Arii și perimetre la Evaluarea Națională — probleme rezolvate pe figuri

Aria și perimetrul sunt cerințele care apar cel mai des la geometria plană de la Evaluarea Națională: în grilele de la Subiectul al II-lea (itemii 7–11) și în problemele 4 și 5 de la Subiectul al III-lea, unde de multe ori punctul a) cere un perimetru, iar punctul b) o arie. Aici găsești 43 de itemi din 20 de variante, 2021–2026, grupați pe figuri, cu enunțul exact, figura și link direct la rezolvarea pas cu pas.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Perimetrul este suma lungimilor laturilor: $P_{\text{pătrat}}=4\ell$, $P_{\text{dreptunghi}}=2(L+l)$, $P_{\text{triunghi echilateral}}=3\ell$. Se măsoară în cm, m.
• Triunghiul: $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{b\cdot h}{2}}$; triunghiul dreptunghic $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{c_1\cdot c_2}{2}}$; triunghiul echilateral $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}}$; cu un unghi cunoscut $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}}$. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale — aria triunghiului, calculator aria triunghiului.
• Patrulatere: ${\mathcal{A}}_{\text{pătrat}}={\ell }^2={\displaystyle \frac{d^2}{2}}$, ${\mathcal{A}}_{\text{dreptunghi}}=L\cdot l$, ${\mathcal{A}}_{\text{paralelogram}}=b\cdot h$, ${\mathcal{A}}_{\text{romb}}={\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}}$, ${\mathcal{A}}_{\text{trapez}}={\displaystyle \frac{(B+b)\cdot h}{2}}$. Diagonala împarte paralelogramul în două triunghiuri cu arii egale — patrulatere, arii.
• Cercul: lungimea $L=2\pi r$, aria discului $\mathcal{A}=\pi r^2$; un arc de $n^{\circ }$ are lungimea ${\displaystyle \frac{\pi rn}{180}}$, iar sectorul circular corespunzător are aria ${\displaystyle \frac{\pi r^{2}n}{360}}$ — cercul: lungime și arie.
• Figuri compuse: aria unei figuri „decupate” se obține prin diferență (aria mare minus aria părții scoase) sau prin sumă de arii mai simple; două triunghiuri cu aceeași înălțime au ariile în raportul bazelor.

Toate formulele pe o singură pagină: formule arii și volume. Exersează cu fișele patrulatere și cercul.

Ce tipuri de cerințe apar

Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate în fiecare grupă de la cele mai noi la cele mai vechi. Rezolvă singur întâi, apoi deschide rezolvarea completă (acolo este marcat și răspunsul corect).

Aria și perimetrul triunghiului (grile)

EN 2026, examen — Subiectul II, itemul 9

În triunghiul ABC, punctul D este mijlocul segmentului BC și punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Aria triunghiului DGC este egală cu 15 cm². Aria triunghiului ABC este egală cu:

1. 30 cm²
2. 45 cm²
3. 60 cm²
4. 90 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 4 cm și măsura unghiului C este egală cu 30°. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Perimetrul triunghiului ABM este egal cu:

1. $\sqrt{3}$ cm
2. 6 cm
3. 8 cm
4. $6\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul II, itemul 10

În pătratul ABCD cu AB = 4 cm, M este mijlocul laturii BC. Dreptele AM și DC se intersectează în punctul P. Aria triunghiului ABP este:

1. 3 cm²
2. 4 cm²
3. 8 cm²
4. 16 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu aria egală cu 96 cm². Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AD$. Aria triunghiului $AEF$ este egală cu:

1. 12 cm²
2. 24 cm²
3. 48 cm²
4. 72 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat patrulaterul $ABCD$. Triunghiurile $ADC$ și $ABC$ sunt dreptunghice isoscele, cu $AD=CD$ și $AC=BC$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu 288 cm². Aria triunghiului $ADC$ este egală cu:

1. 72 cm²
2. 144 cm²
3. 288 cm²
4. 576 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD. Punctul M este mijlocul segmentului AB și aria triunghiului ACM este egală cu 10 cm². Aria paralelogramului ABCD este egală cu:

1. 10 cm²
2. 20 cm²
3. 30 cm²
4. 40 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul II, itemul 9

1. 11 cm
2. 20 cm
3. 22 cm
4. 24 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu aria de 15 cm². Punctul M se află pe segmentul BC, astfel încât BC = 3 · BM. Aria triunghiului AMC este egală cu:

1. 5 cm²
2. 7,5 cm²
3. 10 cm²
4. 12,5 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul II, itemul 9

1. 8 cm
2. 16 cm
3. 18 cm
4. 32 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Pătratul și dreptunghiul (grile)

EN 2025, examen — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 3 · BC. Perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 32 cm. Aria dreptunghiului ABCD este egală cu:

1. 16 cm²
2. 32 cm²
3. 48 cm²
4. 64 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AC = 20 cm și O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Măsura unghiului AOB este egală cu 30°. Aria dreptunghiului ABCD este egală cu:

1. 20 cm²
2. 25 cm²
3. 100 cm²
4. 200 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Paralelogram, romb, trapez și alte patrulatere (grile)

EN 2026, examen — Subiectul II, itemul 10

Paralelogramul ABCD are diagonala BD perpendiculară pe latura BC și BD · BC = 12 cm². Aria paralelogramului ABCD este egală cu:

1. 6 cm²
2. 12 cm²
3. 18 cm²
4. 24 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul II, itemul 10

1. 6√2 cm²
2. 12√2 cm²
3. 18√2 cm²
4. 24√2 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu AB = 10 cm și BC = 6 cm. Perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu:

1. 16 cm
2. 24 cm
3. 32 cm
4. 40 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul II, itemul 10

1. 1/4
2. 1/2
3. 2/3
4. 3/4

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Cercul și discul: lungime și arie (grile)

Simulare EN 2025 — Subiectul II, itemul 11

Într-un cerc de centru O, coarda AB = 12 cm și unghiul la centru AOB = 60°. Aria discului este:

1. 288π cm²
2. 144π cm²
3. 36π cm²
4. 24π cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A și B aparțin cercului, astfel încât măsura unghiului AOB este de 60° și AB = 10 cm. Lungimea cercului este egală cu:

1. $10\pi$ cm
2. $20\pi$ cm
3. $100\pi$ cm
4. $200\pi$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul II, itemul 11

1. 3π cm
2. 4π cm
3. 6π cm
4. 12π cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Aria unui triunghi în sistemul de axe xOy (Subiectul III, problema 3)

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x-6$. a) Arată că $f(3)\cdot f(2025)=0$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină aria triunghiului ABM, unde punctul M este simetricul punctului A față de punctul O.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x-1$. a) Arată că $f(0)+f(1)=-1$. b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul C este mijlocul segmentului AB, calculează aria triunghiului OBC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Probleme de arii și perimetre din Subiectul III

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

Paralelogramul ABCD are AB = 10 cm și AD = 8 cm. Punctele M, N și T sunt mijloacele segmentelor BC, CD, respectiv AB, iar Q este punctul de intersecție a dreptelor BN și AM. a) Calculează perimetrul patrulaterului ATND. b) Calculează valoarea raportului $\frac{AQ}{QM}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AC, punctul P este proiecția punctului M pe dreapta BC și punctul Q este proiecția punctului P pe dreapta AB. a) Arată că PC = 2 cm. b) Determină aria triunghiului MPQ.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât AB este diametru. Dreptele CD și AB sunt paralele, semidreapta AC este bisectoarea unghiului BAD și $CD=16$ cm. a) Arată că $AD=16$ cm. b) Calculează aria patrulaterului ABCD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu $AB=15$ cm. Punctul M aparține segmentului AB, astfel încât $AM=AD=\frac{2}{3}AB$. a) Arată că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 50 cm. b) Știind că distanța de la punctul D la dreapta AB este egală cu 8 cm și că dreapta DM intersectează dreapta BC în punctul N, calculează aria triunghiului NCD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral ACE, astfel încât punctele D și E sunt situate de aceeași parte a dreptei AC. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu 48 cm. a) Arată că perimetrul triunghiului ACE este egal cu $36\sqrt{2}$ cm. b) Arată că distanța de la punctul D la dreapta AE este egală cu $3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ DC, m(∢DAB) = 90°, AB = 8 cm și AD = DC = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului DC și P este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD. a) Arată că $BC=4\sqrt{2}$ cm. b) Calculează aria patrulaterului MPBC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 6 cm. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și punctul M este simetricul punctului A față de punctul G. a) Arată că măsura unghiului ACM este egală cu 90°. b) Bisectoarea unghiului AMC intersectează dreapta AC în punctul T. Arată că aria patrulaterului ABMT este egală cu $10\sqrt{3}$ cm².

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AD și punctul N este proiecția punctului B pe dreapta CM. a) Arată că aria triunghiului MBC este egală cu 50 cm². b) Arată că perimetrul triunghiului MAN este mai mic decât 22 cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 9 cm și AC = 12 cm. Punctul M se află pe latura AB, BM = 3 cm. Paralela prin M la dreapta AC intersectează dreapta BC în punctul P, punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și E este punctul de intersecție a dreptelor AG și BC. a) Arată că lungimea segmentului BC este egală cu 15 cm. b) Calculează aria patrulaterului MGEP.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu $AB=12$ cm și $BC=6$ cm. Bisectoarea unghiului BCD intersectează latura AB în punctul E și diagonala BD în punctul F. a) Arată că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 36 cm. b) Calculează lungimea segmentului AF.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care CD este diametru. Punctul B aparține cercului astfel încât dreptele BO și CD sunt perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și BO se intersectează în punctul N, DN = 2 · MN și MN = 4 cm. a) Arată că măsura unghiului CMD este egală cu 90°. b) Calculează aria triunghiului DON.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu AB = 15 cm. Punctul P aparține laturii AB, astfel încât PB = 2AP și O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Arată că lungimea segmentului AP este egală cu 5 cm. b) Determină raportul dintre aria triunghiului ANP și aria triunghiului DNO, unde N este punctul de intersecție a dreptelor AC și DP.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB = 12 cm și BC = 9 cm. Punctul E aparține segmentului AC, astfel încât AE = 10 cm. Prin E se duc dreptele QN și PM paralele cu dreptele AB, respectiv BC. Punctele M, N, P și Q aparțin segmentelor AB, BC, CD și respectiv AD. a) Arată că AC = 15 cm. b) Arată că aria patrulaterului AMEQ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului CNEP.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în B, cu $AB=2\sqrt{2}$ cm, $BC=2\sqrt{6}$ cm și triunghiul dreptunghic isoscel AEB cu AE = EB. Punctele E și C sunt de aceeași parte a dreptei AB. a) Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu $2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})$ cm. b) Calculează distanța de la punctul E la dreapta AC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu $AB=9\sqrt{10}$ cm și AC = 30 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar punctul M este mijlocul segmentului CD. Dreptele BC și AM se intersectează în punctul E, iar dreptele OE și CD se intersectează în punctul P. a) Arată că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 270 cm². b) Arată că lungimea segmentului SP este egală cu 10 cm, unde S este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale ABC și CDE, cu AB = 8 cm, CD = 4 cm, iar punctele B, C și D sunt coliniare, în această ordine. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv DE. a) Arată că $CM=2\cdot CN$. b) Aria triunghiului MCN reprezintă p% din aria triunghiului ACD. Determină valoarea lui p.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu BC = 10 cm, AC = 20 cm și măsura unghiului ACB este egală cu 30°. Punctul D aparține segmentului AC, astfel încât unghiul DBC este congruent cu unghiul BAC. a) Arată că aria triunghiului ABC este egală cu 50 cm². b) Calculează lungimea segmentului CD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu AB ∥ CD, AB = 6 cm și CD = 4 cm. Punctele R, S și T sunt mijloacele laturilor AD, AB, respectiv BC. a) Arată că lungimea segmentului RT este egală cu 5 cm. b) Arată că aria patrulaterului DRST este egală cu jumătate din aria trapezului ABCD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C, D și E astfel încât AB = 4 cm, AC = 8 cm, AD = 10 cm și AE = 20 cm. Măsura unghiului BAC este egală cu măsura unghiului DAE și m(∢CAD) = 30°. a) Arată că aria triunghiului CAD este egală cu 20 cm². b) Demonstrează că CE = 2BD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, AG = 4 cm, BG = 3 cm și dreptele AG și BG sunt perpendiculare. a) Arată că perimetrul triunghiului ABG este egal cu 12 cm. b) Determină lungimea segmentului BC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 3 cm și înălțimea AD, unde punctul D se află pe latura BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM = 1 cm. Paralela prin punctul M la dreapta AC intersectează dreapta AD în punctul Q și dreapta BC în punctul P. a) Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6 cm. b) Determină lungimea segmentului PQ.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD cu $AB\parallel CD$, AD = BC = 6 cm și AB = 2CD = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB. a) Arată că perimetrul triunghiului ADM este egal cu 16 cm. b) Știind că punctul N aparține segmentului DM astfel încât DN = 4 cm și punctul P este centrul de greutate al triunghiului BCD, demonstrează că dreptele NP și AC sunt paralele.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte grile în care se dă aria sau perimetrul

EN 2023, examen — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu perimetrul egal cu 40 cm. Lungimea segmentului AC este egală cu:

1. 10 cm
2. $10\sqrt{2}$ cm
3. $10\sqrt{3}$ cm
4. 20 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Greșeli frecvente

• Confunzi aria cu perimetrul sau scrii unitatea greșită: perimetrul se dă în cm, aria în cm².
• Uiți împărțirea la 2 la aria triunghiului, a rombului ($\frac{d_1{d}_2}{2}$) sau a trapezului.
• Iei ca înălțime o latură oblică: înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe bază (la paralelogram, $\mathcal{A}=b\cdot h$, nu produsul laturilor).
• La pătrat folosești diagonala ca latură: dacă diagonala este $d$, latura este $\frac{d}{\sqrt{2}}$ și aria $\frac{d^2}{2}$.
• Confunzi lungimea cercului ($2\pi r$) cu aria discului ($\pi r^2$) sau folosești diametrul în loc de rază.

Alte capitole de Evaluare Națională: Geometrie în spațiu la EN · Ecuații la EN · Funcții la EN · Geometrie plană la EN · Calcul și procente la EN · Numere reale la EN · Rapoarte și proporții la EN · Sisteme de ecuații la EN · Statistică la EN · Pitagora la EN.

Întrebări frecvente

Ce arii trebuie să știu pentru Evaluarea Națională? Aria triunghiului (oarecare, dreptunghic, echilateral), a pătratului, dreptunghiului, paralelogramului, rombului și trapezului, plus lungimea cercului și aria discului. La Subiectul al III-lea apar des arii de figuri compuse, calculate prin sumă sau diferență de arii mai simple.

Cum aflu aria unui triunghi dacă nu știu înălțimea? Calculezi înălțimea din alt triunghi, de obicei cu teorema lui Pitagora sau cu proprietăți ale triunghiului dreptunghic (cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză). Alternativ, dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, folosești formula cu sinusul: A = AB · AC · sin A / 2.

Cum calculez perimetrul unui dreptunghi dacă știu aria și o latură? Afli cealaltă latură împărțind aria la latura cunoscută, apoi aduni: P = 2(L + l). De exemplu, pentru aria 48 cm² și lungimea 12 cm, lățimea este 4 cm, iar perimetrul este 2 · (12 + 4) = 32 cm.

← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.