Fracțiile apar în clasa a 5-a și rămân prezente până la Evaluarea Națională: operații cu fracții ordinare, simplificare, comparare, transformarea în fracții zecimale. Pe această pagină găsești toate regulile de calcul cu fracții (adunare, scădere, înmulțire, împărțire), explicate pas cu pas, cu formule, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.
Ce este o fracție
O fracție este un număr de forma \( \dfrac{a}{b} \), unde \( a \) se numește numărător, iar \( b \neq 0 \) se numește numitor. Numitorul arată în câte părți egale a fost împărțit întregul, iar numărătorul arată câte dintre aceste părți luăm. De exemplu, \( \dfrac{3}{4} \) înseamnă 3 părți din 4 părți egale. Linia de fracție înseamnă împărțire: \( \dfrac{a}{b} = a : b \), iar orice număr natural este o fracție cu numitorul 1: \( 5 = \dfrac{5}{1} \).
După relația dintre numărător și numitor, fracțiile se clasifică astfel:
- subunitare: numărătorul este mai mic decât numitorul, \( a < b \), deci fracția este mai mică decât 1 (exemplu: \( \dfrac{2}{5} \));
- echiunitare: numărătorul este egal cu numitorul, \( a = b \), deci fracția este egală cu 1 (exemplu: \( \dfrac{7}{7} \));
- supraunitare: numărătorul este mai mare decât numitorul, \( a > b \), deci fracția este mai mare decât 1 (exemplu: \( \dfrac{9}{4} \)).
Două fracții sunt echivalente dacă reprezintă același număr: \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{10} \). Fracții echivalente se obțin prin:
- amplificare — înmulțim numărătorul și numitorul cu același număr nenul: \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k} \);
- simplificare — împărțim numărătorul și numitorul la un divizor comun: \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{a : k}{b : k} \).
Simplificarea fracțiilor
A simplifica o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același divizor comun. Cea mai rapidă metodă este împărțirea la cel mai mare divizor comun (cmmdc) al celor două numere — vezi CMMDC și CMMMC. Fracția obținută, în care numărătorul și numitorul nu mai au niciun divizor comun în afară de 1, se numește fracție ireductibilă.
Exemplu: \( \dfrac{18}{24} \). Avem \( (18, 24) = 6 \), deci \( \dfrac{18}{24} = \dfrac{18 : 6}{24 : 6} = \dfrac{3}{4} \). Fracția \( \dfrac{3}{4} \) este ireductibilă.
Dacă nu vezi imediat cmmdc-ul, simplifică în mai mulți pași: \( \dfrac{18}{24} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} \) (prin 2, apoi prin 3). Criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9 și 10 te ajută să găsești rapid divizorii comuni — vezi Divizibilitate, numere prime și compuse.
Aducerea la același numitor
Pentru a aduna, a scădea sau a compara fracții cu numitori diferiți, le aducem mai întâi la un numitor comun. Cel mai convenabil numitor comun este cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al numitorilor. Pașii:
- Calculăm cmmmc-ul numitorilor.
- Pentru fiecare fracție, împărțim numitorul comun la numitorul ei și obținem factorul de amplificare.
- Amplificăm fiecare fracție cu factorul găsit.
Exemplu: \( \dfrac{5}{6} \) și \( \dfrac{3}{4} \). Avem \( [6, 4] = 12 \); \( 12 : 6 = 2 \) și \( 12 : 4 = 3 \), deci \( \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} \) și \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12} \).
Adunarea și scăderea fracțiilor
Același numitor: adunăm (sau scădem) numărătorii, iar numitorul se păstrează:
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}, \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \]Exemplu: \( \dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7} \); \( \dfrac{5}{9} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \).
Numitori diferiți: aducem fracțiile la același numitor (de preferat cmmmc), apoi adunăm numărătorii. Formula generală:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}, \qquad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d} \]Exemplu: \( \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{11}{12} \).
Formula generală funcționează întotdeauna, dar cu cmmmc obții numere mai mici: \( \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{10}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{19}{12} \), pe când cu formula ai fi obținut \( \dfrac{38}{24} \), pe care trebuie să o simplifici. La final, simplificăm întotdeauna rezultatul, dacă este posibil.
Înmulțirea fracțiilor
Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]Exemplu: \( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21} \). Înainte de a înmulți, este util să simplificăm „în cruce” un numărător cu un numitor. De exemplu, la \( \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8} \) simplificăm 4 cu 8 (prin 4) și 3 cu 9 (prin 3) și obținem \( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \).
Un număr natural se înmulțește doar cu numărătorul: \( 3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5} \). „O fracție dintr-un număr” înseamnă înmulțire: \( \dfrac{3}{4} \) din 20 este \( \dfrac{3}{4} \cdot 20 = 15 \).
