Subiectul de rezervă de la Evaluarea Națională 2025 la matematică (clasa a VIII-a, Varianta 2) este varianta de siguranță pregătită pentru proba din 25 iunie 2025: se folosește doar dacă subiectul extras nu poate fi dat, iar după examen ministerul îl publică oficial, cu barem. Are aceeași structură și dificultate ca subiectul de examen, deci este un test suplimentar excelent — mai jos îl găsești rezolvat complet: 12 itemi grilă și 6 probleme din Subiectul al III-lea, pas cu pas, conform baremului. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Ce este subiectul de rezervă? La fiecare probă a Evaluării Naționale, pe lângă varianta extrasă pentru examen, se stabilește și o variantă de rezervă, care ar înlocui subiectul principal în situații excepționale (de exemplu, dacă acesta ar fi compromis). Ea este elaborată de aceeași comisie, după aceeași programă și același model, iar după probă este publicată alături de subiectul dat la examen.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare — CNCE) pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Subiecte și bareme EN 2025 (arhiva EN_VIII_2025_Matematica_rezerva.zip, cu subiectul și baremul Variantei 2). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. Subiectul dat efectiv la examen îl găsești rezolvat pe pagina Evaluare Națională 2025 matematică — subiectele rezolvate.
Rezolvare: Numerele întregi de două cifre sunt de la −99 la −10 și de la 10 la 99. Cel mai mare dintre ele este 99.
Capcana tipică: −99 are „cele mai mari” cifre, dar este cel mai mic număr întreg de două cifre.
Rezolvare: Din proporție: \(2(x - 1) = 7y\), adică \(2x - 2 = 7y\). Atunci \(2x - 7y = 2\).
Capcana tipică: Nu uita termenul \(-1\) de la numărătorul primei fracții; fără el ai obține 0.
Rezolvare: Diferența este \(2 - (-4) = 2 + 4 = 6\), deci temperatura de marți este mai mare cu 6°C.
Capcana tipică: \(2 - 4 = -2\) ignoră semnul minus al temperaturii de luni.
Rezolvare: Fracțiile au același numărător, deci cea mai mică este cea cu numitorul cel mai mare: \(\frac{7}{5}\).
Capcana tipică: La numărători egali, numitorul mai mare dă fracția mai mică (întregul se împarte în mai multe părți).
Patru elevi, Elena, Sofia, Petrică și Tudor, calculează produsul numerelor \(a = \sqrt{5} - 2\) și \(b = \sqrt{5} + 2\), iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| Elena | Sofia | Petrică | Tudor |
|---|---|---|---|
| 9 | 7 | 3 | 1 |
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Rezolvare: Folosim formula \((m - n)(m + n) = m^2 - n^2\): \(a \cdot b = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\). Rezultatul corect l-a obținut Tudor.
Capcana tipică: 9 se obține dacă aduni pătratele (\(5 + 4\)) în loc să le scazi.
Rezolvare: Din diagramă: ianuarie 1500, februarie 2000, martie 500, aprilie 2500, mai 1500 de cărți. Cea mai înaltă bară este cea din aprilie (2500), deci afirmația este adevărată.
Rezolvare: MB = 4 : 2 = 2 cm și BN = 14 : 2 = 7 cm. M și N sunt de o parte și de alta a lui B, deci MN = 2 + 7 = 9 cm (jumătate din AC = 18 cm).
Capcana tipică: 7 cm este doar BN; MN conține și segmentul MB.
Rezolvare: Cele trei unghiuri sunt în jurul punctului O, deci suma măsurilor lor este 360°. Fiind congruente, fiecare are \(360° : 3 = 120°\).
Capcana tipică: 60° ar fi răspunsul dacă suma ar fi 180°; unghiurile în jurul unui punct însumează 360°.
Rezolvare: Unghiurile de la bază sunt congruente: m(∢CAB) = m(∢CBA) = \(\frac{180° - 40°}{2}\) = 70°. Unghiul CBD este suplementul unghiului CBA (A, B, D coliniare): m(∢CBD) = 180° − 70° = 110°.
Capcana tipică: 70° este unghiul ABC din interiorul triunghiului; ∢CBD este unghiul exterior, adiacent lui.
Rezolvare: Triunghiul ADB este dreptunghic în D: \(AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8\) cm. În paralelogram laturile opuse sunt egale: CD = AB = 8 cm.
Capcana tipică: \(4\sqrt{2}\) cm este lungimea lui AD (și a lui BC), nu a lui CD.
Rezolvare: În triunghiul echilateral, raza cercului circumscris este două treimi din înălțime: \(R = \frac{2}{3} \cdot \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = \frac{\ell\sqrt{3}}{3}\). Deci \(\ell = R\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\) cm.
Capcana tipică: \(10\sqrt{2}\) cm este latura pătratului înscris în același cerc.
Rezolvare: \(V = \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{4\pi \cdot 27}{3} = 36\pi\) cm³.
Capcana tipică: \(108\pi\) se obține dacă uiți împărțirea la 3; \(36\pi\) cm² este și aria sferei \(4\pi R^2\) — coincidența numerică apare doar pentru R = 3.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) Notăm cu \(x\) suma lui Alin. Maria are de două ori suma rămasă lui Alin după cheltuială: \(2(x - 10)\) lei. Dacă \(S = 140\):
\[x + 2(x - 10) = 140 \Rightarrow 3x = 160 \Rightarrow x = \frac{160}{3},\]care nu este număr natural, deci nu este posibil ca S să fie 140 de lei.
b) Notăm cu \(y\) suma Mariei: \(y = 2(x - 10)\) și \(x + 15 = y - 15\). Înlocuind: \(x + 15 = 2x - 20 - 15\), deci \(x = 50\) și \(y = 80\). Suma este \(S = 50 + 80 = 130\) de lei.
Verificare: \(50 - 10 = 40\) este jumătate din 80; după transfer, ambii au 65 de lei.
a) Cum \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\), numitorul comun este \((x+2)(x-2)\):
\[\frac{1}{(x+2)(x-2)} + \frac{1}{x+2} = \frac{1 + x - 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-1}{(x+2)(x-2)}.\]b) \(x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x+2)(x-2)\), deci
\[E(x) = \frac{x-1}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{x(x+2)(x-2)}{1} = x(x-1).\]Calculăm:
\[E(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 2) = 2 - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 4 - 3\sqrt{2},\]\[E(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2} + 1)\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}.\]Atunci \(N = 4 - 3\sqrt{2} + 3(2 + \sqrt{2}) = 4 - 3\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} = 10\), număr natural.
a) \(f(1) = 1\) și \(f(0) = 2\), deci \(f(1) \cdot f(0) = 1 \cdot 2 = 2\).
b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 2\), deci \(A(2, 0)\); \(f(0) = 2\), deci \(B(0, 2)\). OA = OB = 2, deci triunghiul AOB este dreptunghic isoscel și m(∢OBA) = 45°.
Fie \(CT \perp AB\), \(T \in AB\). Punctele B și C sunt pe axa Oy, cu \(BC = 2 - (-4) = 6\), iar m(∢CBT) = m(∢OBA) = 45°. Triunghiul BCT este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza BC = 6, deci
\[CT = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.\]Distanța de la C la dreapta AB este \(3\sqrt{2}\).
a) M este simetricul lui A față de G, deci \(AG = GM\) și \(AM = 2 \cdot AG\). În triunghiul echilateral, centrul de greutate este și centrul cercului circumscris, deci \(CG = AG = \frac{AM}{2}\). În triunghiul ACM, mediana CG este jumătate din latura AM, deci triunghiul este dreptunghic în C: m(∢ACM) = 90°.
b) AG este și bisectoare, deci m(∢CAM) = 30° și, în triunghiul dreptunghic ACM, m(∢AMC) = 60°. MT este bisectoare: m(∢TMC) = m(∢TMA) = 30°, deci m(∢MTC) = 60° = m(∢BAC). Unghiurile MTC și BAC sunt corespondente, deci \(AB \parallel TM\). Prin simetrie față de AM, m(∢ABM) = m(∢ACM) = 90°, deci ABMT este trapez dreptunghic, cu înălțimea BM.
În triunghiul AMT, m(∢TAM) = m(∢TMA) = 30°, deci AT = TM. În triunghiul TMC, dreptunghic în C, TM = 2 · TC (cateta opusă unghiului de 30°). Din AT + TC = 6 și AT = 2 · TC: TC = 2 cm, AT = TM = 4 cm.
\(AM = 2 \cdot AG = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{6\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) cm, iar în triunghiul ABM (dreptunghic în B, m(∢BAM) = 30°) \(BM = \frac{AM}{2} = 2\sqrt{3}\) cm. Aria trapezului:
\[\mathcal{A}_{ABMT} = \frac{(AB + TM) \cdot BM}{2} = \frac{(6 + 4) \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ cm}^2.\]a) În triunghiul AMB, dreptunghic în M, m(∢MAB) = 90° − 30° = 60°, deci m(∢SAD) = 90° − 60° = 30°. Triunghiurile TBA și SAD sunt dreptunghice (în A, respectiv D), au catetele AB = AD (laturi ale pătratului) și unghiurile ascuțite alăturate m(∢ABT) = m(∢DAS) = 30°. Sunt congruente (cazul C.U.), deci AT = DS.
b) În triunghiul AMB, dreptunghic în M, cu m(∢ABM) = 30°: \(AM = \frac{AB}{2} = 4\) cm. Fie \(MQ \perp AD\), \(Q \in AD\). În triunghiul AMQ, dreptunghic în Q, m(∢MAQ) = 30°, deci \(MQ = \frac{AM}{2} = 2\) cm și \(AQ = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}\) cm. Atunci
\[DQ = AD - AQ = 8 - 2\sqrt{3} = 2(4 - \sqrt{3}) \text{ cm}.\]În triunghiul MDQ, dreptunghic în Q, DM este ipotenuză, deci este mai lungă decât cateta DQ: \(DM \gt 2(4 - \sqrt{3})\) cm.
a) MB = 2 cm. În triunghiul CBM, dreptunghic în B: \(CM = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm.
b) Fie S mijlocul muchiei A′D′. O este centrul feței A′B′C′D′, deci \(SO \parallel A'B' \parallel MB\) și \(SO = \frac{A'B'}{2} = 2 = MB\). Patrulaterul SOBM are două laturi opuse paralele și congruente, deci este paralelogram: \(BO \parallel MS\). Atunci ∢(BO, MP) = ∢(MS, MP).
Calculăm laturile triunghiului SMP. Triunghiul MCP este dreptunghic în C (\(CC' \perp (ABC)\)): \(MP^2 = MC^2 + CP^2 = 20 + 4 = 24\). Analog, \(SA^2 = AA'^2 + A'S^2 = 16 + 4 = 20\) și triunghiul SAM este dreptunghic în A (\(AB \perp (ADD'A')\)): \(SM^2 = SA^2 + AM^2 = 20 + 4 = 24\). La fel, \(PD'^2 = 16 + 4 = 20\) și triunghiul PD′S este dreptunghic în D′: \(PS^2 = PD'^2 + D'S^2 = 20 + 4 = 24\).
Deci SM = MP = PS = \(2\sqrt{6}\) cm: triunghiurile SAM, MCP și PD′S sunt congruente, iar triunghiul SMP este echilateral. Rezultă ∢(BO, MP) = m(∢SMP) = 60°.
| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.5 | Numere întregi, proporții, temperaturi, compararea fracțiilor, formula \((a-b)(a+b)\) | Fracții · Radicali |
| I.6 | Citirea unei diagrame cu bare | Media aritmetică |
| III.1 | Probleme rezolvate cu ecuații | Procente |
| III.2 | Rapoarte algebrice, calcul cu radicali | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, distanța de la un punct la o dreaptă | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Segmente, unghiuri în jurul unui punct, triunghiul isoscel, paralelogramul, poligoane înscrise, centrul de greutate, pătratul | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul |
| II.6, III.6 | Volumul sferei, cubul, unghiul a două drepte în spațiu | Cubul |
Din același an: subiectul de examen EN 2025 rezolvat și modelul EN 2025 rezolvat. Alte subiecte de rezervă rezolvate: rezerva EN 2023, rezerva EN 2024, rezerva EN 2026. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Ce este subiectul de rezervă la Evaluarea Națională 2025 la matematică? Este varianta oficială de siguranță (Varianta 2), pregătită pentru proba de matematică din 25 iunie 2025 și folosită doar dacă subiectul principal nu poate fi dat. După probă a fost publicată de minister, împreună cu baremul, pe subiecte.edu.ro.
Este subiectul de rezervă mai ușor sau mai greu decât cel de la examen? Are aceeași structură (Subiectul I și Subiectul II cu câte 6 itemi grilă, Subiectul III cu 6 probleme cu punctele a) de 2 puncte și b) de 3 puncte) și același nivel de dificultate, pentru că ar trebui să poată înlocui oricând subiectul principal. De aceea este unul dintre cele mai bune teste de exersare.
Cum se punctează subiectul de rezervă EN 2025? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral. Se adaugă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din subiectul de rezervă EN 2025? Subiectul I: 1d, 2c, 3d, 4a, 5d, 6a. Subiectul II: 1a, 2c, 3d, 4d, 5c, 6b — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2027) · Calculator medie admitere liceu
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE (din 2025 Ministerul Educației și Cercetării / CNCE), preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.