Test 4 antrenament EN 2022 matematică

Test 4 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2022 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II, plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Diferența dintre numărul 21 și cel mai mic număr prim este egală cu:

18
19 ✓ răspuns corect
20
21

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cel mai mic număr prim este 2, deci $21 - 2 = 19$ .

Capcana tipică: Numărul 1 nu este prim.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Numărul natural nenul x pentru care 1/x = 1 este egal cu:

−1
1 ✓ răspuns corect
2
3

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{1}{x} = 1$ dacă și numai dacă x = 1.

Capcana tipică: Opțiunea −1 nu este număr natural.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Media aritmetică a numerelor întregi din intervalul (−3, 4] este egală cu:

0
1/2
4/7
1 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numerele întregi din (−3, 4] sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 (șapte numere), cu suma 7. Media aritmetică: $7 : 7 = 1$ .

Capcana tipică: Capătul −3 este exclus, iar 4 este inclus.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Mulțimea valorilor naturale ale lui x pentru care 6/(x+1) este număr natural este:

{−7, −4, −3, −2, 0, 1, 2}
{0, 1, 2, 3, 5}
{0, 1, 2, 5} ✓ răspuns corect
{1, 2, 5}

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{6}{x + 1}$ este natural dacă $x + 1$ este divizor natural al lui 6: $x + 1 \in {1, 2, 3, 6}$ , deci $x \in {0, 1, 2, 5}$ .

Capcana tipică: Varianta d) uită soluția x = 0 (pentru care $x + 1 = 1$ ).

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Andrei, Dina, Matei și Nora calculează diferența dintre cel mai mare și cel mai mic dintre numerele reale x = 7 − 4√3 și y = 7 + 4√3. Rezultatele: Andrei = −8√3, Dina = 0, Matei = 8√3, Nora = 14. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect diferența este:

Andrei
Dina
Matei ✓ răspuns corect
Nora

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $y > x$ , deci diferența este $y - x = (7 + 4 \sqrt{3}) - (7 - 4 \sqrt{3}) = 8 \sqrt{3}$ . Rezultatul corect l-a obținut Matei.

Capcana tipică: Andrei a calculat $x - y$ , diferența dintre cel mai mic și cel mai mare.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Adrian are 150 de lei, iar Bogdan are 100 de lei. Adrian afirmă: „Dacă Bogdan mi-ar da jumătate din suma lui, atunci aș avea dublul sumei care i-ar rămâne lui Bogdan." Afirmația lui Adrian este:

adevărată
falsă ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Bogdan i-ar da 50 de lei: Adrian ar avea 200 de lei, iar lui Bogdan i-ar rămâne 50 de lei. 200 este de 4 ori 50, nu dublul, deci afirmația este falsă.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte coliniare A, B, C, D și E, astfel încât punctul C este mijlocul segmentului AE și mijlocul segmentului BD. Dacă BC = 2·AB, atunci numărul perechilor de segmente congruente, determinate de punctele date, este egal cu:

1
2
3
4 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Notăm AB = x; atunci BC = 2x, CD = BC = 2x și DE = AE − AD = x. Perechile de segmente congruente: AB ≡ DE, BC ≡ CD, AC ≡ CE (3x) și AD ≡ BE (5x) — în total 4.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, O și B. Punctele C, D și E sunt situate de aceeași parte a dreptei AB, astfel încât semidreapta OC este bisectoarea unghiului DOB. Dreptele OE și OC sunt perpendiculare și măsura unghiului DOE este de 50°. Măsura unghiului AOE este egală cu:

30°
40°
50° ✓ răspuns corect
100°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢DOC) = 90° − 50° = 40°, iar OC este bisectoarea unghiului DOB, deci m(∢COB) = 40°. Atunci m(∢EOB) = 90° + 40° = 130° și m(∢AOE) = 180° − 130° = 50°.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A. Punctul M este mijlocul segmentului BC, iar AM = 3 cm. Măsura unghiului C este egală cu 30°, iar dreptele MN și BC sunt perpendiculare. Lungimea segmentului MN este egală cu:

√3/2 cm
1,5 cm
√3 cm ✓ răspuns corect
3 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AM este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci BC = 2 · AM = 6 cm și MC = 3 cm. În triunghiul MNC, dreptunghic în M, cu m(∢C) = 30°: $M N = M C \cdot tg 30 ° = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ cm.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez ABCD cu suprafața de 424 m². Dacă EF este linia mijlocie a trapezului ABCD, atunci aria triunghiului CEF este:

53 m²
106 m² ✓ răspuns corect
207 m²
212 m²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Fie h înălțimea trapezului. Distanța de la C la EF este $\frac{h}{2}$ , iar $A_{A B C D} = E F \cdot h$ . Atunci $A_{C E F} = \frac{E F \cdot h}{4} = \frac{424}{4} = 106$ m².

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Punctele A, B, C și D sunt situate pe un cerc de centru O, astfel încât punctele A și B sunt diametral opuse, segmentele AB și CD sunt concurente, iar măsura unghiului DOB este de 70°. Măsura unghiului ACD este egală cu:

55° ✓ răspuns corect
70°
110°
180°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢AOD) = 180° − 70° = 110°. Unghiul înscris ACD subîntinde arcul AD, deci $m (∢ A C D) = \frac{110 °}{2} = 55 °$ .

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă regulată VABCD, cu baza pătratul ABCD. Dacă triunghiul VBD este echilateral și AB = √2 dm, atunci suma lungimilor muchiilor laterale ale piramidei este egală cu:

8 dm ✓ răspuns corect
8√2 dm
4√2 dm
6 dm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $B D = A B \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ dm. Triunghiul VBD este echilateral, deci VB = 2 dm, iar suma celor 4 muchii laterale este $4 \cdot 2 = 8$ dm.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Testul 4), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Într-un bloc de locuințe sunt 110 camere, repartizate în 40 de apartamente cu 2, respectiv cu 3 camere. a) Este posibil ca numărul apartamentelor cu două camere din acel bloc să fie egal cu numărul apartamentelor cu trei camere? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul apartamentelor cu 2 camere din acest bloc.

Vezi rezolvarea

a) Dacă ar fi 20 de apartamente cu 2 camere și 20 de apartamente cu 3 camere, ar exista $20 \cdot 2 + 20 \cdot 3 = 100$ de camere. Cum $100 \neq 110$ , nu este posibil.

b) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu 2 camere și cu $y$ numărul celor cu 3 camere: $x + y = 40$ și $2 x + 3 y = 110$ . Înlocuind $y = 40 - x$ :

2 x + 3 (40 - x) = 110 \Rightarrow 120 - x = 110 \Rightarrow x = 10.

În bloc sunt 10 apartamente cu 2 camere (și 30 cu 3 camere).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (- x + x^{2})^{2} + 4 x^{3}

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (- 1) = E (0)

. b) Determină numărul natural nenul

n

, știind că

\frac{1}{\sqrt{E (1)}} + \frac{1}{\sqrt{E (2)}} + \frac{1}{\sqrt{E (3)}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{E (n)}} = \frac{2021}{2022} .

Vezi rezolvarea

a) $E (- 1) = (1 + 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) = 4 - 4 = 0$ și $E (0) = 0$ , deci $E (- 1) = E (0)$ .

b) $E (x) = x^{2} - 2 x^{3} + x^{4} + 4 x^{3} = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} = (x^{2} + x)^{2}$ . Pentru $n$ natural, $\sqrt{E (n)} = n^{2} + n = n (n + 1)$ . Folosind $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ :

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} .

Din $\frac{n}{n + 1} = \frac{2021}{2022}$ obținem $n = 2021$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = 2 - x

. a) Calculează

\frac{f (0) - f (2)}{2}

. b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției

f

cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, determină distanța dintre punctul C(−4, 0) și mijlocul segmentului AB.

Vezi rezolvarea

a) $f (0) = 2$ și $f (2) = 0$ , deci $\frac{f (0) - f (2)}{2} = \frac{2 - 0}{2} = 1$ .

b) $A (2, 0)$ și $B (0, 2)$ . Fie M mijlocul segmentului AB, deci $M (1, 1)$ . Ducem $M E ∥ O B$ , $E \in O x$ : $M E = \frac{O B}{2} = 1$ , iar $E (1, 0)$ , deci CE = 1 − (−4) = 5. În triunghiul CEM, dreptunghic în E:

C M = \sqrt{C E^{2} + E M^{2}} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB = 8 cm și AD = 6 cm. Punctul M este mijlocul laturii CD, iar punctul N se află pe BD, astfel încât dreptele MN și BD sunt perpendiculare. a) Calculează perimetrul triunghiului ABD. b) Arată că aria triunghiului BCN este 16,32 cm².

