Test 6 antrenament EN 2021 matematică

Test 6 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2021 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, cu rezolvări complete după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 44 − 4 · 4 este egal cu:

0
28 ✓ răspuns corect
60
160

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Înmulțirea se face înaintea scăderii: $4 \cdot 4 = 16$ , apoi $44 - 16 = 28$ .

Capcana tipică: $(44 - 4) \cdot 4 = 160$ ignoră ordinea operațiilor.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Dacă 3/(x + 1) = 1/674, atunci numărul real x este egal cu:

3
674
2021 ✓ răspuns corect
2022

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din proporție: $x + 1 = 3 \cdot 674 = 2022$ , deci $x = 2021$ .

Capcana tipică: 2022 este valoarea lui $x + 1$ , nu a lui $x$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Produsul numerelor −18 și 3 este egal cu:

−54 ✓ răspuns corect
−21
−15
−6

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $(- 18) \cdot 3 = - 54$ .

Capcana tipică: −15 este suma $- 18 + 3$ , nu produsul.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Un cumpărător a achiziționat 8 bucăți de săpun (2,5 lei/buc., reducere 12% la 8 buc.) și 4 bucăți de pastă de dinți (8 lei/buc., reducere 20% la 4 buc.). Prețul total plătit de acesta în urma aplicării reducerilor este:

49,6 lei
45,6 lei
43,2 lei ✓ răspuns corect
32 lei

Vezi rezolvarea

Rezolvare: 8 săpunuri: $8 \cdot 2, 5 = 20$ lei, cu reducere de 12%: $20 \cdot 0, 88 = 17, 6$ lei. 4 paste de dinți: $4 \cdot 8 = 32$ lei, cu reducere de 20%: $32 \cdot 0, 8 = 25, 6$ lei. Total: $17, 6 + 25, 6 = 43, 2$ lei.

Capcana tipică: Reducerea depinde de câte bucăți cumperi: la săpun se aplică 12% (8 bucăți), la pasta de dinți 20% (4 bucăți).

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Maria scrie mulțimea formată din literele comune următoarelor trei cuvinte: matematică, gramatică, informatică. Numărul elementelor mulțimii scrise de Maria este egal cu:

11
10
9
6 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Literele cuvintelor: matematică — {m, a, t, e, i, c, ă}; gramatică — {g, r, a, m, t, i, c, ă}; informatică — {i, n, f, o, r, m, a, t, c, ă}. Literele comune sunt m, a, t, i, c, ă, deci mulțimea are 6 elemente.

Capcana tipică: Într-o mulțime fiecare literă se scrie o singură dată, chiar dacă apare de mai multe ori în cuvânt.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Dintre următoarele secvențe de numere, cea care reprezintă o enumerare în ordine crescătoare este:

−√2, −2, 2, √2
−√2, −2, √2, 2
−2, −√2, 2, √2
−2, −√2, √2, 2 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\sqrt{2} \approx 1, 41$ , deci $- 2 < - \sqrt{2} < \sqrt{2} < 2$ . Ordinea crescătoare este −2, −√2, √2, 2.

Capcana tipică: La numerele negative ordinea se inversează: $- 2 < - \sqrt{2}$ , deoarece $2 > \sqrt{2}$ .

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte A și B. Andrei trebuie să poziționeze pe segmentul AB punctele C, D și E astfel încât AB = 2 · AC = 4 · AD = 5 · AE. Ordinea pe dreapta AB a celor 5 puncte este:

A, C, D, E, B
A, E, D, C, B ✓ răspuns corect
A, C, E, D, B
A, E, C, D, B

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A C = \frac{A B}{2}$ , $A D = \frac{A B}{4}$ , $A E = \frac{A B}{5}$ , deci $A E < A D < A C < A B$ . Ordinea punctelor este A, E, D, C, B.

Capcana tipică: Un coeficient mai mare înseamnă un segment mai scurt: 5 · AE = AB face ca AE să fie cel mai mic.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente complementare, iar măsura unghiului BOC este de 30°. Măsura unghiului AOB este egală cu:

15°
30°
45°
60° ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiurile adiacente complementare au suma 90°: $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ .

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu ipotenuza BC. Punctele D, E și F sunt mijloacele laturilor BC, AB, respectiv AC. Perimetrul patrulaterului AEDF este:

egal cu suma lungimilor laturilor AB și AC ✓ răspuns corect
mai mare decât suma lungimilor laturilor AB și AC
mai mic decât suma lungimilor laturilor AB și AC
mai mic decât lungimea laturii BC

Vezi rezolvarea

Rezolvare: DE și DF sunt linii mijlocii: $D E = \frac{A C}{2}$ , $D F = \frac{A B}{2}$ ; în plus $A E = \frac{A B}{2}$ și $A F = \frac{A C}{2}$ . Perimetrul lui AEDF este $A B + A C$ .

