Calculator teorema lui Pitagora — ipotenuza sau cateta, pas cu pas

Calculatorul de mai sus aplică teorema lui Pitagora pas cu pas: afli ipotenuza din două catete sau o catetă din ipotenuză și cealaltă catetă, cu rezultatul exact (radicalul simplificat, de exemplu \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)) și cu valoarea zecimală. În plus primești înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, proiecțiile catetelor (teorema catetei și teorema înălțimii), aria, perimetrul, razele cercurilor, sinusul, cosinusul și tangenta unghiurilor ascuțite, plus un desen al triunghiului. Al treilea tab verifică, cu reciproca teoremei lui Pitagora, dacă trei numere pot fi laturile unui triunghi dreptunghic.

Teorema lui Pitagora: enunț și formulă

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Dacă triunghiul \(ABC\) are unghiul drept în \(A\), atunci

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2. \]

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este întotdeauna cea mai lungă latură. Din formulă obținem direct cele două cazuri ale calculatorului:

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}, \qquad AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}. \]

Teorema poartă numele matematicianului grec Pitagora, deși relația era folosită cu mult înainte de babilonieni și egipteni. Enunțul complet, demonstrația și alte exemple sunt pe pagina teorema lui Pitagora.

Simplificarea radicalului

De cele mai multe ori rezultatul nu este un număr natural, ci un radical. Acesta se scrie simplificat: descompunem numărul de sub radical într-un pătrat perfect înmulțit cu un factor rămas, de exemplu \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\) sau \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\). Dacă radicalul ajunge la numitor, se raționalizează: \(\dfrac{12}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\). Regulile de calcul cu radicali sunt pe pagina radicali — formule. Poți verifica orice simplificare cu calculatorul de radicali.

Ce mai calculează: înălțimea, proiecțiile, aria

Dacă \(AD\) este înălțimea dusă din vârful unghiului drept, iar \(D\) este piciorul ei pe ipotenuză, atunci au loc relațiile metrice din triunghiul dreptunghic:

\[ AD = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}, \qquad AB^2 = BD \cdot BC, \qquad AC^2 = DC \cdot BC, \qquad AD^2 = BD \cdot DC. \]

A doua și a treia relație formează teorema catetei, iar ultima este teorema înălțimii; le găsești explicate pe pagina teorema înălțimii și teorema catetei. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor, \(\mathcal{A} = \dfrac{AB \cdot AC}{2}\), iar mediana dusă din unghiul drept este jumătate din ipotenuză. Funcțiile trigonometrice ale unghiului \(B\) sunt \(\sin B = \dfrac{AC}{BC}\), \(\cos B = \dfrac{AB}{BC}\), \(\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB}\). Toate formulele triunghiului dreptunghic sunt adunate pe pagina triunghiul dreptunghic.

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus acelei laturi. Pentru a verifica trei numere, iei cea mai mare latură și compari pătratul ei cu suma pătratelor celorlalte. Dacă pătratul este mai mic, triunghiul este ascuțitunghic; dacă este mai mare, este obtuzunghic. Înainte de toate, trebuie respectată inegalitatea triunghiului: cea mai mare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două.

Triplete pitagoreice

Trei numere naturale care verifică \(a^2 + b^2 = c^2\) formează un triplet pitagoreic. Cele mai întâlnite în probleme sunt \((3, 4, 5)\), \((5, 12, 13)\), \((8, 15, 17)\), \((7, 24, 25)\), \((20, 21, 29)\) și multiplii lor, de exemplu \((6, 8, 10)\) sau \((9, 12, 15)\). Dacă recunoști un triplet, afli ipotenuza fără niciun calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Catetele sunt \(AB = 6\) și \(AC = 8\). Atunci \(BC^2 = 36 + 64 = 100\), deci \(BC = 10\). Înălțimea: \(AD = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8\); proiecțiile: \(BD = \dfrac{36}{10} = 3{,}6\) și \(DC = \dfrac{64}{10} = 6{,}4\); aria este \(\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24\).

Exemplul 2. Ipotenuza \(BC = 9\) și cateta \(AB = 3\). Cealaltă catetă este \(AC = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\).

Exemplul 3. Sunt numerele 7, 24 și 25 laturile unui triunghi dreptunghic? Cea mai mare latură este 25, iar \(25^2 = 625\) și \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\). Pătratele sunt egale, deci, conform reciprocei, triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza 25.

Greșeli frecvente

• Adunarea în loc de scădere. Când cauți o catetă, scazi: \(AC^2 = BC^2 - AB^2\). Dacă aduni, obții un număr mai mare decât ipotenuza, ceea ce este imposibil.
• Radicalul „împărțit” pe termeni. \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), nu \(3 + 4 = 7\). Radicalul nu se distribuie peste adunare.
• Ipotenuza greșit aleasă. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și cea mai mare latură. La reciprocă se compară pătratul celei mai mari laturi cu suma celorlalte.
• Radical nesimplificat. La teză și la Evaluarea Națională, \(\sqrt{48}\) trebuie scris \(4\sqrt{3}\).

Pentru aria unui triunghi oarecare, cu formula lui Heron sau cu sinusul unghiului, folosește calculatorul pentru aria triunghiului.

Întrebări frecvente

Cum se calculează ipotenuza unui triunghi dreptunghic? Ridici catetele la pătrat, le aduni și extragi radicalul: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\). De exemplu, pentru catetele 5 și 12, \(BC = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\). Dacă rezultatul nu este pătrat perfect, simplifici radicalul, de exemplu \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).

Cum aflu o catetă dacă știu ipotenuza și cealaltă catetă? Scazi pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei și extragi radicalul: \(AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}\). Pentru ipotenuza 13 și cateta 5: \(AC = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\).

Cum verific dacă un triunghi este dreptunghic? Compari pătratul celei mai mari laturi cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă sunt egale, triunghiul este dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora). De exemplu, 8, 15, 17 formează un triunghi dreptunghic, pentru că \(64 + 225 = 289 = 17^2\).

Cât este înălțimea dusă pe ipotenuză? Este produsul catetelor împărțit la ipotenuză: \(h = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{ip}\). În triunghiul cu laturile 3, 4, 5, înălțimea pe ipotenuză este \(\dfrac{3 \cdot 4}{5} = 2{,}4\).