Funcția liniară la Evaluarea Națională — probleme rezolvate (grafic, axe)

La Evaluarea Națională, funcția liniară $f(x)=ax+b$ apare la Subiectul al III-lea, problema 3 (5 puncte): la a) se calculează valori ale funcției sau se rezolvă o ecuație cu $f(x)$, iar la b) se lucrează cu graficul — punctele de intersecție cu axele $Ox$ și $Oy$, distanța de la un punct la dreaptă, aria unui triunghi sau un unghi. Aici sunt toți cei 34 de itemi cu funcții și sistem de axe din 33 de variante oficiale rezolvate pe site (2021–2027), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Valoarea funcției: $f(m)$ se obține înlocuind $x$ cu $m$ în formula funcției; de exemplu, pentru $f(x)=3x-6$, $f(1)=-3$ — funcții, noțiuni introductive.
• Graficul funcției $f(x)=ax+b$ este o dreaptă. Punctul $M(m,n)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f(m)=n$ — funcția de gradul I.
• Intersecția cu axele: cu $Oy$ — punctul $B(0,b)$, pentru că $f(0)=b$; cu $Ox$ — rezolvi $f(x)=0$ și obții $A(-{\displaystyle \frac{b}{a}},0)$.
• Triunghiul $AOB$ format de grafic cu axele este dreptunghic în $O$: $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{OA\cdot OB}{2}}$, $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}$, iar distanța de la $O$ la dreapta $AB$ este $d={\displaystyle \frac{OA\cdot OB}{AB}}$ (înălțimea corespunzătoare ipotenuzei).
• Distanța dintre două puncte: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; mijlocul segmentului are coordonatele $({\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}})$ — coordonate în plan.

Exersează cu fișa de lucru cu funcția liniară (clasa a VIII-a); ecuația unei drepte prin două puncte o poți verifica cu calculatorul ecuația dreptei.

Ce tipuri de cerințe apar

Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate în fiecare grupă de la cele mai noi la cele mai vechi. Rezolvă singur întâi, apoi deschide rezolvarea completă (acolo este marcat și răspunsul corect).

Funcția liniară: valori, grafic, intersecția cu axele (Subiectul III, problema 3)

Model EN 2027 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x-2$. a) Arată că $f(0)+f(2)=-2$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Știind că punctele A, B și $C(2a,a-3)$ sunt coliniare, unde $a$ este număr real, arată că ${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}AOC}=2\cdot {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}AOB}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=3x-6$. a) Arată că $f(1)+f(3)=0$. b) Graficul funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy în punctele A, respectiv B. Calculează lungimea segmentului OM, știind că M este mijlocul segmentului AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{3}{2}x+3$. a) Arată că $f(-1)+f(1)=6$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Arată că distanța de la punctul C(2, 3) la dreapta AB este egală cu $\frac{6\sqrt{13}}{13}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 3

În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(10,4)$. a) Arată că $AB=4\sqrt{5}$. b) Determină coordonatele punctului M, situat pe axa Ox, aflat la distanțe egale față de punctele A și B.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x+4$. a) Arată că $f(2)+f(-2)=8$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Arată că unghiurile BAM și MBA sunt congruente, știind că $M(3,0)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x-4$. a) Arată că $f(2)-f(0)=4$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Punctul C este simetricul punctului A față de axa Oy. Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu $4(\sqrt{5}+1)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2-x$. a) Arată că $f(1)\cdot f(0)=2$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul C(0, −4) la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 3

În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(6,3)$. a) Arată că AB = 5. b) Calculează distanța de la punctul $M(5,0)$ la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x-6$. a) Arată că $f(3)\cdot f(2025)=0$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină aria triunghiului ABM, unde punctul M este simetricul punctului A față de punctul O.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x-1$. a) Arată că $f(0)+f(1)=0$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul $C(-\frac{1}{2},0)$ la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x+2$. a) Arată că $2\cdot f(1)=f(4)$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul M(4, 0) la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numărul natural $\overline{abc}$, cu $a$, $b$, $c$ cifre nenule, unde $a=5\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})-\frac{2}{3}:\frac{1}{3}$ și $b=(3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4):9^4-{25}^4:5^7$. a) Arată că $a=3$. b) Determină numărul $\overline{abc}$, știind că numerele $\overline{ac}$ și $\overline{cb}$ sunt direct proporționale cu numerele 4 și 3.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x+2$. a) Arată că $2023\cdot f(-2)=0$. b) Punctele A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ cu axele Ox, respectiv Oy, ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul M este mijlocul segmentului AB. Arată că punctele N, O și M sunt coliniare, unde $N(3,-3)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=-x+5$. a) Arată că $f(4)+f(6)=0$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Calculează distanța de la punctul $P(0,-3)$ la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{x}{3}-1$. a) Arată că $f(3)+f(9)=2$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele M, respectiv N. Calculează distanța de la punctul O la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numerele $$a={(-\frac{1}{3})}^{32}:{(-\frac{1}{3})}^{30}\cdot (-6{)}^2$$ și $$b=(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3})\cdot (0,5{)}^{-2}.$$ a) Arată că $a=4$. b) Calculează media aritmetică a numerelor $a$ și $b$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x+2$. a) Rezolvă ecuația $3\cdot f(x)=-4-2x$. b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul C este simetricul punctului A față de punctul B, determină coordonatele punctului C.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x-1$. a) Arată că $f(0)+f(1)=-1$. b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul C este mijlocul segmentului AB, calculează aria triunghiului OBC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Prețul unui obiect este 500 de lei. După o ieftinire cu 12% din prețul obiectului, urmată de o ieftinire cu $p\mathrm{\%}$ din noul preț, obiectul costă 330 de lei. a) Arată că, după prima ieftinire, obiectul costă 440 de lei. b) Determină numărul $p$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 1 de antrenament, EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numerele reale $x=\sqrt{144}+2\sqrt{18}-(\sqrt{3}{)}^2$ și $$y=(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2-\sqrt{72}+(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2-7.$$ a) Arată că $x=9+6\sqrt{2}$. b) Arată că produsul numerelor $x$ și $y$ este număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 2 de antrenament, EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x+4$. a) Arată că $f(-\frac{1}{2})-f\left(\frac{1}{2}\right)=-2$. b) Calculează distanța de la originea O(0, 0) a sistemului de axe ortogonale xOy la reprezentarea grafică a funcției $f$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 3 de antrenament, EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x-4$. a) Reprezintă grafic funcția $f$ în sistemul de axe ortogonale xOy. b) Determină mulțimea soluțiilor inecuației $1-f(a)\le f(4)$, unde $a$ este număr real.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 4 de antrenament, EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2-x$. a) Calculează $\frac{f(0)-f(2)}{2}$. b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, determină distanța dintre punctul C(−4, 0) și mijlocul segmentului AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 5 de antrenament, EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x+3$. a) Arată că $f(\sqrt{5})\cdot f(-\sqrt{5})=4$. b) Arată că simetricul punctului A(−3, −6) față de originea O(0, 0) a sistemului de axe ortogonale xOy aparține reprezentării grafice a funcției $f$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 6 de antrenament, EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=3x-6$. a) Calculează $f(2)\cdot f(3)$. b) În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctul M(m, 0) și punctele A și B care sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele Ox, respectiv Oy. Află valorile numărului $m$ pentru care aria triunghiului ABM este egală cu 6.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x-2$. a) Arată că $f(3)-f(-3)=6$. b) În sistemul de axe ortogonale xOy, determină distanța de la punctul $C(-2,0)$ la reprezentarea grafică a funcției $f$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numerele reale $a=(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}):\frac{31}{12}$ și $b=\frac{3}{\sqrt{2}}:(5\sqrt{2}-3a\sqrt{8})$. a) Arată că $a=\frac{1}{2}$. b) Arată că numărul $N=\frac{\sqrt{2a+4b}}{2}$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 1 de antrenament, EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numerele $$x=(\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}})\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}$$ și $$y=(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{147}}):\frac{\sqrt{3}}{14}.$$ a) Arată că $x=\frac{2}{3}$. b) Arată că suma numerelor $x$ și $y$ este număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 2 de antrenament, EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 3

Fie numerele $$a=\sqrt{175}-\sqrt{98}$$$$-\sqrt{63}+3\sqrt{50}$$ și $$b=\sqrt{28}-\sqrt{112}+\sqrt{162}$$$$+\sqrt{2}-\sqrt{8}.$$ a) Arată că $a=2\sqrt{7}+8\sqrt{2}$. b) Calculează media geometrică a numerelor $a$ și $b$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 3 de antrenament, EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numerele reale $$x=(\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{27}}+\frac{6}{\sqrt{108}})$$$$\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}$$ și $$y={\left(5^6\right)}^3\cdot {25}^3:{125}^8.$$ a) Arată că $x=5$. b) Arată că produsul numerelor $x$ și $y$ este un număr natural prim.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 4 de antrenament, EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numerele reale $$x=(\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}})\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}$$ și $$y=(\frac{5}{\sqrt{147}}-\frac{1}{\sqrt{3}}):\frac{\sqrt{3}}{14}.$$ a) Arată că $x=\frac{2}{3}$. b) Arată că numărul $N=|y-x|$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 5 de antrenament, EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numerele reale $a=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}):\frac{1}{2}$ și $b=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$. a) Arată că $a=\frac{16}{15}$. b) Arată că numărul $a$ este de 16 ori mai mare decât numărul $b$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Test 6 de antrenament, EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră numărul întreg $a=2^{2048}-{2048}^2$. a) Arată că la împărțirea numărului 2048 cu 64 câtul este egal cu $2^5$. b) Arată că numărul $a$ este un număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Puncte și drepte în sistemul de axe xOy (grile)

Test 3 de antrenament, EN 2021 — Subiectul II, itemul 7

Se consideră punctele A(1, 1) și B(1, 3), reprezentate într-un sistem de axe ortogonale xOy. Coordonatele punctului de intersecție a mediatoarei segmentului AB cu axa Oy sunt:

1. (0, 2)
2. (2, 0)
3. (1, 2)
4. (2, 1)

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Greșeli frecvente

• Inversezi coordonatele punctelor de intersecție: pe axa $Ox$ punctul are ordonata 0, deci $f(x)=0$; pe axa $Oy$ are abscisa 0, deci se calculează $f(0)$.
• Lungimile $OA$, $OB$ sunt distanțe, deci pozitive: pentru $A(-2,0)$, $OA=2$, nu $-2$.
• Calculezi distanța de la $O$ la dreaptă ca jumătate din ipotenuză; corect este produsul catetelor împărțit la ipotenuză.
• Reprezinți graficul printr-un singur punct; pentru o dreaptă ai nevoie de două puncte (de obicei cele de pe axe).

Alte capitole de Evaluare Națională: Ecuații și inecuații la EN · Geometrie plană la EN · Calcul, procente și probabilități la EN · Geometrie în spațiu la EN.

Întrebări frecvente

Ce se cere la problema cu funcția de la Evaluarea Națională? Se dă o funcție liniară f(x) = ax + b. La a) se calculează o sumă sau un produs de valori, de tipul f(1) + f(3), sau se rezolvă o ecuație cu f(x). La b) graficul intersectează axele în A și B și se cere o distanță, o arie, un unghi sau verificarea faptului că un punct aparține graficului.

Cum aflu punctele în care graficul intersectează axele? Pentru axa Oy calculezi f(0) și obții punctul (0, f(0)). Pentru axa Ox rezolvi ecuația f(x) = 0 și obții punctul (x, 0). De exemplu, pentru f(x) = 2x − 6: B(0, −6) și A(3, 0).

Cum calculez distanța de la originea O la graficul funcției? Graficul formează cu axele triunghiul dreptunghic AOB. Distanța de la O la dreapta AB este înălțimea din unghiul drept: d = OA · OB / AB, unde AB se află cu teorema lui Pitagora.

← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.