Rapoarte și proporții, procente — proprietatea fundamentală, proporții derivate, exemple rezolvate

Raportul a două numere $a$ și $b$ (cu $b\ne 0$) este câtul ${\displaystyle \frac{a}{b}}$. O proporție este egalitatea a două rapoarte, ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$, iar proprietatea ei fundamentală spune că produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a\cdot d=b\cdot c$. Procentul este un raport cu numitorul 100: $p\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{p}{100}}$.

Raportul a două numere

Raportul numerelor $a$ și $b$, $b\ne 0$, se notează $a:b$ sau ${\displaystyle \frac{a}{b}}$; $a$ și $b$ sunt termenii raportului. Valoarea raportului nu se schimbă dacă amplificăm sau simplificăm ambii termeni cu același număr nenul:

Raportul a două mărimi de același fel se calculează numai după ce ambele sunt exprimate în aceeași unitate de măsură: raportul dintre 40 cm și 2 m este ${\displaystyle \frac{40}{200}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$, nu ${\displaystyle \frac{40}{2}}$. Raportul invers al lui ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ este ${\displaystyle \frac{b}{a}}$ (pentru $a\ne 0$).

Procentul ca raport

Un raport cu numitorul 100 se numește raport procentual sau procent. Formulele de bază:

De exemplu, raportul ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{75}{100}}=75\mathrm{\%}$. Creșterile și scăderile procentuale, scumpirile succesive, dobânda și TVA sunt tratate pe larg în pagina Matematici financiare — procente, dobândă, TVA, iar problemele rezolvate „pe trei rânduri” în Regula de trei simplă.

Proporția și proprietatea fundamentală

În proporția ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ (sau $a:b=c:d$), $a$ și $d$ sunt extremii, iar $b$ și $c$ sunt mezii. Toți numitorii sunt nenuli.

Aflarea unui termen necunoscut. Un extrem este egal cu produsul mezilor împărțit la celălalt extrem; un mez este egal cu produsul extremilor împărțit la celălalt mez:

Media proporțională (geometrică). În proporția ${\displaystyle \frac{a}{x}}={\displaystyle \frac{x}{b}}$ cu mezii egali, $x^2=ab$, deci $x=\sqrt{ab}$ pentru $a,b>0$. Detalii în pagina Medii.

Proporții derivate

Dintr-o proporție ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ (termeni nenuli) se obțin alte proporții adevărate, numite proporții derivate.

Metoda cea mai sigură pentru calcule cu proporții: notăm valoarea comună cu $k$. Din ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}=k$ rezultă $a=bk,c=dk$ și înlocuim.

Șir de rapoarte egale

Dacă ${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}={\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}=\cdots ={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}=k$, atunci raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor are aceeași valoare:

Mărimi direct și invers proporționale

Numerele $a,b,c$ sunt direct proporționale cu $x,y,z$ dacă ${\displaystyle \frac{a}{x}}={\displaystyle \frac{b}{y}}={\displaystyle \frac{c}{z}}=k$: când o mărime crește de un număr de ori, cealaltă crește de același număr de ori (prețul și cantitatea, distanța și timpul la viteză constantă).

Numerele $a,b,c$ sunt invers proporționale cu $x,y,z$ dacă $a\cdot x=b\cdot y=c\cdot z=k$, echivalent ${\displaystyle \frac{a}{1/x}}={\displaystyle \frac{b}{1/y}}={\displaystyle \frac{c}{1/z}}$: când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori (numărul de muncitori și timpul de lucru, viteza și timpul pe aceeași distanță).

Împărțirea unui număr în părți proporționale

Pentru a împărți $N$ în părți direct proporționale cu $x,y,z$: $a=kx,b=ky,c=kz$, iar $k={\displaystyle \frac{N}{x+y+z}}$. Pentru părți invers proporționale cu $x,y,z$: $a={\displaystyle \frac{k}{x}},b={\displaystyle \frac{k}{y}},c={\displaystyle \frac{k}{z}}$, iar $k$ se află din ${\displaystyle \frac{k}{x}}+{\displaystyle \frac{k}{y}}+{\displaystyle \frac{k}{z}}=N$.

Scara unui plan sau a unei hărți

Scara este raportul dintre distanța din desen și distanța reală, exprimate în aceeași unitate:

La scara 1 : 100 000, 1 cm pe hartă înseamnă 100 000 cm = 1 km în realitate. Rapoartele de segmente apar și în geometrie, la teorema lui Thales și asemănare.

Greșeli frecvente

• Calcularea raportului a două mărimi exprimate în unități diferite (cm și m, minute și ore) fără transformare prealabilă.
• Confuzia dintre extremi și mezi: în ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ se înmulțește „în cruce”: $a\cdot d=b\cdot c$, nu $a\cdot c=b\cdot d$.
• Adunarea rapoartelor termen cu termen: ${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{c}{d}}\ne {\displaystyle \frac{a+c}{b+d}}$ (egalitatea ${\displaystyle \frac{a+c}{b+d}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ e valabilă doar când rapoartele sunt egale).
• La împărțirea în părți invers proporționale cu 2, 3, 4 se folosesc rapoartele cu $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$, nu chiar numerele 2, 3, 4.
• Considerarea a două mărimi drept direct proporționale doar pentru că „amândouă cresc”: trebuie ca raportul lor să fie constant.

Întrebări frecvente

Care este proprietatea fundamentală a proporțiilor? Într-o proporție ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a\cdot d=b\cdot c$. Reciproc, dacă $ad=bc$ cu $b,d\ne 0$, atunci rapoartele sunt egale.

Cum îmi dau seama dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale? Dacă raportul lor rămâne constant (dublezi una, se dublează și cealaltă), sunt direct proporționale. Dacă produsul lor rămâne constant (dublezi una, cealaltă se înjumătățește), sunt invers proporționale.

Cum calculez ce procent reprezintă un număr din altul? Faci raportul celor două numere și îl înmulțești cu 100: $12$ din $48$ reprezintă ${\displaystyle \frac{12}{48}}\cdot 100=25\mathrm{\%}$. Dacă știi că $20\mathrm{\%}$ dintr-un număr este 30, numărul este $30:0,2=150$.

Calculează rapid: calculator procente — p% din N, ce procent reprezintă, reduceri, scumpiri și TVA, cu toți pașii.

Calculează rapid: calculator regula de trei simplă — mărimi direct și invers proporționale, cu schema și proporția explicate.

Exersează: fișă de lucru printabilă — rapoarte, proporții și procente, clasa a 6-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Vezi și: dobânda simplă și dobânda compusă — aplicații ale procentelor, cu exemple rezolvate.