Sisteme de ecuații la Evaluarea Națională — probleme cu text rezolvate

La Evaluarea Națională, sistemele de ecuații apar mai ales la Subiectul al III-lea, problema 1: o problemă cu text despre vârste, elevi așezați în bănci, bilete sau apartamente, care se rezolvă cu un sistem de două ecuații cu două necunoscute (sau cu o ecuație, dacă exprimi o necunoscută prin cealaltă). La a) se verifică o situație („Este posibil ca…?”), iar la b) se determină necunoscuta. Câteva afirmații adevărat/fals de la Subiectul I se judecă la fel. Aici sunt toți cei 14 itemi de acest tip din 11 variante oficiale (examen, simulare, model, rezervă, 2021–2026), grupați pe tipuri, cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Pașii unei probleme cu text: notezi necunoscutele (de exemplu $x$ apartamente cu două camere și $y$ cu trei camere), traduci fiecare propoziție într-o ecuație, rezolvi sistemul și verifici rezultatul în enunț (numerele de persoane, obiecte sau bănci trebuie să fie naturale) — sisteme de ecuații.
• Metoda substituției — exemplu: într-un bloc sunt 20 de apartamente cu două, respectiv trei camere, în total 47 de camere: $$\{\begin{array}{l}x+y=20\\ 2x+3y=47\end{array}$$ Din prima ecuație $x=20-y$; înlocuind în a doua, $2(20-y)+3y=47$, deci $y=7$ și $x=13$. Verificare: $2\cdot 13+3\cdot 7=26+21=47$.
• Metoda reducerii: înmulțești ecuațiile cu numere convenabile și le aduni sau le scazi ca să dispară o necunoscută; din $2x+2y=40$ și $2x+3y=47$ prin scădere obții direct $y=7$ — calculator sisteme de ecuații.
• Vârste: peste $n$ ani fiecare persoană are cu $n$ ani mai mult, iar diferența de vârstă rămâne aceeași. Tatăl are 38 de ani și fiul 10: tatăl va avea de trei ori vârsta fiului când $38+n=3(10+n)$, adică peste $n=4$ ani (42 și 14).
• Elevi și bănci: scrii numărul elevilor în două feluri. Dacă așezați câte 3 rămân 2 elevi în picioare, iar așezați câte 4 rămân 3 bănci libere: $3b+2=4(b-3)\Rightarrow b=14$ bănci și $44$ de elevi. La fel la contribuții: câte 10 lei → lipsesc 20 de lei, câte 15 lei → sunt 5 lei în plus: $10c+20=15c-5\Rightarrow c=5$ copii, prețul fiind 70 de lei.

Exersează cu fișa sisteme de ecuații (clasa a VII-a).

Ce tipuri de cerințe apar

Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate în fiecare grupă de la cele mai noi la cele mai vechi. Rezolvă singur întâi, apoi deschide rezolvarea completă (acolo este marcat și răspunsul corect).

Afirmații de verificat la Subiectul I (adevărat sau fals)

Simulare EN 2026 — Subiectul I, itemul 6

Două pixuri și un caiet costă 20 de lei. Afirmația „Patru pixuri și două caiete, de același tip, costă 40 de lei” este:

1. adevărat
2. fals

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 6

În prezent, Ioana și Maria au împreună 28 de ani. Afirmația „Peste 3 ani, Ioana și Maria vor avea împreună 31 de ani.” este:

1. adevărată
2. falsă

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul I, itemul 6

Andrei are 28 de ani, iar Cătălina are 13 ani. Andrei afirmă: „Peste doi ani voi avea dublul vârstei pe care o va avea Cătălina.”. Afirmația lui Andrei este:

1. adevărată
2. falsă

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul I, itemul 6

Bunica lui Andrei are în curte 10 găini și de două ori mai multe rațe. Andrei afirmă că: „Bunica are în curte 10 găini și 20 de rațe.”. Afirmația lui Andrei este:

1. adevărată
2. falsă

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Probleme cu vârste

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 1

În prezent, vârsta lui Bogdan este cu 8 ani mai mare decât triplul vârstei lui Tudor. Peste un an vârsta lui Bogdan va fi de 5 ori mai mare decât vârsta lui Tudor. a) Verifică dacă Tudor poate avea în prezent 4 ani. Justifică răspunsul dat. b) Determină vârsta lui Bogdan în prezent.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Maria are 14 ani și tatăl ei are 40 de ani. a) Este posibil ca, peste 2 ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani? Justifică răspunsul dat. b) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Probleme cu bănci, grupuri și contribuții

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Mai mulți copii doresc să cumpere împreună o minge. Dacă fiecare copil contribuie cu câte 18 lei, mai sunt necesari 30 de lei. a) Este posibil ca mingea să coste 153 de lei? Justifică răspunsul dat. b) Dacă fiecare copil contribuie cu câte 24 de lei, atunci sunt în plus 12 lei. Determină cât costă mingea.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 1

Pentru a putea așeza elevii unei clase câte doi în fiecare bancă, în această sală de clasă, ar mai trebui adusă încă o bancă în care să fie așezați doi elevi. a) Verifică dacă în această clasă pot fi 25 de elevi. Justifică răspunsul dat. b) Dacă elevii acestei clase se așază câte 4 în bancă, atunci într-una dintre bănci stau doar 2 elevi, iar 5 bănci rămân libere. Determină numărul băncilor din această clasă.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev. a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Probleme cu două categorii: total și sumă

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

Doi copii, Alin și Maria, au împreună o sumă de bani S. Sumele de bani ale fiecărui copil sunt exprimate prin numere naturale. Dacă Alin ar cheltui 10 lei, atunci lui Alin i-ar rămâne de două ori mai puțini bani decât are Maria. a) Este posibil ca suma S să fie egală cu 140 de lei? Justifică răspunsul dat. b) Determină suma S, știind că, dacă Maria i-ar da 15 lei lui Alin, atunci cei doi copii ar avea sume egale de bani.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

Pentru un concert s-au vândut în total 225 de bilete pentru adulți și copii. Prețul unui bilet pentru adulți a fost de 25 de lei, iar prețul unui bilet pentru copii a fost de 20 de lei. Suma obținută din vânzarea biletelor a fost de 5150 de lei. a) Verifică dacă au fost vândute 205 bilete pentru adulți. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul biletelor pentru copii care au fost vândute.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

La ora de geometrie, fiecare dintre cei 25 de elevi ai unei clase a desenat pe caiet fie un triunghi, fie un patrulater. a) Este posibil ca exact 7 elevi să fi desenat câte un triunghi și numărul total de laturi desenate de cei 25 de elevi să fie egal cu 90? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de elevi care au desenat câte un patrulater, știind că numărul total de laturi ale figurilor geometrice desenate de elevii clasei este egal cu 91.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 1

Într-un bloc de locuințe sunt 22 de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind 60 de camere. a) Este posibil ca în acest bloc să fie 16 apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Ana, Maria și Vlad au în total 396 de timbre. Ana are cu 25 de timbre mai multe decât Maria și cu 16 timbre mai puține decât Vlad. a) Poate avea Ana 132 de timbre? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de timbre pe care le are Vlad.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Greșeli frecvente

• La vârste adaugi anii doar unei persoane: peste 3 ani, două persoane au împreună cu 6 ani mai mult.
• Traduci greșit „cu 25 mai mult decât” și „de două ori mai puțin decât”: dacă Ana are cu 25 mai mult decât Maria, scrii $A=M+25$; dacă are de două ori mai puțin decât Maria, scrii $M=2A$.
• La problemele cu bănci uiți banca în care stă un singur elev sau numeri greșit băncile libere.
• Obții o soluție care nu este număr natural (de exemplu 7,5 elevi) și nu observi că ai greșit ecuația.
• La punctul a) dai doar răspunsul „da” sau „nu”, fără calculul care îl justifică.

Alte capitole de Evaluare Națională: Numere reale și fracții la EN · Rapoarte, proporții și procente la EN · Geometrie în spațiu la EN · Ecuații la EN · Funcții la EN · Geometrie plană la EN · Calcul și procente la EN · Statistică la EN · Arii și perimetre la EN · Pitagora la EN.

Întrebări frecvente

Ce probleme cu sisteme de ecuații se dau la Evaluarea Națională? La Subiectul al III-lea, problema 1, apar probleme cu text despre vârste, elevi așezați în bănci, bani strânși pentru un obiect, bilete de două tipuri sau apartamente cu numere diferite de camere. Fiecare are o verificare la punctul a) și determinarea unei necunoscute la punctul b).

Trebuie neapărat să rezolv cu un sistem? Nu. Orice metodă corectă primește punctaj maxim: poți folosi o singură necunoscută, metoda falsei ipoteze sau metoda figurativă. Sistemul este doar cel mai sigur mod de a traduce enunțul când apar două mărimi necunoscute.

Cum justific răspunsul la punctul a), de tipul „Este posibil ca…”? Presupui situația din enunț și faci calculul: de exemplu, verifici dacă numărul total de camere iese cel dat sau dacă un număr de elevi poate fi așezat conform condițiilor. Dacă obții o contradicție sau un număr care nu este natural, răspunsul este „nu”; scrie calculul și concluzia.

← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.