Aria triunghiului se poate calcula în mai multe moduri, în funcție de ce date ai în problemă: baza și înălțimea, cele trei laturi (formula lui Heron), două laturi și unghiul dintre ele (cu sinus), razele cercurilor înscris și circumscris sau coordonatele vârfurilor. Pagina adună toate formulele pentru aria triunghiului, cu cazurile speciale — triunghiul dreptunghic și triunghiul echilateral — care apar cel mai des la Evaluarea Națională, un tabel „ce știi → ce formulă folosești”, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.
Formula de bază: baza și înălțimea
\[ A = \dfrac{b \cdot h}{2} \]Aici \( b \) este o latură (baza), iar \( h \) este înălțimea corespunzătoare ei, adică perpendiculara dusă din vârful opus pe bază (sau pe prelungirea ei, la triunghiul obtuzunghic). Formula vine din faptul că triunghiul este jumătate dintr-un paralelogram cu aceeași bază și aceeași înălțime. Orice latură poate fi aleasă ca bază, cu condiția să folosești înălțimea corespunzătoare: \( A = \dfrac{a \cdot h_a}{2} = \dfrac{b \cdot h_b}{2} = \dfrac{c \cdot h_c}{2} \). Așa se calculează, de exemplu, înălțimea pe ipotenuză când știi aria.
Triunghiul dreptunghic
\[ A = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{2} \]În triunghiul dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una este baza și cealaltă înălțimea. Dacă \( c_1, c_2 \) sunt catetele și \( ip \) ipotenuza, aria se poate scrie și \( A = \dfrac{ip \cdot h}{2} \), unde \( h \) este înălțimea pe ipotenuză; egalând cele două expresii obții \( h = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{ip} \), o formulă foarte folosită la examen.
Triunghiul echilateral
\[ A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}, \qquad h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \]Înălțimea triunghiului echilateral cu latura \( l \) se obține din teorema lui Pitagora în jumătatea de triunghi: \( h^2 = l^2 - \dfrac{l^2}{4} = \dfrac{3l^2}{4} \). Înlocuind în formula de bază, \( A = \dfrac{l \cdot h}{2} = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \). Pentru hexagonul regulat, aria este de 6 ori aria acestui triunghi: \( \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2} \).
Formula lui Heron
\[ A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p = \dfrac{a+b+c}{2} \]Formula lui Heron calculează aria direct din cele trei laturi, fără înălțime. Numărul \( p \) este semiperimetrul. Este formula potrivită când triunghiul este „oarecare” și nu cunoști niciun unghi. Exemplu clasic: triunghiul cu laturile 13, 14, 15 are \( p = 21 \) și \( A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \).
Formula cu sinus
\[ A = \dfrac{a \cdot b \cdot \sin C}{2} \]Dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, înălțimea pe una dintre laturi este \( h = b \sin C \), de unde rezultă formula. Se scrie la fel pentru orice pereche de laturi: \( A = \dfrac{bc\sin A}{2} = \dfrac{ac\sin B}{2} \). Valorile uzuale: \( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \), \( \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin 90^\circ = 1 \). Formula se combină natural cu teorema sinusului.
Formulele cu razele cercurilor
\[ A = r \cdot p, \qquad A = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} \]Aici \( r \) este raza cercului înscris, \( R \) raza cercului circumscris, iar \( p \) semiperimetrul. Prima formulă se obține împărțind triunghiul în trei triunghiuri cu vârful în centrul cercului înscris, fiecare având înălțimea \( r \). A doua rezultă din formula cu sinus și teorema sinusului (\( \dfrac{c}{\sin C} = 2R \)). Ambele sunt utile invers: pentru a afla \( r = \dfrac{A}{p} \) sau \( R = \dfrac{abc}{4A} \) după ce ai calculat aria cu Heron. Pentru înălțimi, mediane și apoteme vezi și arii, înălțime și apotemă.
Formula cu coordonate (determinant)
Dacă vârfurile sunt \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \), atunci
\[ A = \dfrac{1}{2}\,\big| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \big| = \dfrac{|\Delta|}{2}, \quad \Delta = \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} \]Formula este specifică liceului (geometrie analitică); modulul asigură un rezultat pozitiv, iar \( \Delta = 0 \) înseamnă că punctele sunt coliniare. Detalii și exemple pe pagina distanțe și arii în coordonate.
Care formulă când?
| Ce știi | Ce formulă folosești |
|---|---|
| o latură și înălțimea corespunzătoare | \( A = \dfrac{b \cdot h}{2} \) |
| cele două catete (triunghi dreptunghic) | \( A = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{2} \) |
| latura triunghiului echilateral | \( A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \) |
| cele trei laturi | Heron: \( A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) |
| două laturi și unghiul dintre ele | \( A = \dfrac{ab\sin C}{2} \) |
| laturile și raza cercului înscris | \( A = r \cdot p \) |
| laturile și raza cercului circumscris | \( A = \dfrac{abc}{4R} \) |
| coordonatele vârfurilor | \( A = \dfrac{|\Delta|}{2} \) |
Greșeli frecvente
- Înălțime greșită: înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe baza aleasă; nu folosi o latură oarecare ca înălțime (decât în triunghiul dreptunghic, pentru catete).
- Uiți împărțirea la 2 — \( b \cdot h \) este aria paralelogramului, nu a triunghiului.
- Unghiul greșit la formula cu sinus: unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi folosite.
- Heron cu perimetrul în loc de semiperimetru: \( p \) este jumătate din perimetru.
- Radicalul la triunghiul echilateral: \( \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \), nu \( \dfrac{l\sqrt{3}}{4} \) și nu \( \dfrac{l^2\sqrt{3}}{2} \) (aceasta din urmă este înălțimea înmulțită cu latura).
Întrebări frecvente
Care este formula ariei triunghiului? Formula generală este \( A = \dfrac{b \cdot h}{2} \): baza înmulțită cu înălțimea, împărțit la 2. În triunghiul dreptunghic devine \( \dfrac{c_1 c_2}{2} \), iar în cel echilateral \( \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \).
Cum calculez aria triunghiului fără înălțime? Dacă știi cele trei laturi, folosești formula lui Heron \( A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \); dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, \( A = \dfrac{ab\sin C}{2} \); dacă ai coordonatele vârfurilor, formula cu determinant. Alternativ, calculezi mai întâi înălțimea cu teorema lui Pitagora sau cu funcții trigonometrice.
Care este aria triunghiului echilateral cu latura 6? \( A = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59 \) unități pătrate. Înălțimea lui este \( 3\sqrt{3} \).
Pagini conexe: toate formulele de arii și volume, cercul – lungime și arie, triunghiul dreptunghic.