Ecuații și inecuații la Evaluarea Națională — probleme rezolvate pe tipuri

La Evaluarea Națională de matematică, ecuațiile apar în fiecare variantă: la Subiectul I (o ecuație, o inecuație sau o proporție cu necunoscută), la Subiectul al III-lea, problema 1 (o problemă cu text care se rezolvă cu o ecuație sau cu un sistem) și la problema 2 (calcul cu o expresie algebrică $E(x)$). Aici sunt toți cei 55 de itemi de acest tip din 17 variante oficiale rezolvate pe site (2023–2027), grupați pe tipuri, cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Ecuația de gradul I $ax+b=0$, cu $a\ne 0$, are soluția unică $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. Treci termenii cu necunoscuta într-un membru, numerele în celălalt, schimbând semnul — ecuația de gradul I.
• Inecuații: se rezolvă ca ecuațiile, dar când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă; mulțimea soluțiilor se scrie de obicei ca interval — inecuații, intervale de numere reale.
• Proporții: ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}⟺a\cdot d=b\cdot c$ (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Din ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$ poți scrie $x=5k$, $y=2k$ și înlocui în expresia cerută — regula de trei simplă.
• Ecuația $x^2=a$, cu $a>0$, are două soluții reale: $x=\pm \sqrt{a}$ — ecuația de gradul al II-lea.
• Sisteme de două ecuații cu două necunoscute: metoda substituției (scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă) sau metoda reducerii (aduni ecuațiile înmulțite convenabil) — sisteme de ecuații, calculator sisteme.
• Expresii algebrice: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$; descompui numitorii în factori, aduci la același numitor și simplifici, respectând condițiile de existență (numitorii nenuli) — formule de calcul prescurtat.

Exersează și cu fișele ecuații de gradul I, sisteme de ecuații și intervale și inecuații.

Ce tipuri de cerințe apar

Pe site există în total 96 de itemi de acest tip (2021–2027). Mai jos sunt cei din variantele 2023–2027; ceilalți 41 de itemi îi găsești rezolvați în variantele: EN 2022, examen (3), Simulare EN 2022 (4), Test 1 de antrenament, EN 2022 (3), Test 2 de antrenament, EN 2022 (2), Test 3 de antrenament, EN 2022 (2), Test 4 de antrenament, EN 2022 (3), Test 5 de antrenament, EN 2022 (2), Test 6 de antrenament, EN 2022 (3), EN 2021, examen (2), Simulare EN 2021 (2), Test 1 de antrenament, EN 2021 (2), Test 2 de antrenament, EN 2021 (2), Test 3 de antrenament, EN 2021 (3), Test 4 de antrenament, EN 2021 (2), Test 5 de antrenament, EN 2021 (3), Test 6 de antrenament, EN 2021 (3).

Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate în fiecare grupă de la cele mai noi la cele mai vechi. Rezolvă singur întâi, apoi deschide rezolvarea completă (acolo este marcat și răspunsul corect).

Ecuații și inecuații (Subiectul I)

Model EN 2027 — Subiectul I, itemul 3

Soluția ecuației $2-x=8$ este numărul întreg:

1. −10
2. −6
3. 6
4. 10

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 3

Soluția ecuației $5-x=5$ este numărul:

1. −10
2. −1
3. 0
4. 10

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul I, itemul 4

Soluția ecuației $6x-2=1$ este numărul:

1. $-\frac{1}{3}$
2. $-\frac{1}{2}$
3. $\frac{1}{3}$
4. $\frac{1}{2}$

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul I, itemul 4

1. 1/6
2. 1/4
3. 1/2
4. 3/4

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul I, itemul 6

Afirmația: „Numărul 1 este soluția ecuației $2x+3=4x+1$.” este:

1. adevărată
2. falsă

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 4

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^2=8$ este:

1. $\{-2\}$
2. $\{-2,2\}$
3. $\{2\}$
4. $\{4\}$

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul I, itemul 4

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației 2x + 2 ≥ 4 este:

1. (−∞, −1]
2. (−∞, 1]
3. [−1, +∞)
4. [1, +∞)

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul I, itemul 3

Soluția ecuației $2-x=2$ este numărul:

1. −4
2. 0
3. 2
4. 4

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Proporții și rapoarte cu necunoscute (Subiectul I)

EN 2026, examen — Subiectul I, itemul 5

1. Ioana
2. Andreea
3. Luca
4. Radu

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=5$, rezultatul calculului $a+b$ este egal cu:

1. 7
2. 10
3. 12
4. 35

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul I, itemul 4

Dacă 2x = √3 / 2, atunci 4x este egal cu:

