Patrulatere: proprietăți paralelogram, romb, trapez

Q: Care este suma unghiurilor unui patrulater?

Pentru orice patrulater convex, A + B + C + D = 360^ , pentru că o diagonală îl împarte în două triunghiuri cu câte 180^ .

Formule

Un patrulater convex are suma unghiurilor egală cu $360^{\circ}$ . Paralelogramul are laturile opuse paralele și congruente, unghiurile opuse congruente și diagonalele care se înjumătățesc; dreptunghiul are în plus diagonalele congruente, rombul diagonalele perpendiculare, iar pătratul le are pe toate. Trapezul are exact o pereche de laturi paralele, iar linia lui mijlocie este $ℓ_{m} = \frac{B + b}{2}$ .

Patrulaterul convex — suma unghiurilor

Un patrulater $A B C D$ este convex dacă, pentru fiecare latură, celelalte două vârfuri sunt de aceeași parte a dreptei care o conține (echivalent: diagonalele se intersectează în interior). Diagonala $A C$ îl împarte în două triunghiuri, fiecare cu suma unghiurilor $180^{\circ}$ , deci:

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{\circ}

Și suma unghiurilor exterioare (câte unul în fiecare vârf) este $360^{\circ}$ . Noțiunile de bază (unghiuri, drepte paralele, unghiuri alterne interne) sunt la elemente de geometrie.

Paralelogramul — proprietăți

Definiție: paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele două câte două ( $A B ∥ C D$ , $A D ∥ B C$ ). Într-un paralelogram:

laturile opuse sunt congruente: $A B = C D$ , $A D = B C$ ;
unghiurile opuse sunt congruente: $\hat{A} \equiv \hat{C}$ , $\hat{B} \equiv \hat{D}$ ;
unghiurile alăturate sunt suplementare: $\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ}$ ;
diagonalele se înjumătățesc: punctul lor de intersecție $O$ este mijlocul fiecăreia (centrul de simetrie).

Criterii de recunoaștere a paralelogramului

Un patrulater convex este paralelogram dacă îndeplinește una dintre condițiile:

laturile opuse sunt paralele două câte două (definiția);
laturile opuse sunt congruente două câte două;
două laturi opuse sunt paralele și congruente;
unghiurile opuse sunt congruente două câte două;
diagonalele au același mijloc (se înjumătățesc).

Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept. Criteriu: un paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi. Rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente. Criterii: un paralelogram cu diagonalele perpendiculare sau cu o diagonală bisectoare a unui unghi este romb. Pătratul este dreptunghiul care este și romb.

Figura	Laturi	Unghiuri	Diagonale
Paralelogram	opuse paralele și congruente	opuse congruente, alăturate suplementare	se înjumătățesc
Dreptunghi	opuse paralele și congruente	toate de $90^{\circ}$	se înjumătățesc și sunt congruente
Romb	toate congruente, opuse paralele	opuse congruente, alăturate suplementare	se înjumătățesc, sunt perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor
Pătrat	toate congruente, opuse paralele	toate de $90^{\circ}$	se înjumătățesc, congruente, perpendiculare, bisectoare

Formule pentru diagonale, obținute cu teorema lui Pitagora:

d_{dreptunghi} = \sqrt{L^{2} + l^{2}}, d_{pătrat} = l \sqrt{2}, l_{romb}^{2} = {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2}

Într-un dreptunghi, punctul de intersecție al diagonalelor este egal depărtat de cele patru vârfuri: $O A = O B = O C = O D = \frac{d}{2}$ .

Trapezul

Trapezul este patrulaterul cu exact două laturi paralele, numite baze ( $B$ — baza mare, $b$ — baza mică); celelalte două sunt laturile neparalele. Unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare ( $\hat{A} + \hat{D} = 180^{\circ}$ când $A B ∥ C D$ ).

Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente. Proprietăți: unghiurile de la aceeași bază sunt congruente, diagonalele sunt congruente, are o axă de simetrie (perpendiculara comună pe mijloacele bazelor). Criterii: un trapez cu unghiurile de la o bază congruente sau cu diagonalele congruente este isoscel. Proiecția unei laturi neparalele pe baza mare este $\frac{B - b}{2}$ .
Trapezul dreptunghic are o latură neparalelă perpendiculară pe baze; acea latură este chiar înălțimea.

Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele, este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor. Diagonalele o taie, iar porțiunea dintre ele unește mijloacele diagonalelor:

ℓ_{m} = \frac{B + b}{2}, segmentul dintre mijloacele diagonalelor = \frac{B - b}{2}

Demonstrația folosește linia mijlocie în triunghi — vezi teorema lui Thales și asemănarea.

Perimetre și arii, pe scurt

Perimetrul este suma laturilor: paralelogram $P = 2 (a + b)$ , dreptunghi $P = 2 (L + l)$ , romb și pătrat $P = 4 l$ . Ariile de bază: paralelogram $b \cdot h$ , dreptunghi $L \cdot l$ , romb $\frac{d_{1} d_{2}}{2}$ , pătrat $l^{2}$ , trapez $\frac{(B + b) h}{2} = ℓ_{m} \cdot h$ . Toate formulele de arie, cu înălțimi și apoteme, sunt pe pagina arii figuri plane, înălțimi și apotema.

Greșeli frecvente

Diagonalele paralelogramului „congruente”: doar la dreptunghi (și pătrat); în paralelogramul oarecare ele doar se înjumătățesc.
Diagonalele rombului „congruente”: în romb diagonalele sunt perpendiculare, nu congruente (cu excepția pătratului).
Criteriul „două laturi opuse congruente” nu ajunge: trebuie ca aceleași două laturi să fie și paralele, altfel patrulaterul poate fi trapez isoscel.
Linia mijlocie a trapezului ca semidiferență: $ℓ_{m} = \frac{B + b}{2}$ ; $\frac{B - b}{2}$ este segmentul dintre mijloacele diagonalelor.
Latura rombului din diagonale: în Pitagora intră jumătățile diagonalelor, $\frac{d_{1}}{2}$ și $\frac{d_{2}}{2}$ , nu diagonalele întregi.

Întrebări frecvente

Care este suma unghiurilor unui patrulater? Pentru orice patrulater convex, $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{\circ}$ , pentru că o diagonală îl împarte în două triunghiuri cu câte $180^{\circ}$ .

Orice romb este pătrat? Nu. Rombul devine pătrat doar dacă are și un unghi drept (sau diagonalele congruente); invers, orice pătrat este în același timp romb, dreptunghi și paralelogram.

Cum demonstrez că un patrulater este paralelogram? Este suficientă una dintre condițiile: laturile opuse paralele, laturile opuse congruente, o pereche de laturi opuse paralele și congruente, unghiurile opuse congruente sau diagonalele care se înjumătățesc.

Exersează: fișă de lucru printabilă — patrulatere, clasa a 7-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este:

$180^{\circ}$
$360^{\circ}$
$540^{\circ}$

Un paralelogram are un unghi de $70^{\circ}$ . Un unghi alăturat lui are:

$70^{\circ}$
$20^{\circ}$
$110^{\circ}$

Un paralelogram cu diagonalele congruente este:

dreptunghi
romb
pătrat, obligatoriu

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — al patrulea unghi

Un patrulater convex are $\hat{A} = 80^{\circ}$ , $\hat{B} = 95^{\circ}$ , $\hat{C} = 110^{\circ}$ . Aflați $\hat{D}$ .

Rezolvare. $\hat{D} =$ $360^{\circ} - (80^{\circ} + 95^{\circ} + 110^{\circ}) =$ $360^{\circ} - 285^{\circ} = 75^{\circ}$ .

Exemplul 2 — unghiurile paralelogramului

În paralelogramul $A B C D$ , $\hat{A} = 2 \cdot \hat{B}$ . Aflați unghiurile.

Rezolvare. Unghiurile alăturate sunt suplementare: $\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ} \Rightarrow 3 \hat{B} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} = 60^{\circ}$ , $\hat{A} = 120^{\circ}$ . Unghiurile opuse sunt congruente: $\hat{C} = 120^{\circ}$ , $\hat{D} = 60^{\circ}$ .

Exemplul 3 — rombul din diagonale

Un romb are diagonalele $d_{1} = 12$ cm și $d_{2} = 16$ cm. Aflați latura, perimetrul, aria și înălțimea.

Rezolvare. Diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci formează patru triunghiuri dreptunghice cu catetele 6 cm și 8 cm: $l = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ cm. $P = 4 \cdot 10 = 40$ cm. $A = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ cm². Din $A = l \cdot h$ : $h = \frac{96}{10} = 9, 6$ cm.