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

O morișcă este compusă din patru triunghiuri dreptunghice, congruente, AOB, COD, EOF și GOH, astfel încât punctele B, D, F și H sunt mijloacele segmentelor OC, OE, OG, respectiv OA. Știind că AH = 10 cm și că cele patru triunghiuri au fost decupate dintr-un carton, fără pierderi de material, aria suprafeței cartonului era egală cu:

1 dm²
4 dm² ✓ răspuns corect
10 dm²
40 dm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Triunghiurile sunt congruente, iar B, D, F, H sunt mijloace: OA = OC = OE = OG și OB = OD = OF = OH = $\frac{O A}{2}$ . H este mijlocul lui OA, deci OA = 2 · AH = 20 cm și OB = 10 cm. Aria unui triunghi: $\frac{20 \cdot 10}{2} = 100$ cm², deci cartonul avea $4 \cdot 100 = 400$ cm² = 4 dm².

Capcana tipică: 1 dm² = 100 cm² este aria unui singur triunghi; atenție și la transformarea cm² → dm² (împarți la 100).

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Segmentele AB și CD sunt două diametre perpendiculare în cercul de centru O. Punctul N aparține acestui cerc, iar punctele M și P aparțin segmentelor OB, respectiv OD, astfel încât patrulaterul OMNP să fie dreptunghi. Dacă lungimea coardei AC este √2 cm, atunci lungimea segmentului MP este:

2 cm
1 cm ✓ răspuns corect
0,5 cm
√2 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AC este ipotenuza triunghiului dreptunghic isoscel AOC: $A C = r \sqrt{2} = \sqrt{2}$ , deci $r = 1$ cm. OMNP este dreptunghi, iar diagonalele unui dreptunghi sunt egale: $M P = O N = r = 1$ cm.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

O prismă triunghiulară regulată dreaptă ABCA'B'C' cu muchiile AB și AA' egale. Știind că aria laterală a prismei reprezentate este egală cu 27 cm², volumul aceleiași prisme este egal cu:

3 cm³
9 cm³
27√3/4 cm³ ✓ răspuns corect
27 cm³

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Fețele laterale sunt pătrate cu latura $ℓ$ : $3 ℓ^{2} = 27$ , deci $ℓ = 3$ cm. $V = \frac{ℓ^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot ℓ = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{27 \sqrt{3}}{4}$ cm³.

Capcana tipică: Baza este triunghi echilateral, nu pătrat — de aceea 27 cm³ este greșit.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din Testul 6 oficial (Ministerul Educației – CNPEE, 2021), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Pe un lot cu suprafața de 48 m², un agricultor a cultivat cartofi. Întreaga recoltă obținută o vinde la piață cu 1,85 lei kilogramul și încasează 266,40 lei. a) Verifică dacă întreaga recoltă este de 150 kg de cartofi. b) Află câte kilograme de cartofi au fost recoltate de pe un metru pătrat. (Se consideră că producția este aceeași pe fiecare metru pătrat al lotului.)

Vezi rezolvarea

a) Pentru 150 kg s-ar încasa $150 \cdot 1, 85 = 277, 50$ lei $\neq 266, 40$ lei, deci recolta nu este de 150 kg.

b) Notăm cu $x$ cantitatea (în kg) recoltată de pe un metru pătrat:

48 \cdot x \cdot 1, 85 = 266, 40

88, 8 \cdot x = 266, 40 \Rightarrow x = 3.

De pe un metru pătrat s-au recoltat 3 kg de cartofi (în total 144 kg).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = 2 (x + 3)^{2}

- (2 + x) (x - 2) - 2 (5 x + 7),

unde

x

este număr real. a) Arată că

E (- 2) - 8 = 0

. b) Demonstrează că

E (x) \geq 7

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

a) $E (- 2) = 2 \cdot 1^{2} - 0 \cdot (- 4) - 2 \cdot (- 3) =$ $2 + 6 = 8$ , deci $E (- 2) - 8 = 0$ .

E (x) = 2 (x^{2} + 6 x + 9)

- (x^{2} - 4) - 10 x - 14

= 2 x^{2} + 12 x + 18 - x^{2}

+ 4 - 10 x - 14

= x^{2} + 2 x + 8 = (x + 1)^{2} + 7.

Cum $(x + 1)^{2} \geq 0$ , rezultă $E (x) \geq 7$ pentru orice număr real $x$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numărul întreg

a = 2^{2048} - 2048^{2}

. a) Arată că la împărțirea numărului 2048 cu 64 câtul este egal cu

2^{5}

. b) Arată că numărul

a

este un număr natural.