Împărțirea fracțiilor
A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Inversa fracției \( \dfrac{c}{d} \) este \( \dfrac{d}{c} \) (se „răstoarnă” fracția):
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]Exemplu: \( \dfrac{3}{5} : \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{21}{10} \). Împărțirea la un număr natural: \( \dfrac{4}{9} : 2 = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{18} = \dfrac{2}{9} \).
Atenție: se inversează a doua fracție (împărțitorul), niciodată prima!
Compararea fracțiilor
- Același numitor: este mai mare fracția cu numărătorul mai mare: \( \dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8} \).
- Același numărător: este mai mare fracția cu numitorul mai mic (împărțim în mai puține părți, deci părțile sunt mai mari): \( \dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{7} \).
- Numitori și numărători diferiți: aducem la același numitor sau folosim produsele încrucișate: \( \dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d > b \cdot c \). Exemplu: \( \dfrac{5}{7} \) și \( \dfrac{7}{10} \): \( 5 \cdot 10 = 50 \) și \( 7 \cdot 7 = 49 \), deci \( \dfrac{5}{7} > \dfrac{7}{10} \).
- Comparare cu 1: fracțiile subunitare sunt mai mici decât 1, cele supraunitare sunt mai mari decât 1; deci \( \dfrac{7}{8} < \dfrac{9}{8} \) fără niciun calcul.
- Comparare cu \( \dfrac{1}{2} \): o fracție este mai mare decât \( \dfrac{1}{2} \) dacă dublul numărătorului depășește numitorul. Exemplu: \( \dfrac{5}{9} > \dfrac{1}{2} \) (pentru că \( 10 > 9 \)) și \( \dfrac{3}{7} < \dfrac{1}{2} \) (pentru că \( 6 < 7 \)), deci \( \dfrac{5}{9} > \dfrac{3}{7} \).
Fracții și numere mixte, fracții zecimale
O fracție supraunitară se poate scrie ca număr mixt (parte întreagă plus fracție subunitară): împărțim numărătorul la numitor; câtul este partea întreagă, iar restul este noul numărător. \( \dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{4} \), deoarece \( 11 = 4 \cdot 2 + 3 \). Invers (introducerea întregilor în fracție): \( 2\dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \dfrac{11}{4} \).
Fracție ordinară → fracție zecimală: împărțim numărătorul la numitor: \( \dfrac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75 \); \( \dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3) \) (fracție zecimală periodică). Dacă numitorul fracției ireductibile are doar factorii primi 2 și 5, fracția zecimală este finită; altfel este periodică.
Fracție zecimală → fracție ordinară: \( 0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4} \); \( 2{,}5 = \dfrac{25}{10} = \dfrac{5}{2} \). Pentru fracții periodice simple: \( 0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \), \( 0{,}(45) = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11} \); pentru cele periodice mixte: \( 0{,}2(3) = \dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{21}{90} = \dfrac{7}{30} \).
Procentele sunt tot fracții, cu numitorul 100: \( 25\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} \) — vezi Procente și Regula de trei simplă.
Puteri de fracții
Ridicăm la putere atât numărătorul, cât și numitorul:
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]Exemplu: \( \left( \dfrac{2}{3} \right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27} \). Puterea cu exponent negativ inversează fracția: \( \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4} \).
Ordinea operațiilor cu fracții
Se respectă aceeași ordine ca la numere naturale: mai întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile (în ordinea în care apar), apoi adunările și scăderile; parantezele au prioritate. Exemplu: \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \).
Greșeli frecvente
- Adunarea numitorilor: \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5} \). Corect: \( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6} \).
- Simplificarea „peste plus”: în \( \dfrac{2 + 6}{4} \) nu se poate simplifica 6 cu 4 separat; corect este \( \dfrac{8}{4} = 2 \). Se simplifică doar factori comuni ai întregului numărător și ai întregului numitor.
- Împărțire greșită: la \( \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} \) se inversează a doua fracție, nu prima, și nu se împart numărătorii la numărători și numitorii la numitori.
- Uitarea simplificării finale: rezultatul \( \dfrac{6}{8} \) trebuie scris \( \dfrac{3}{4} \).
- Numărul mixt tratat ca produs: \( 2\dfrac{1}{3} \) înseamnă \( 2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3} \), nu \( 2 \cdot \dfrac{1}{3} \).
Întrebări frecvente
Cum se adună fracții cu numitori diferiți? Se aduc la același numitor (cel mai mic multiplu comun al numitorilor), apoi se adună numărătorii și se păstrează numitorul comun. Exemplu: \( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12} \).
Cum se simplifică o fracție? Se împart numărătorul și numitorul la același divizor comun, de preferat la cmmdc-ul lor; fracția devine ireductibilă. Exemplu: \( \dfrac{20}{35} = \dfrac{20 : 5}{35 : 5} = \dfrac{4}{7} \).
Cum se împart două fracții? Prima fracție se înmulțește cu inversa celei de-a doua: \( \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \). Exemplu: \( \dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} \).
Aceste reguli apar constant în subiectele de la Evaluarea Națională, la itemii de calcul numeric.