Exemplul 4 — trapezul isoscel

Un trapez isoscel are bazele $B = 20$ cm, $b = 8$ cm și laturile neparalele de 10 cm. Aflați înălțimea, linia mijlocie și aria.

Rezolvare. Proiecția laturii neparalele pe baza mare: $\frac{B - b}{2} = \frac{20 - 8}{2} = 6$ cm. Din Pitagora: $h = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{64} = 8$ cm. $ℓ_{m} = \frac{20 + 8}{2} = 14$ cm, iar $A = ℓ_{m} \cdot h = 14 \cdot 8 = 112$ cm².

Exemplul 5 — diagonala dreptunghiului

Dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 12$ cm, $B C = 5$ cm, iar diagonalele se intersectează în $O$ . Aflați $A C$ și $O B$ .

Rezolvare. $A C = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13$ cm. Diagonalele dreptunghiului sunt congruente și se înjumătățesc, deci $O B = \frac{B D}{2} = \frac{13}{2} = 6, 5$ cm.

Exemplul 6 — trapezul dreptunghic

În trapezul dreptunghic $A B C D$ , $A B ∥ C D$ , $\hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ}$ , $A B = 15$ cm, $C D = 9$ cm, $A D = 8$ cm. Aflați $B C$ și perimetrul.

Rezolvare. Ducem $C E ⊥ A B$ , $E \in A B$ . $A E C D$ este dreptunghi, deci $C E = A D = 8$ cm și $A E = C D = 9$ cm, de unde $E B = 15 - 9 = 6$ cm. În $△ C E B$ : $B C = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ cm. Perimetrul: $15 + 10 + 9 + 8 = 42$ cm.

Exerciții

Exerciții propuse

Unghiurile unui patrulater convex sunt direct proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 6. Aflați măsurile lor.
Un paralelogram are perimetrul de 50 cm și o latură de 15 cm. Aflați celelalte laturi.
În paralelogramul $A B C D$ , $\hat{A} = 3 x + 10^{\circ}$ și $\hat{C} = 5 x - 30^{\circ}$ . Aflați $x$ și unghiurile paralelogramului.
Un pătrat are diagonala de $8 \sqrt{2}$ cm. Aflați latura, perimetrul și aria.
Un romb are latura de 13 cm și o diagonală de 24 cm. Aflați cealaltă diagonală și aria.
Un trapez isoscel are bazele de 16 cm și 6 cm, iar unghiurile ascuțite de $60^{\circ}$ . Aflați laturile neparalele, înălțimea și perimetrul.
Un trapez are bazele de 24 cm și 10 cm. Aflați linia mijlocie și segmentul care unește mijloacele diagonalelor.
În paralelogramul $A B C D$ , diagonalele se intersectează în $O$ , $A C = 18$ cm și $B D = 12$ cm. Aflați $A O$ și $B O$ . Poate fi $A B C D$ dreptunghi?

Răspunsuri

$360^{\circ} : 15 = 24^{\circ}$ : unghiurile sunt $48^{\circ}, 72^{\circ}, 96^{\circ}, 144^{\circ}$ .
Laturile: 15 cm, 10 cm, 15 cm, 10 cm.
Unghiurile opuse sunt congruente: $3 x + 10 = 5 x - 30 \Rightarrow x = 20$ ; $\hat{A} = \hat{C} = 70^{\circ}$ , $\hat{B} = \hat{D} = 110^{\circ}$ .
$l = 8$ cm, $P = 32$ cm, $A = 64$ cm².
Jumătățile: 12 cm și $\sqrt{169 - 144} = 5$ cm, deci $d_{2} = 10$ cm; $A = \frac{24 \cdot 10}{2} = 120$ cm².
Proiecția: 5 cm; latura neparalelă = 10 cm ( $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ ); $h = 5 \sqrt{3}$ cm; $P = 16 + 6 + 2 \cdot 10 = 42$ cm.
$ℓ_{m} = 17$ cm; segmentul = 7 cm.
$A O = 9$ cm, $B O = 6$ cm; nu poate fi dreptunghi, deoarece diagonalele nu sunt congruente.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Patrulatere — paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez: proprietăți, criterii, exemple rezolvate