Vezi rezolvarea

a) $2048 : 64 = 32$ , iar $32 = 2^{5}$ (sau: $2^{11} : 2^{6} = 2^{5}$ ).

b) $2048 = 2^{11}$ , deci $2048^{2} = 2^{22}$ și $a = 2^{2048} - 2^{22}$ . Cum $2^{2048} > 2^{22}$ , $a$ este diferența pozitivă a două numere naturale, deci a este număr natural.

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD cu AD ⊥ AB și AB ∥ CD. Semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC, AB = 16 cm și CD = 10 cm. a) Știind că E ∈ AB astfel încât CE ⊥ AB, demonstrează că BE = 6 cm. b) Știind că P este punctul de intersecție a laturii AB cu perpendiculara din C pe dreapta BD, demonstrează că DP ∥ BC.

Vezi rezolvarea

a) AECD este dreptunghi ( $A D ⊥ A B$ , $C E ⊥ A B$ , $A B ∥ C D$ ), deci AE = CD = 10 cm și BE = AB − AE = 16 − 10 = 6 cm.

b) În triunghiul BCP, BD este bisectoarea unghiului CBP și $B D ⊥ C P$ , deci BD este și înălțime: triunghiul BCP este isoscel, BC = BP.

Din AB ∥ CD, ∢CDB ≡ ∢DBA ≡ ∢DBC, deci triunghiul BCD este isoscel: BC = CD. Rezultă BP = CD. Cum BP ∥ CD și BP = CD, patrulaterul BCDP este paralelogram, deci DP ∥ BC.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată punctele M și N sunt mijloacele laturilor AC, respectiv BC ale unui triunghi ABC dreptunghic în A, cu BC = 24 cm și măsura unghiului C egală cu 30°. a) Determină lungimea segmentului MN. b) Calculează raportul dintre perimetrul triunghiului AMN și perimetrul triunghiului ABC.

Vezi rezolvarea

a) Cateta AB se opune unghiului de 30°, deci $A B = \frac{B C}{2} = 12$ cm. MN este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci $M N = \frac{A B}{2} = 6$ cm.

b) AN este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci $A N = \frac{B C}{2}$ ; M este mijlocul lui AC, deci $A M = \frac{A C}{2}$ ; iar $M N = \frac{A B}{2}$ . Atunci

P_{A M N} = \frac{A C + B C + A B}{2}

= \frac{P_{A B C}}{2},

deci $\frac{P_{A M N}}{P_{A B C}} = \frac{1}{2}$ .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat acoperișul unei case sub forma suprafeței laterale a piramidei patrulatere regulate VABCD, de înălțime VO = 3 m, în care unghiul de înclinație a acoperișului, adică unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei, are măsura egală cu 30°. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Arată că

A B = 6 \sqrt{3}

m. b) Știind că acoperișul este realizat din tablă și că proprietarul casei dorește să-l vopsească într-un singur strat cu vopsea specială pentru tablă care se vinde la bidon de 3 litri care costă 125 de lei și care, conform specificațiilor producătorului, acoperă 12 m² la utilizarea unui litru, determină prețul minim pe care trebuie să-l achite proprietarul pentru cumpărarea cantității de vopsea necesară la bidon de 3 litri. (Pentru justificare, se poate folosi inegalitatea

1, 73 < \sqrt{3} < 1, 74

Vezi rezolvarea

a) $O M ⊥ B C$ și $V M ⊥ B C$ , deci unghiul dintre fața (VBC) și bază este ∢VMO, cu m(∢VMO) = 30°. Triunghiul VOM este dreptunghic în O:

tg 30^{\circ} = \frac{V O}{O M} \Rightarrow

O M = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3 \sqrt{3} m .

OM este apotema bazei, deci $A B = 2 \cdot O M = 6 \sqrt{3}$ m.

b) În triunghiul VOM, VO se opune unghiului de 30°, deci apotema piramidei este $V M = 2 \cdot V O = 6$ m. Suprafața de vopsit este aria laterală:

A_{ℓ} = 4 \cdot \frac{A B \cdot V M}{2}

= 2 \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 6 = 72 \sqrt{3} m^{2} .

Din $1, 73 < \sqrt{3} < 1, 74$ : $124, 56 < 72 \sqrt{3} < 125, 28$ m². Împărțind la 12 m²/litru, sunt necesari între 10,38 și 10,44 litri, adică mai mult de 10 litri și mai puțin de 11 litri. Trei bidoane (9 litri) nu ajung, deci trebuie cumpărate 4 bidoane (12 litri), care costă $4 \cdot 125 = 500$ de lei.

Notă: baremul oficial indică „4 bidoane, prețul fiind de 600 de lei”, dar la 125 de lei bidonul, 4 bidoane costă 500 de lei.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 6 de antrenament — Evaluare Națională 2021 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională