Radicali — proprietăți și raționalizare

Formule

Radicalul de ordinul 2 (rădăcina pătrată) al unui număr a ≥ 0 este numărul nenegativ x cu proprietatea x² = a. Se notează $\sqrt{a}$ . Radicalii apar constant la Evaluarea Națională: calcule cu numere iraționale, geometrie (diagonale, apoteme) și ecuații.

Proprietăți fundamentale

Pentru a, b ≥ 0:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (b > 0)

$\sqrt{a^{2}} = | a |$ — atenție la modul pentru numere negative!

${(\sqrt{a})}^{2} = a$

Extragerea factorilor de sub radical

$\sqrt{a^{2} \cdot b} = a \sqrt{b}$ pentru a ≥ 0. Exemplu: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}$ .

Raționalizarea numitorului

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$ — amplificăm cu $\sqrt{a}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b}$ — amplificăm cu conjugata.

Întrebări frecvente

√(a+b) este egal cu √a + √b? Nu! Radicalul nu se distribuie la adunare: √(9+16) = √25 = 5, dar √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Cum compar doi radicali? Îi aduci sub aceeași formă: compari numerele de sub radical după ce introduci factorii sub radical. Exemplu: 3√2 = √18 și 2√5 = √20, deci 2√5 > 3√2.

Exersează: fișă de lucru printabilă — radicali, clasa a 7-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Calculează rapid: calculator radicali — scoaterea factorilor de sub radical, operații și raționalizarea numitorului cu conjugata, pas cu pas.

Exersează: fișă de lucru printabilă — radicali de ordin n și ecuații iraționale, clasa a 10-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Pentru orice număr real $a$ , $\sqrt{a^{2}}$ este egal cu:

$a$
$| a |$
$- a$

Calculează $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ .

$2 \sqrt{2}$
$\sqrt{32}$
$8 \sqrt{2}$

Cât este $\sqrt{9 + 16}$ ?

$7$
$25$
$5$

Exemple

Exemple rezolvate

Problemă (model Evaluare Națională): Arătați că numărul $n = \sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$ este natural... sau calculați valoarea lui $n = (\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{2})^{2}$ .

Rezolvare: $\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}, \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}, \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .
Atunci $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8} = (5 - 3 + 2) \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →