Subiectul de rezervă de la Evaluarea Națională 2026 la matematică (clasa a VIII-a, Varianta 5) este varianta de siguranță pregătită pentru proba din 24 iunie 2026: se folosește doar dacă subiectul extras nu poate fi dat, iar după examen ministerul îl publică oficial, cu barem. Are aceeași structură și dificultate ca subiectul de examen, deci este un test suplimentar excelent — mai jos îl găsești rezolvat complet: 12 itemi grilă și 6 probleme din Subiectul al III-lea, pas cu pas, conform baremului. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Ce este subiectul de rezervă? La fiecare probă a Evaluării Naționale, pe lângă varianta extrasă pentru examen, se stabilește și o variantă de rezervă, care ar înlocui subiectul principal în situații excepționale (de exemplu, dacă acesta ar fi compromis). Ea este elaborată de aceeași comisie, după aceeași programă și același model, iar după probă este publicată alături de subiectul dat la examen.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare — CNCE) pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Subiecte și bareme EN 2026 (fișierele ENVIII_Matematica_2026_Var_05_LRO.pdf (subiectul) și ENVIII_Matematica_2026_Bar_05_LRO.pdf (baremul)). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. Subiectul dat efectiv la examen îl găsești rezolvat pe pagina Evaluare Națională 2026 matematică — subiectele rezolvate.
Rezolvare: Împărțirea se efectuează înaintea scăderii: \(24 : 3 = 8\), apoi \(27 - 8 = 19\).
Capcana tipică: Dacă scazi întâi (\(27 - 24 = 3\)) și apoi împarți la 3, obții greșit 1.
Rezolvare: \(a = 3 \cdot 5 = 15\) și \(b = 4 \cdot 5 = 20\), deci \(a + b = 35\).
Capcana tipică: 7 este doar suma numitorilor \(3 + 4\); trebuie înmulțită cu valoarea comună a rapoartelor, 5.
Rezolvare: \(x = 5 - 5 = 0\). Verificare: \(5 - 0 = 5\).
Rezolvare: Inversul unui număr nenul \(x\) este numărul care înmulțit cu \(x\) dă 1: \(\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5} = 1\), deci inversul este \(\frac{9}{5}\).
Capcana tipică: Nu confunda inversul cu opusul: opusul lui \(\frac{5}{9}\) este \(-\frac{5}{9}\).
Patru elevi, Mihai, Cristina, Ionuț și Ana, calculează produsul numerelor \(a = 5 - 2\sqrt{6}\) și \(b = 5 + 2\sqrt{6}\). Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| Mihai | Cristina | Ionuț | Ana |
|---|---|---|---|
| 10 | 1 | \(4\sqrt{6}\) | \(10 + 4\sqrt{6}\) |
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Rezolvare: \(a \cdot b = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\). Rezultatul corect l-a obținut Cristina.
Capcana tipică: \((2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24\), nu \(2 \cdot 6 = 12\) — pătratul se aplică și factorului 2.
Rezolvare: Scumpirea este \(\frac{20}{100} \cdot 1000 = 200\) de lei, deci noul preț este \(1000 + 200 = 1200\) de lei. Afirmația este adevărată.
Rezolvare: CD = 4 cm. Cum AD = AB + BC + CD, avem BC = 9 − 2 − 4 = 3 cm.
Capcana tipică: 7 cm este BD (AD − AB); trebuie scăzut și CD.
Rezolvare: Unghiurile în jurul punctului O însumează 360°, deci fiecare are 120°. m(∢DOB) = 120° : 2 = 60°, iar m(∢EOB) = 60° : 2 = 30°. Atunci m(∢EOC) = m(∢EOB) + m(∢BOC) = 30° + 120° = 150°.
Capcana tipică: 120° este măsura unghiului BOC; nu uita să adaugi unghiul EOB.
Rezolvare: Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: AB = 2 cm. BM = BC : 2 = 2 cm, iar mediana AM corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: AM = 2 cm. Perimetrul este 2 + 2 + 2 = 6 cm (triunghiul ABM este echilateral).
Rezolvare: AD = DC, deci triunghiul ADC este isoscel: m(∢DCA) = m(∢DAC) = 20°. Din AB ∥ CD, unghiurile DCA și CAB sunt alterne interne: m(∢CAB) = 20°. Atunci m(∢DAB) = 20° + 20° = 40°. Trapezul este isoscel (AD = BC), deci m(∢ABC) = m(∢DAB) = 40°.
Capcana tipică: 20° este doar jumătate din unghiul DAB — diagonala AC este bisectoarea lui.
Rezolvare: OA = OB (raze), deci triunghiul AOB este isoscel: m(∢OAB) = 30° și m(∢AOB) = 180° − 60° = 120°. Unghiul ACB este înscris și cuprinde arcul AB de 120°, deci m(∢ACB) = 120° : 2 = 60°.
Capcana tipică: 120° este unghiul la centru AOB; unghiul înscris are jumătate din măsura lui.
Rezolvare: \(C'D' \parallel CD\), deci ∢(AC, C′D′) = ∢(AC, CD) = m(∢ACD). AC este diagonala pătratului ABCD, deci face cu latura CD un unghi de 45°.
Capcana tipică: 90° ar fi unghiul dreptelor AC și BD (diagonalele pătratului), nu al dreptelor AC și C′D′.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) Notăm cu \(x\) suma inițială. În prima zi cheltuiește \(\frac{x}{4}\), iar în a doua zi \(\frac{1}{4}\left(x - \frac{x}{4}\right) = \frac{3x}{16}\). Cum \(\frac{3x}{16} \lt \frac{4x}{16} = \frac{x}{4}\), Maria nu a cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi.
b) Cheltuielile din cele trei zile plus suma rămasă reprezintă suma inițială:
\[\frac{x}{4} + \frac{3x}{16} + 45 + \frac{x}{4} = x\]\[\Rightarrow \frac{11x}{16} + 45 = x \Rightarrow \frac{5x}{16} = 45 \Rightarrow x = 144.\]Maria a avut inițial 144 de lei (verificare: 36 + 27 + 45 + 36 = 144).
a) Numitorul comun este \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\):
\[\frac{7 + 2(x+2) + 3(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5x + 5}{(x-2)(x+2)} = \frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}.\]b) Cum \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\),
\[E(x) = \frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{5(x+1)^2} = \frac{1}{(x+2)(x+1)}.\]\(E(n) = \frac{1}{6} \Leftrightarrow (n+1)(n+2) = 6\). Produsul a două numere naturale consecutive este 6 doar pentru \(2 \cdot 3\), deci \(n + 1 = 2\), adică \(n = 1\).
a) \(f(-1) = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}\) și \(f(1) = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}\), deci \(f(-1) + f(1) = \frac{12}{2} = 6\).
b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = -2\), deci \(A(-2, 0)\); \(f(0) = 3\), deci \(B(0, 3)\). \(AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\).
B și C au aceeași ordonată (3), deci BC este paralel cu Ox și BC = 2, iar distanța de la A la dreapta BC este 3. Scriem aria triunghiului ABC în două moduri:
\[\mathcal{A}_{ABC} = \frac{BC \cdot d(A, BC)}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3,\]\[\mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot d(C, AB)}{2} \Rightarrow d(C, AB) = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}.\]a) AO este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic ABC, deci \(AO = \frac{BC}{2}\). În triunghiul DBC, dreptunghic în D, m(∢DBC) = 90° − 60° = 30°, iar cateta CD se opune unghiului de 30°: \(CD = \frac{BC}{2}\). Așadar AO = CD.
b) m(∢ECD) = m(∢BCD) − m(∢BCE) = 60° − 15° = 45°. Triunghiul CDE este dreptunghic în D (E ∈ BD) cu un unghi de 45°, deci este dreptunghic isoscel.
Triunghiul AOB este și el dreptunghic isoscel: AO ⊥ BC (mediana în triunghiul isoscel este și înălțime) și AO = BO = \(\frac{BC}{2}\). Triunghiurile AOB și CDE sunt dreptunghice isoscele cu catetele AO = CD (punctul a)), deci sunt congruente (C.C.), iar ipotenuzele lor sunt egale: AB = CE. (Numeric: ambele sunt egale cu \(AO\sqrt{2}\).)
a) \(AM \parallel DC\), deci \(\triangle APM \sim \triangle CPD\) (unghiuri alterne interne și opuse la vârf). Raportul de asemănare este
\[\frac{AP}{CP} = \frac{AM}{CD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},\]deci \(CP = 2 \cdot AP\).
b) În triunghiul ABC, dreptunghic în B: \(AC = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}\) cm, deci \(CP = \frac{2}{3} AC = 2\sqrt{5}\) cm.
