Cubul — formule arie, volum, diagonală + exemplu rezolvat

Cubul cu muchia $l$ are aria totală $A_t=6l^2$, volumul $V=l^3$, diagonala $d=l\sqrt{3}$ și diagonala unei fețe $l\sqrt{2}$. Cubul (hexaedrul regulat) este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale: are 6 fețe pătrate congruente, 12 muchii și 8 vârfuri. Mai jos găsești derivarea diagonalelor, desfășurarea, secțiunile și unghiurile tipice, sfera înscrisă și circumscrisă, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.

Elementele cubului

Definiție. Cubul sau hexaedrul regulat este un poliedru limitat de șase fețe de formă pătrată. Este paralelipipedul dreptunghic cu $L=l=h$ și, totodată, prisma patrulateră regulată cu înălțimea egală cu latura bazei.

• 6 fețe pătrate congruente, aria fiecăreia fiind $l^2$.
• 12 muchii egale; suma lor este $12l$.
• 8 vârfuri; în fiecare se întâlnesc 3 muchii perpendiculare două câte două.
• 12 diagonale ale fețelor (câte două pe față), de lungime $l\sqrt{2}$, și 4 diagonale ale cubului, de lungime $l\sqrt{3}$, concurente în centrul cubului.

Formulele cubului

Invers: din volum $l=\sqrt[3]{V}$, din aria totală $l=\sqrt{{\displaystyle \frac{A_t}{6}}}$, din diagonală $l={\displaystyle \frac{d}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{d\sqrt{3}}{3}}$.

Diagonala cubului și diagonala feței

Diagonala feței. În pătratul $ABCD$, triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel, deci $A{C}^2=l^2+l^2=2l^2$ și

Diagonala cubului. $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, deci triunghiul $AC{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$:

Ambele rezultă din teorema lui Pitagora, aplicată o dată în plan și o dată în spațiu.

Desfășurarea cubului

Desfășurarea cubului este formată din 6 pătrate congruente, de arie totală $6l^2$. Cea mai cunoscută este „crucea” (un rând de 4 pătrate, cu câte un pătrat deasupra și dedesubt), dar în total există 11 desfășurări diferite ale cubului. O figură din 6 pătrate nu se poate plia într-un cub dacă are 4 pătrate în jurul aceluiași vârf sau un rând de 5 pătrate.

Secțiuni și unghiuri tipice la Evaluarea Națională

• Secțiunea diagonală $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este un dreptunghi cu laturile $l$ și $l\sqrt{2}$, de arie $l^2\sqrt{2}$.
• Secțiunea $A^{\prime }BD$ este un triunghi echilateral cu latura $l\sqrt{2}$, de arie ${\displaystyle \frac{l^2\sqrt{3}}{2}}$; de aceea $\mathrm{\angle }(A^{\prime }B,BD)={60}^{\circ }$.
• Unghiul diagonalei cu planul bazei, $\mathrm{\angle }{C}^{\prime }AC$: $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{l}{l\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ și $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$.
• Distanța de la vârful $A$ la planul $(A^{\prime }BD)$ este ${\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{3}}$, adică o treime din diagonala $A{C}^{\prime }$, care este perpendiculară pe acest plan.

Sfera înscrisă și sfera circumscrisă cubului

Centrul ambelor sfere este centrul cubului (intersecția diagonalelor). Sfera înscrisă atinge cele 6 fețe, deci diametrul ei este muchia: $R={\displaystyle \frac{l}{2}}$ și $V={\displaystyle \frac{\pi l^3}{6}}$. Sfera circumscrisă trece prin cele 8 vârfuri, deci diametrul ei este diagonala cubului: $R={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{2}}$. Sfera tangentă tuturor muchiilor are $R={\displaystyle \frac{l\sqrt{2}}{2}}$. Formulele sferei le găsești pe pagina sfera.

Cum rezolvi o problemă cu cubul

Aproape orice problemă cu cubul se reduce la aflarea muchiei $l$. Identifică mărimea dată (volum, arie totală, arie laterală, diagonala feței, diagonala cubului sau suma muchiilor), scrie formula care o conține și rezolvă ecuația în $l$. Abia apoi calculezi ce se cere. La volume în litri, transformă muchia în decimetri înainte de a o ridica la cub: un cub cu muchia de 20 cm are $2^3=8{\text{dm}}^3$, adică 8 l. Pentru unghiuri, caută un triunghi dreptunghic care conține o muchie, o diagonală de față și diagonala cubului. La final verifică unitățile: cm pentru lungimi, ${\text{cm}}^2$ pentru arii, ${\text{cm}}^3$ pentru volume.

Greșeli frecvente

• Confuzia diagonalelor. Diagonala feței este $l\sqrt{2}$, diagonala cubului $l\sqrt{3}$; citește atent ce cere enunțul.
• $l\sqrt{3}$ confundat cu $l^3$. Primul este o lungime (cm), al doilea un volum (${\text{cm}}^3$).
• Muchia din volum. Din $V=125$ rezultă $l=\sqrt[3]{125}=5$, nu $125:3$.
• Aria laterală în locul celei totale. $A_l=4l^2$ (fără baze), $A_t=6l^2$ (toate fețele).

Întrebări frecvente

Care este formula volumului cubului? $V=l^3$, adică muchia înmulțită de trei ori cu ea însăși. Un cub cu muchia 4 cm are $V=64{\text{cm}}^3$.

Cât este diagonala cubului? $d=l\sqrt{3}$, unde $l$ este muchia; diagonala unei fețe este $l\sqrt{2}$. Invers, $l={\displaystyle \frac{d\sqrt{3}}{3}}$.

Câte fețe, muchii și vârfuri are un cub? 6 fețe pătrate, 12 muchii egale și 8 vârfuri; relația lui Euler se verifică: $8-12+6=2$.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, paralelipipedul dreptunghic, prisma regulată, piramida regulată, cilindrul, sfera.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.

Exersează: fișă de lucru printabilă — cubul și paralelipipedul dreptunghic, clasa a 8-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.