1. 4/3
2. 8/3
3. √3
4. 6

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul I, itemul 3

Dacă $\frac{a}{4}=\frac{5}{2}$, atunci rezultatul calculului $2a+10$ este egal cu:

1. 30
2. 20
3. 15
4. 10

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{a}{2}=\frac{2}{3}$, atunci $\frac{a}{4}$ este egal cu:

1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{4}{3}$
3. 2
4. 3

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{x-1}{7}=\frac{y}{2}$, rezultatul calculului $2x-7y$ este egal cu:

1. 0
2. 1
3. 2
4. 5

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{x}{9}=\frac{2}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu:

1. $\frac{27}{2}$
2. 6
3. 2
4. $\frac{1}{6}$

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{6}{a}=\frac{b}{2}$, $a\ne 0$, atunci raportul $\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}$ este egal cu:

1. $\frac{12}{13}$
2. 1
3. $\frac{12}{11}$
4. 12

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul I, itemul 2

Dacă (x − 2)/5 = y/3, atunci rezultatul calculului 3x − 5y este:

1. 0
2. 2
3. 5
4. 6

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$, atunci $4\cdot x$ este egal cu:

1. $\frac{3}{2}$
2. $\frac{8}{3}$
3. 6
4. 12

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$, $y\ne 0$, rezultatul calculului $2x-5y+10$ este egal cu:

1. 0
2. 7
3. 10
4. 17

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{1}{2}=\frac{a}{3}$, atunci numărul $a$ este egal cu:

1. $\frac{2}{3}$
2. 1
3. $\frac{3}{2}$
4. 6

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$, atunci rezultatul calculului $4a-3b$ este egal cu:

1. 0
2. 1
3. 7
4. 12

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Probleme care se rezolvă cu ecuații sau sisteme (Subiectul III, problema 1)

Model EN 2027 — Subiectul al III-lea, problema 1

Într-o cutie sunt pixuri. Dacă pixurile se împart în mod egal la 5 copii, în cutie rămân 4 pixuri. Dacă pixurile se împart în mod egal la 6 copii, în cutie rămân 5 pixuri. a) Este posibil ca în cutie să fie exact 26 de pixuri? Justifică răspunsul dat. b) Știind că numărul de pixuri din cutie este cuprins între 80 și 100, determină câte pixuri sunt în cutie.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Mai mulți copii doresc să cumpere împreună o minge. Dacă fiecare copil contribuie cu câte 18 lei, mai sunt necesari 30 de lei. a) Este posibil ca mingea să coste 153 de lei? Justifică răspunsul dat. b) Dacă fiecare copil contribuie cu câte 24 de lei, atunci sunt în plus 12 lei. Determină cât costă mingea.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

Maria are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește un sfert din această sumă. În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă. În a treia zi, Maria cheltuiește 45 de lei și constată că i-a rămas un sfert din suma de bani pe care a avut-o inițial. a) Este posibil ca Maria să fi cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi? Justifică răspunsul dat. b) Determină suma de bani pe care a avut-o Maria inițial.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 1

Pentru a putea așeza elevii unei clase câte doi în fiecare bancă, în această sală de clasă, ar mai trebui adusă încă o bancă în care să fie așezați doi elevi. a) Verifică dacă în această clasă pot fi 25 de elevi. Justifică răspunsul dat. b) Dacă elevii acestei clase se așază câte 4 în bancă, atunci într-una dintre bănci stau doar 2 elevi, iar 5 bănci rămân libere. Determină numărul băncilor din această clasă.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 1

În prezent, vârsta lui Bogdan este cu 8 ani mai mare decât triplul vârstei lui Tudor. Peste un an vârsta lui Bogdan va fi de 5 ori mai mare decât vârsta lui Tudor. a) Verifică dacă Tudor poate avea în prezent 4 ani. Justifică răspunsul dat. b) Determină vârsta lui Bogdan în prezent.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Ana a cumpărat de la o librărie caiete, pixuri și creioane. Prețul unui pix este egal cu 75% din prețul unui caiet, iar prețul unui creion este egal cu 40% din prețul unui pix. a) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat. b) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de 45 de lei, determină prețul unui caiet.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

Doi copii, Alin și Maria, au împreună o sumă de bani S. Sumele de bani ale fiecărui copil sunt exprimate prin numere naturale. Dacă Alin ar cheltui 10 lei, atunci lui Alin i-ar rămâne de două ori mai puțini bani decât are Maria. a) Este posibil ca suma S să fie egală cu 140 de lei? Justifică răspunsul dat. b) Determină suma S, știind că, dacă Maria i-ar da 15 lei lui Alin, atunci cei doi copii ar avea sume egale de bani.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 1

Un bunic dorește să împartă suma de 126 de lei celor trei nepoți ai săi: Ana, Bogdan și Costin. Ana va primi jumătate din suma pe care o vor primi împreună Bogdan și Costin. a) Verifică dacă Ana poate primi de la bunicul ei 40 de lei. Justifică răspunsul dat. b) Determină suma pe care o va primi Bogdan de la bunicul său, știind că este cu 10% mai mare decât suma pe care o va primi Costin de la bunicul său.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 1

O echipă de muncitori a construit o pistă pentru biciclete în 3 zile. În prima zi a construit 30% din lungimea pistei, în a doua zi 60% din ce a rămas și în ultima zi cu 7 km mai puțin decât în a doua zi. a) Verifică dacă în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi. Justifică răspunsul dat. b) Determină lungimea pistei construite de echipă în cele trei zile.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev. a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

Pentru un concert s-au vândut în total 225 de bilete pentru adulți și copii. Prețul unui bilet pentru adulți a fost de 25 de lei, iar prețul unui bilet pentru copii a fost de 20 de lei. Suma obținută din vânzarea biletelor a fost de 5150 de lei. a) Verifică dacă au fost vândute 205 bilete pentru adulți. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul biletelor pentru copii care au fost vândute.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 1

Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți. a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 53 de cărți. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 1

Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit 20% din întreaga sumă, în a doua zi 30% din suma rămasă, în a treia zi cu 20 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 44 de lei. a) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat. b) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Maria are 14 ani și tatăl ei are 40 de ani. a) Este posibil ca, peste 2 ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani? Justifică răspunsul dat. b) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

La ora de geometrie, fiecare dintre cei 25 de elevi ai unei clase a desenat pe caiet fie un triunghi, fie un patrulater. a) Este posibil ca exact 7 elevi să fi desenat câte un triunghi și numărul total de laturi desenate de cei 25 de elevi să fie egal cu 90? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de elevi care au desenat câte un patrulater, știind că numărul total de laturi ale figurilor geometrice desenate de elevii clasei este egal cu 91.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 1

Într-un bloc de locuințe sunt 22 de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind 60 de camere. a) Este posibil ca în acest bloc să fie 16 apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 1

Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs 30% din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de 72 km. a) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Calcul algebric: expresii E(x) (Subiectul III, problema 2)

Model EN 2027 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{x}{x^3-x}-\frac{1}{x-1})\cdot \frac{x^2+2x+1}{x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 1$. a) Arată că $\frac{x}{x^3-x}-\frac{1}{x-1}=\frac{x}{(1-x)(x+1)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 1$. b) Arată că $A=E(2)\cdot E(3)\cdot E(4)\cdot E(5)$ este număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=\frac{x}{x-3}+\frac{1}{x-2}+\frac{7-3x}{(x-2)(x-3)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 3$. a) Arată că $E(x)=\frac{x-2}{x-3}$. b) Arată că numărul $A=(E(4){)}^n+(E(4){)}^{n+3}$ este divizibil cu 18, pentru orice număr natural nenul $n$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=$ $(\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}):$ $\frac{5(x^2+2x+1)}{x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 2$. a) Arată că $\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. b) Determină numărul natural $n$, $n\ne 2$, pentru care $E(n)=\frac{1}{6}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{1-x}):\frac{x^2-6x+9}{x-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$, $x\ne 2$ și $x\ne 3$. a) Arată că $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$, pentru orice număr real $x$. b) Arată că numărul $T=E(4)+E(5)+E(6)+E(7)$ este mai mic decât $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $$\begin{array}{rl}E(x)=& \frac{3}{x^2+6x+9}\cdot \frac{x}{x-3}\\ & :(\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}),\end{array}$$ unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. a) Arată că $\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$ și $x\ne 3$. b) Arată că numărul $N=\frac{1}{E(n)}+\frac{1}{E(n+1)}+\frac{1}{E(n+2)}$ este natural, pentru orice număr natural $n$, $n>3$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $$E(x)=(\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}):\frac{1}{x^2-3x},$$ unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. a) Arată că $\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. b) Demonstrează că $E(n)>6$, pentru orice număr natural $n$, $n\ne 0$, $n\ne 3$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}):\frac{1}{x^3-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. a) Arată că $\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. b) Arată că numărul $N=E(\sqrt{2}-1)+3\cdot E(\sqrt{2}+1)$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2):\frac{4}{x^2+x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 1$. a) Arată că $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$, pentru orice număr real $x$. b) Arată că numărul $N=\sqrt{E(2)\cdot E(3)\cdot \dots \cdot E(9)\cdot E(10)}$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $$\begin{array}{rl}E(x)=& (\frac{x+4}{x-3}-\frac{x-3}{x+4}\\ & +\frac{49}{x^2+x-12}):\frac{7}{x-3},\end{array}$$ unde $x$ este număr real, $x\ne -4$ și $x\ne 3$. a) Arată că $x^2+x-12=(x-3)(x+4)$, pentru orice număr real $x$. b) Arată că numărul $N=$ $\sqrt{E(2)+E(4)+E(6)+\dots +E(16)}$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $$E(x)=(\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x-1})\cdot (x^2-4),$$ unde $x$ este număr real, $x\ne 1$ și $x\ne 2$. a) Arată că $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, pentru orice număr real $x$. b) Determină numerele întregi $n$, $n\ne 1$ și $n\ne 2$, pentru care $N=\frac{5}{E(n)}$ este număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}):\frac{x^2+4}{x^2+4x+4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. a) Arată că $\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. b) Determină numerele naturale $n$, $n\ne 2$, pentru care $N=E(n)-1$ este număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(2x+3{)}^2+(x-2)(x+2)$ $-3(1-x)+2$, unde $x$ este număr real. a) Arată că $E(0)=4$. b) Arată că numărul $N=E(n)+6$ este divizibil cu 10, pentru orice număr natural $n$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x})$ $:(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2)$, unde $x$ este un număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. a) Arată că $\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$ și $x\ne 0$. b) Determină numărul natural $n$ pentru care $5\cdot E(n)$ este număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $$E(x)=(\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}):\frac{x+3}{5(x+1)},$$ unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne -2$ și $x\ne -1$. a) Arată că $\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+1}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne -1$. b) Determină suma soluțiilor ecuației $E(x)=\frac{x-3}{8}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne -2$ și $x\ne -1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}):\frac{2x+1}{x^2+3x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$, $x\ne -1$, $x\ne -2$ și $x\ne -\frac{1}{2}$. a) Arată că $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, pentru orice număr real $x$. b) Dacă $n$ este număr natural par, nenul, arată că numărul $N=\frac{1}{E(n)}$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $$E(x)=(\frac{x^2-9}{x^2-16}-1):$$$$(\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2-16}),$$ unde $x$ este număr real, $x\ne -4$, $x\ne 4$ și $x\ne \frac{3}{2}$. a) Arată că $E(x)=\frac{7}{2x-3}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -4$, $x\ne 4$ și $x\ne \frac{3}{2}$. b) Determină numerele naturale $n$ pentru care $E(n)$ este număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}):\frac{x^2+4}{x^2-x-2}$, unde $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1,2\}$. a) Arată că $E(x)=\frac{x+1}{x+2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1,2\}$. b) Determină numerele întregi $a$ pentru care $E(a)\in \mathbb{Z}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Greșeli frecvente

• Uiți să schimbi sensul inegalității când împarți la un număr negativ (de exemplu, din $-2x<6$ rezultă $x>-3$, nu $x<-3$).
• La trecerea unui termen în celălalt membru nu schimbi semnul: din $4-x=6$ rezultă $-x=2$, deci $x=-2$.
• La ecuația $2x^2=8$ păstrezi doar soluția pozitivă; mulțimea soluțiilor este $\{-2,2\}$.
• La problemele cu text nu verifici rezultatul în enunț (de exemplu, numărul de bilete sau de pixuri trebuie să fie natural) și nu scrii răspunsul cu unitatea de măsură.
• La expresiile $E(x)$ uiți condițiile de existență sau simplifici termeni, nu factori: $\frac{x+2}{x+3}$ nu se simplifică.

Alte capitole de Evaluare Națională: Funcții la EN · Geometrie plană la EN · Calcul, procente și probabilități la EN · Geometrie în spațiu la EN.

Întrebări frecvente

Ce ecuații se dau la Evaluarea Națională? La Subiectul I apar ecuații de gradul I simple (de tipul 6x − 2 = 1), inecuații, ecuații de forma x² = a sau proporții din care se află o necunoscută. La Subiectul al III-lea, problema 1 este o problemă cu text care se rezolvă cu o ecuație sau un sistem, iar la problema 2 se cere calculul cu o expresie algebrică.

Cum rezolv o problemă cu text la Subiectul III? Notezi necunoscuta (de exemplu, suma inițială sau numărul de copii), traduci fiecare propoziție din enunț într-o relație, rezolvi ecuația sau sistemul obținut și verifici rezultatul în enunț. La punctul a) se cere de obicei o verificare („Este posibil ca…?”), care se justifică prin calcul.

Cum aflu valoarea unei expresii dacă știu un raport, de exemplu x/y = 5/2? Scrii x = 5k și y = 2k, cu k nenul, și înlocuiești în expresie; de exemplu, 2x − 5y + 10 = 10k − 10k + 10 = 10. Alternativ, folosești proprietatea fundamentală a proporțiilor: 2x = 5y.

← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.