Triunghiurile AMD (AM = AD = 3 cm) și BMC (MB = BC = 3 cm) sunt dreptunghice isoscele, deci m(∢AMD) = m(∢BMC) = 45° și m(∢PMC) = 180° − 45° − 45° = 90°. În triunghiul PMC, dreptunghic în M, MT este mediana corespunzătoare ipotenuzei:
\[MT = \frac{CP}{2} = \sqrt{5} \text{ cm}.\]a) Fie \(\{O\} = AC \cap BD\); \(VO \perp (ABC)\). \(AO = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) cm, iar în triunghiul VOA, dreptunghic în O: \(VO = \sqrt{144 - 72} = 6\sqrt{2}\) cm.
\[V = \frac{\mathcal{A}_{ABCD} \cdot VO}{3} = \frac{144 \cdot 6\sqrt{2}}{3} = 288\sqrt{2} \text{ cm}^3.\]b) \(MN \parallel VO\) și M este mijlocul lui VA, deci N este mijlocul lui AO și \(MN = \frac{VO}{2} = 3\sqrt{2}\) cm.
Fie \(NQ \perp AD\), \(Q \in AD\). Cum \(MN \perp (ABC)\), avem \(MN \perp AD\); MN și NQ sunt concurente, deci \(AD \perp (QNM)\). Fie \(NT \perp MQ\), \(T \in MQ\). Atunci \(NT \perp AD\) (AD este perpendiculară pe planul care conține NT) și \(NT \perp MQ\), deci \(NT \perp (VAD)\). Proiecția dreptei MN pe planul (VAD) este MT, deci
\[∢(MN, (VAD)) = ∢(MN, MT) = ∢NMQ.\]N este mijlocul lui AO, deci NQ este jumătate din distanța de la O la AD: \(NQ = \frac{6}{2} = 3\) cm. În triunghiul MNQ, dreptunghic în N:
\[\operatorname{tg}(∢NMQ) = \frac{NQ}{MN} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.6 | Ordinea operațiilor, șiruri de rapoarte egale, ecuații, inversul unui număr, formula \((a-b)(a+b)\), procente | Fracții · Radicali · Procente |
| III.1 | Probleme cu fracții dintr-o sumă | Fracții |
| III.2 | Rapoarte algebrice, ecuații | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, distanța de la un punct la o dreaptă | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Segmente, bisectoare, triunghiul dreptunghic cu 30°, trapezul isoscel, unghiul înscris, asemănare, mediana pe ipotenuză | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul · fișă asemănare |
| II.6, III.6 | Unghiul a două drepte în cub, piramida patrulateră regulată, unghiul dintre o dreaptă și un plan | Cubul · Dreapta perpendiculară pe plan |
Din același an: subiectul de examen EN 2026 rezolvat și modelul EN 2026 rezolvat. Alte subiecte de rezervă rezolvate: rezerva EN 2023, rezerva EN 2024, rezerva EN 2025. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Ce este subiectul de rezervă la Evaluarea Națională 2026 la matematică? Este varianta oficială de siguranță (Varianta 5), pregătită pentru proba de matematică din 24 iunie 2026 și folosită doar dacă subiectul principal nu poate fi dat. După probă a fost publicată de minister, împreună cu baremul, pe subiecte.edu.ro.
Este subiectul de rezervă mai ușor sau mai greu decât cel de la examen? Are aceeași structură (Subiectul I și Subiectul II cu câte 6 itemi grilă, Subiectul III cu 6 probleme cu punctele a) de 2 puncte și b) de 3 puncte) și același nivel de dificultate, pentru că ar trebui să poată înlocui oricând subiectul principal. De aceea este unul dintre cele mai bune teste de exersare.
Cum se punctează subiectul de rezervă EN 2026? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral. Se adaugă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din subiectul de rezervă EN 2026? Subiectul I: 1a, 2d, 3c, 4d, 5b, 6a. Subiectul II: 1a, 2d, 3b, 4c, 5b, 6b — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2027) · Calculator medie admitere liceu
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE (din 2025 Ministerul Educației și Cercetării / CNCE), preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.