Perpendiculara pe plan și teorema celor trei perpendiculare

Formule

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $α$ dacă este perpendiculară pe orice dreaptă conținută în $α$ . În practică se folosește criteriul: este suficient ca $d$ să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan. Teorema celor trei perpendiculare (T3⊥) permite apoi calculul distanței de la un punct la o dreaptă din plan.

Definiție și criteriu de perpendicularitate

d ⊥ α ⟺ d ⊥ a, \forall a \subset α .

Criteriul (teorema de perpendicularitate): dacă $d ⊥ a$ , $d ⊥ b$ , unde $a, b \subset α$ și $a \cap b = {O}$ , atunci $d ⊥ α$ . O singură dreaptă din plan nu este suficientă, iar cele două drepte nu pot fi paralele.

Punctul $O = d \cap α$ se numește piciorul perpendicularei.

Proprietăți

Printr-un punct trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat și un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată.
Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele: $a ⊥ α, b ⊥ α \Rightarrow a ∥ b$ .
Dacă $a ∥ b$ și $a ⊥ α$ , atunci $b ⊥ α$ .
Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.
Dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan, cele două plane sunt perpendiculare.

Distanța de la un punct la un plan

Dacă $A \notin α$ și $A O ⊥ α$ , $O \in α$ , atunci

d (A, α) = A O .

$O$ este proiecția lui $A$ pe plan, iar $A O$ este cel mai scurt segment care unește $A$ cu un punct al planului: pentru orice $M \in α$ , $A M^{2} = A O^{2} + O M^{2} \geq A O^{2}$ (teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $A O M$ ).

Teorema celor trei perpendiculare

A O ⊥ α

O B ⊥ g

⇒

A B ⊥ g

Fie $A O ⊥ α$ ( $O \in α$ ), $g \subset α$ o dreaptă care nu trece prin $O$ și $B \in g$ cu $O B ⊥ g$ . Atunci

A O ⊥ α, O B ⊥ g, g \subset α ⟹ A B ⊥ g .

Ideea demonstrației: $g ⊥ O B$ și $g ⊥ A O$ (căci $A O ⊥ α$ ), iar $O B$ și $A O$ sunt concurente, deci $g ⊥ (A O B)$ , de unde $g ⊥ A B$ .

Consecință: $d (A, g) = A B = \sqrt{A O^{2} + O B^{2}}$ . Aceasta este metoda standard pentru „distanța de la un punct la o dreaptă” în probleme de spațiu.

Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare

Reciproca 1: $A O ⊥ α, A B ⊥ g, B \in g \subset α ⟹ O B ⊥ g$ (proiecția perpendicularei este perpendiculară pe $g$ ).

Reciproca 2: $A B ⊥ g, O B ⊥ g, g \subset α, O \in α,$ $A O ⊥ O B ⟹ A O ⊥ α$ .

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Unghiul dintre o dreaptă $d$ (oblică pe $α$ , $d \cap α = {B}$ ) și planul $α$ este unghiul dintre $d$ și proiecția ei pe plan. Dacă $A \in d$ și $O$ este proiecția lui $A$ pe $α$ :

∢ (d, α) = ∢ A B O, \sin ∢ A B O = \frac{A O}{A B}, tg ∢ A B O = \frac{A O}{O B} .

Cazuri particulare: dacă $d ⊥ α$ , unghiul este $90^{\circ}$ ; dacă $d ∥ α$ sau $d \subset α$ , unghiul este $0^{\circ}$ .

Unghiul diedru și unghiul a două plane

Pentru două plane $α, β$ cu muchia comună $m$ , unghiul plan al diedrului se obține ducând, dintr-un punct $M \in m$ , câte o perpendiculară pe $m$ în fiecare plan. De obicei: dacă $A O ⊥ β$ și $O M ⊥ m$ , atunci prin T3⊥ $A M ⊥ m$ , deci

∢ (α, β) = ∢ A M O, tg ∢ A M O = \frac{A O}{O M} .

Exemplu clasic: unghiul dintre o față laterală și baza unei piramide regulate este unghiul dintre apotema piramidei și apotema bazei.

Greșeli frecvente

Demonstrarea perpendicularității pe plan folosind o singură dreaptă din plan sau două drepte paralele.
Aplicarea T3⊥ fără a verifica toate cele trei ipoteze (în special că $A O$ este perpendiculară pe plan, nu doar pe o dreaptă).
Confundarea unghiului dreaptă-plan cu unghiul dintre dreaptă și o dreaptă oarecare din plan — trebuie folosită proiecția.
Calculul unghiului diedru cu un unghi ale cărui laturi nu sunt ambele perpendiculare pe muchie.

Legături utile

Exersează pe cub, paralelipipedul dreptunghic și piramida regulată. Vezi și dreapta paralelă cu un plan și relațiile din triunghiul dreptunghic.

Întrebări frecvente

Câte perpendiculare pe un plan se pot duce printr-un punct? Una singură — indiferent dacă punctul aparține sau nu planului.

Este suficient ca dreapta să fie perpendiculară pe o singură dreaptă din plan? Nu. Trebuie două drepte concurente din plan; o singură dreaptă (sau două drepte paralele) nu garantează perpendicularitatea pe plan.

La ce folosește teorema celor trei perpendiculare? La găsirea perpendicularei dintr-un punct exterior pe o dreaptă din plan, deci la calculul distanței de la un punct la o dreaptă și la construcția unghiului plan al unui diedru.

Exersează: fișă de lucru printabilă — perpendicularitate și teorema celor trei perpendiculare, clasa a 8-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $α$ dacă este perpendiculară pe:

o dreaptă din $α$
două drepte paralele din $α$
două drepte concurente din $α$

$A B C D$ este pătrat cu latura 6 cm, iar $P A ⊥ (A B C)$ , $P A = 8$ cm. Distanța de la $P$ la dreapta $B C$ este:

8 cm
10 cm
14 cm

$P A ⊥ (A B C)$ , $P A = 6$ cm și $A B = 6 \sqrt{3}$ cm. Unghiul dintre dreapta $P B$ și planul $(A B C)$ are măsura:

$30^{\circ}$
$60^{\circ}$
$45^{\circ}$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — muchia cubului perpendiculară pe bază

În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ arătați că $A A^{'} ⊥ (A B C)$ .

$A A^{'} ⊥ A B$ deoarece $A A^{'} B^{'} B$ este pătrat; $A A^{'} ⊥ A D$ deoarece $A A^{'} D^{'} D$ este pătrat. Dreptele $A B$ și $A D$ sunt concurente în $A$ și incluse în $(A B C)$ , deci, conform criteriului, $A A^{'} ⊥ (A B C)$ .

Exemplul 2 — distanța de la un vârf al cubului la o diagonală a bazei

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $6$ cm. Calculați $d (A^{'}, B D)$ .

Fie $O = A C \cap B D$ . $A^{'} A ⊥ (A B C)$ , $A O ⊥ B D$ (diagonalele pătratului sunt perpendiculare), $B D \subset (A B C)$ ⇒ (T3⊥) $A^{'} O ⊥ B D$ , deci $d (A^{'}, B D) = A^{'} O$ .

$A O = \frac{A C}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$ , iar în $△ A^{'} A O$ dreptunghic: $A^{'} O = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6}$ cm.

Exemplul 3 — distanța de la un punct la o latură

Triunghiul $A B C$ este echilateral cu latura $6$ cm, $M A ⊥ (A B C)$ , $M A = 3$ cm. Calculați $d (M, B C)$ .

Fie $D$ mijlocul lui $B C$ ; $A D ⊥ B C$ și $A D = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ . Din $M A ⊥ (A B C)$ , $A D ⊥ B C$ ⇒ (T3⊥) $M D ⊥ B C$ .

$M D = \sqrt{M A^{2} + A D^{2}} = \sqrt{9 + 27} = 6$ cm.

Exemplul 4 — unghiul dintre o față laterală și bază

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are $A B = 12$ cm și înălțimea $V O = 6$ cm. Aflați măsura unghiului dintre $(V B C)$ și $(A B C)$ .

Fie $M$ mijlocul lui $B C$ . $V O ⊥ (A B C)$ , $O M ⊥ B C$ ⇒ (T3⊥) $V M ⊥ B C$ . Deci $∢ ((V B C), (A B C)) = ∢ V M O$ .

$O M = \frac{A B}{2} = 6$ , $tg ∢ V M O = \frac{V O}{O M} = 1 \Rightarrow ∢ V M O = 45^{\circ}$ . Apotema piramidei: $V M = 6 \sqrt{2}$ cm.

Exemplul 5 — unghiul dintre o muchie laterală și bază

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are $A B = 6 \sqrt{2}$ cm și $V O = 6 \sqrt{3}$ cm. Aflați $∢ (V A, (A B C))$ .

Proiecția lui $V A$ pe bază este $O A$ , deci unghiul cerut este $∢ V A O$ . $O A = \frac{A C}{2} = \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 6$ .

$tg ∢ V A O = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \Rightarrow ∢ V A O = 60^{\circ}$ , iar $V A = \sqrt{36 + 108} = 12$ cm.

Exerciții

Exerciții propuse

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $4$ cm. Calculați distanța de la $C^{'}$ la planul $(A B C)$ .
În același cub, calculați $d (D^{'}, A C)$ .
Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $a$ . Calculați tangenta unghiului dintre planele $(A^{'} B D)$ și $(A B D)$ .
Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ , $A B = 4$ , $B C = 3$ , iar $P A ⊥ (A B C)$ , $P A = 4$ . Arătați că $B C ⊥ P B$ și calculați $P C$ .
Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are $A B = 8$ cm și $V O = 4 \sqrt{3}$ cm. Aflați unghiul dintre o față laterală și bază și apotema piramidei.
Dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm, iar $M A ⊥ (A B C D)$ , $M A = 3, 6$ cm. Calculați $d (M, B D)$ .
Dreptele $a$ și $b$ sunt perpendiculare pe planul $α$ . Ce poziție relativă au $a$ și $b$ ?
Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are $A B = 6 \sqrt{2}$ cm și $V A = 10$ cm. Calculați înălțimea piramidei și cosinusul unghiului dintre $V A$ și planul bazei.

Răspunsuri

$C^{'} C ⊥ (A B C)$ , deci distanța este $C C^{'} = 4$ cm.
$O$ centrul bazei: $D O = 2 \sqrt{2}$ , $D^{'} O ⊥ A C$ (T3⊥), $D^{'} O = \sqrt{16 + 8} = 2 \sqrt{6}$ cm.
Unghiul este $∢ A^{'} O A$ , $tg = \frac{a}{a \sqrt{2} / 2} = \sqrt{2}$ .
$P A ⊥ (A B C)$ , $A B ⊥ B C$ ⇒ (T3⊥) $P B ⊥ B C$ ; $P B = 4 \sqrt{2}$ , $P C = \sqrt{32 + 9} = \sqrt{41}$ .
$O M = 4$ , $tg = \sqrt{3}$ ⇒ $60^{\circ}$ ; apotema $V M = 8$ cm.
$A E ⊥ B D$ , $A E = \frac{8 \cdot 6}{10} = 4, 8$ ; $M E ⊥ B D$ (T3⊥), $M E = \sqrt{12, 96 + 23, 04} = 6$ cm.
$a ∥ b$ (sau $a = b$ ).
$O A = 6$ , $V O = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm, $\cos ∢ V A O = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Dreaptă perpendiculară pe plan și teorema celor trei perpendiculare — exemple rezolvate