Vezi rezolvarea

a) În triunghiul ABD, dreptunghic în A: $B D = \sqrt{64 + 36} = 10$ cm, deci $P_{A B D} = 8 + 6 + 10 = 24$ cm.

b) Triunghiurile MND și BCD sunt dreptunghice (în N, respectiv C) și au unghiul D comun, deci $△ M N D \sim △ B C D$ , cu raportul de asemănare $\frac{D M}{B D} = \frac{4}{10}$ :

\frac{A_{M N D}}{A_{B C D}} = {(\frac{4}{10})}^{2} = \frac{4}{25} .

$A_{B C D} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ cm², deci $A_{M N D} = \frac{96}{25} = 3, 84$ cm². M este mijlocul lui CD, deci triunghiurile CMN și DMN au baze egale și aceeași înălțime din N: $A_{C M N} = 3, 84$ cm². Atunci

A_{B C N} = A_{B C D} - 2 A_{M N D} = 24 - 7, 68 = 16, 32 {cm}^{2} .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral ABC, cu AB = 8 cm. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor BC, respectiv AC, iar punctul P se află pe latura AB, astfel încât dreptele MP și AB sunt perpendiculare. a) Arată că BP = 2 cm. b) Arată că lungimea segmentului PN este mai mare decât

3 \sqrt{3}

cm.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul BMP este dreptunghic în P, cu m(∢B) = 60°, deci m(∢BMP) = 30°. BM = 4 cm, iar cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: $B P = \frac{B M}{2} = 2$ cm.

b) MN este linie mijlocie în triunghiul ABC: $M N = \frac{A B}{2} = 4$ cm și $M N ∥ A B$ . $M P = \sqrt{B M^{2} - B P^{2}} = \sqrt{16 - 4} = 2 \sqrt{3}$ cm. Cum $M N ∥ A B$ și $M P ⊥ A B$ , m(∢PMN) = 90° (sau: 180° − (30° + 60°) = 90°). În triunghiul PMN, dreptunghic în M:

P N = \sqrt{P M^{2} + M N^{2}} = \sqrt{12 + 16} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7} cm .

Cum $(2 \sqrt{7})^{2} = 28 > 27 = (3 \sqrt{3})^{2}$ , rezultă $P N > 3 \sqrt{3}$ cm.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm. a) Arată că volumul cubului este mai mare decât 0,2 litri. b) Calculează unghiul dintre dreapta AQ și planul (A′BC), unde punctul Q este mijlocul segmentului A′D.

Vezi rezolvarea

a) $V = A B^{3} = 216$ cm³ = 0,216 dm³ = 0,216 l, iar $0,216 > 0, 2$ , deci volumul cubului este mai mare decât 0,2 litri.

b) Planul (A′BC) conține dreapta A′D′ ( $A^{'} D^{'} ∥ B C$ ), deci este planul (A′BCD′). Q este mijlocul diagonalei A′D a pătratului ADD′A′, deci Q este și mijlocul lui AD′, iar dreapta AQ este dreapta AD′.

Fie M mijlocul segmentului A′B. $A^{'} D^{'} ⊥ (A B B^{'})$ , deci planele (A′BC) și (ABB′) sunt perpendiculare, iar $A M ⊥ A^{'} B$ (diagonalele pătratului ABB′A′); rezultă $A M ⊥ (A^{'} B C)$ . Proiecția dreptei AD′ pe planul (A′BC) este MD′, deci ∢(AQ, (A′BC)) = ∢(AD′, MD′) = ∢AD′M.

Triunghiul AD′M este dreptunghic în M, cu $A M = 3 \sqrt{2}$ cm și $A D^{'} = 6 \sqrt{2}$ cm = 2 · AM, deci $\sin (∢ A D^{'} M) = \frac{1}{2}$ și m(∢AD′M) = 30°.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 4 de antrenament — Evaluare Națională 2022 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională