilet pentru copii costă $\frac{x}{2}$ .

3 x + 6 \cdot \frac{x}{2} = 420 \Rightarrow 6 x = 420 \Rightarrow x = 70.

Biletul pentru un adult costă 70 de lei.

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = 8 x

, pentru orice număr real

x

. b) Demonstrează că numărul natural

A = E (n^{2}) + E (n)

este multiplu al lui 16, pentru orice număr natural

n

Vezi rezolvarea

a) $E (x) = (x^{2} + 4 x + 4) - (x^{2} - 4 x + 4) = 8 x$ , pentru orice număr real $x$ .

b) $A = 8 n^{2} + 8 n = 8 n (n + 1)$ . Produsul $n (n + 1)$ a două numere naturale consecutive este par: dacă $n = 2 k$ , $n (n + 1) = 2 k (2 k + 1)$ ; dacă $n = 2 k + 1$ , $n (n + 1) = (2 k + 1) (2 k + 2) = 2 (2 k + 1) (k + 1)$ . Deci $n (n + 1) = 2 m$ , cu $m$ natural, și $A = 16 m$ este multiplu al lui 16, pentru orice număr natural $n$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x - 4

. a) Reprezintă grafic funcția

f

în sistemul de axe ortogonale xOy. b) Determină mulțimea soluțiilor inecuației

1 - f (a) \leq f (4)

, unde

a

este număr real.

Vezi rezolvarea

a) Graficul funcției de gradul I este o dreaptă; sunt suficiente două puncte: $f (0) = - 4$ , deci $B (0, - 4)$ , și $f (4) = 0$ , deci $A (4, 0)$ . Reprezentăm punctele și trasăm dreapta AB:

b) $f (4) = 0$ și $f (a) = a - 4$ , deci inecuația devine $1 - (a - 4) \leq 0$ , adică $5 - a \leq 0$ , de unde $a \geq 5$ . Mulțimea soluțiilor este $[5, + \infty)$ .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC cu AB = 12 cm. Punctul S este mijlocul segmentului BC, punctul D este simetricul punctului B față de AC, iar Q este punctul de intersecție a dreptelor DS și AC. a) Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 36 cm. b) Determină lungimea segmentului DQ.

Vezi rezolvarea

a) $P_{A B C} = 3 \cdot A B = 3 \cdot 12 = 36$ cm.

b) AS este mediană în triunghiul echilateral ABC, deci și înălțime: $A S = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$ cm și $A S ⊥ B C$ . D este simetricul lui B față de AC, deci $B D ⊥ A C$ și $B O = O D$ , unde ${O} = A C \cap B D$ ; BO este și mediană, deci $A O = O C$ . Diagonalele patrulaterului ABCD se înjumătățesc, așadar ABCD este paralelogram, $A D ∥ B C$ , AD = BC = 12 cm și $A S ⊥ A D$ .

În triunghiul SAD, dreptunghic în A: $S D = \sqrt{A S^{2} + A D^{2}} = \sqrt{108 + 144} = \sqrt{252} = 6 \sqrt{7}$ cm.

$S C ∥ A D$ , deci $△ Q S C \sim △ Q D A$ și $\frac{S Q}{Q D} = \frac{S C}{D A} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ . Atunci $Q D = \frac{2}{3} \cdot S D$ :

D Q = \frac{2}{3} \cdot 6 \sqrt{7} = 4 \sqrt{7} cm .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB = 20 cm și AD = 15 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar punctele E și F se află pe latura CD, astfel încât DE = FC = 5 cm. a) Arată că sinusul unghiului ABD este egal cu

\frac{3}{5}

. b) Calculează lungimea segmentului OI, unde I este punctul de intersecție a dreptelor BE și AF.

Vezi rezolvarea

a) În triunghiul ABD, dreptunghic în A: $B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{400 + 225} = 25$ cm, deci $\sin (∢ A B D) = \frac{A D}{B D} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ .

b) DF = EC = 5 + 10 = 15 cm = AD = BC, deci triunghiurile ADF și BCE sunt dreptunghice isoscele: m(∢DFA) = m(∢CEB) = 45°. Atunci m(∢IFE) = m(∢IEF) = 45°, deci triunghiul EIF este dreptunghic isoscel, cu EF = 20 − 10 = 10 cm.

Fie S mijlocul lui CD. Triunghiul COD este isoscel (OC = OD), deci $O S ⊥ C D$ ; S este și mijlocul lui EF, iar în triunghiul isoscel EIF mediana IS este perpendiculară pe CD. Așadar O, I și S sunt coliniare.

OS este linie mijlocie în triunghiul DBC: $O S = \frac{B C}{2} = 7, 5$ cm. IS este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic EIF: $I S = \frac{E F}{2} = 5$ cm. Cum $O S = O I + I S$ :

O I = 7, 5 - 5 = 2, 5 cm .

Problema 6 (5 puncte)

Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ cu lungimea diagonalei AC′ de

6 \sqrt{3}

cm. a) Arată că aria laterală a cubului ABCDA′B′C′D′ este egală cu 144 cm². b) Determină măsura unghiului dreptelor B′C și OB, unde

{O} = A D^{'} \cap A^{'} D

Vezi rezolvarea

a) Diagonala cubului este $A C^{'} = A B \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ , deci AB = 6 cm și $A_{ℓ} = 4 \cdot A B^{2} = 4 \cdot 36 = 144$ cm².

b) Patrulaterul A′B′CD este paralelogram ( $A^{'} B^{'} ∥ D C$ și A′B′ = DC), deci $C B^{'} ∥ D A^{'}$ . Atunci ∢(B′C, OB) = ∢(DA′, OB) = ∢BOD.

$B A ⊥ (A D D^{'})$ (pentru că $B A ⊥ A D$ și $B A ⊥ A A^{'}$ ), iar $A O ⊥ D A^{'}$ (diagonalele pătratului ADD′A′ sunt perpendiculare), cu $A O, D A^{'} \subset (A D D^{'})$ . După teorema celor trei perpendiculare, $O B ⊥ D A^{'}$ , adică $O B ⊥ O D$ . Măsura unghiului dreptelor B′C și OB este 90°.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 3 de antrenament — Evaluare Națională 2022 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională