Pe această pagină găsești toate formulele pentru arii și volume studiate în gimnaziu (clasele 5–8), adunate într-un singur loc: perimetrul și aria figurilor plane (pătrat, dreptunghi, triunghi, paralelogram, romb, trapez, cerc), apoi aria laterală, aria totală și volumul corpurilor geometrice (cub, paralelipiped dreptunghic, prismă, piramidă, trunchi de piramidă, cilindru, con, trunchi de con, sferă). Tabelele sunt gândite ca un memorator pentru Evaluarea Națională: fiecare rând trimite către pagina detaliată, cu desene, demonstrații și exemple suplimentare. La final ai un ghid de memorare, greșelile frecvente, patru exemple rezolvate și șase exerciții cu răspunsuri.
Arii — figuri plane
Notații: \( l \) – latura, \( L \) – lungimea, \( h \) – înălțimea, \( d \) – diagonala, \( r \) – raza, \( P \) – perimetrul, \( A \) – aria. Pentru triunghi, \( a, b, c \) sunt laturile, iar \( p = \dfrac{a+b+c}{2} \) este semiperimetrul.
| Figura | Perimetru | Arie | Observații |
|---|---|---|---|
| Pătrat (latura \( l \)) | \( P = 4l \) | \( A = l^2 \) | diagonala \( d = l\sqrt{2} \); \( A = \dfrac{d^2}{2} \) |
| Dreptunghi (\( L, l \)) | \( P = 2(L + l) \) | \( A = L \cdot l \) | \( d = \sqrt{L^2 + l^2} \) |
| Triunghi oarecare | \( P = a + b + c \) | \( A = \dfrac{b \cdot h}{2} \) | Heron: \( A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) |
| Triunghi dreptunghic (catete \( c_1, c_2 \)) | \( P = c_1 + c_2 + ip \) | \( A = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{2} \) | \( ip^2 = c_1^2 + c_2^2 \) (Pitagora) |
| Triunghi echilateral (\( l \)) | \( P = 3l \) | \( A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \) | \( h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \) |
| Paralelogram (baza \( b \), înălțimea \( h \)) | \( P = 2(a + b) \) | \( A = b \cdot h \) | sau \( A = a \cdot b \cdot \sin\alpha \) |
| Romb (latura \( l \), diagonalele \( d_1, d_2 \)) | \( P = 4l \) | \( A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \) | sau \( A = l \cdot h \); diagonalele sunt perpendiculare |
| Trapez (bazele \( B, b \)) | \( P = B + b + c + d \) | \( A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2} \) | linia mijlocie \( m = \dfrac{B + b}{2} \), deci \( A = m \cdot h \) |
| Cerc (raza \( r \)) | \( L = 2\pi r \) | \( A = \pi r^2 \) | \( \pi \approx 3{,}14 \); diametrul \( d = 2r \) |
| Sector de cerc (\( n^\circ \)) | arc \( l = \dfrac{\pi r n}{180} \) | \( A = \dfrac{\pi r^2 n}{360} \) | fracțiunea \( \dfrac{n}{360} \) din cerc |
| Hexagon regulat (\( l \)) | \( P = 6l \) | \( A = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2} \) | 6 triunghiuri echilaterale; apotema \( a = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \) |
Arii și volume — corpuri
Notații: \( A_b \) – aria bazei, \( P_b \) – perimetrul bazei, \( h \) – înălțimea, \( G \) – generatoarea, \( a_p \) – apotema piramidei, \( a_t \) – apotema trunchiului, \( A_l \) – aria laterală, \( A_t \) – aria totală, \( V \) – volumul. Pentru trunchiuri, \( A_B \) și \( A_b \) sunt ariile bazei mari, respectiv mici.
| Corp | Arie laterală | Arie totală | Volum |
|---|---|---|---|
| Cub (muchia \( l \)) | \( A_l = 4l^2 \) | \( A_t = 6l^2 \) | \( V = l^3 \); diagonala \( d = l\sqrt{3} \) |
| Paralelipiped dreptunghic (\( L, l, h \)) | \( A_l = 2(L + l) \cdot h \) | \( A_t = 2(Ll + Lh + lh) \) | \( V = L \cdot l \cdot h \); \( d = \sqrt{L^2 + l^2 + h^2} \) |
| Prismă dreaptă | \( A_l = P_b \cdot h \) | \( A_t = A_l + 2A_b \) | \( V = A_b \cdot h \) |
| Piramidă regulată | \( A_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2} \) | \( A_t = A_l + A_b \) | \( V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} \) |
| Trunchi de piramidă regulată | \( A_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2} \) | \( A_t = A_l + A_B + A_b \) | \( V = \dfrac{h\,(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b})}{3} \) |
| Cilindru (\( r, G = h \)) | \( A_l = 2\pi r G \) | \( A_t = 2\pi r (G + r) \) | \( V = \pi r^2 h \) |
| Con (\( r, G, h \)) | \( A_l = \pi r G \) | \( A_t = \pi r (G + r) \) | \( V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} \); \( G^2 = h^2 + r^2 \) |
| Trunchi de con (\( R, r, G, h \)) | \( A_l = \pi G (R + r) \) | \( A_t = A_l + \pi R^2 + \pi r^2 \) | \( V = \dfrac{\pi h (R^2 + r^2 + Rr)}{3} \) |
| Sferă (raza \( r \)) | — | \( A = 4\pi r^2 \) | \( V = \dfrac{4\pi r^3}{3} \) |
Cum înveți formulele
Nu este nevoie să memorezi fiecare rând separat: aproape toate formulele de mai sus derivă din două idei simple.
1. Corpurile „drepte” (prismă, cub, paralelipiped, cilindru): volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea, \( V = A_b \cdot h \), iar aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea, \( A_l = P_b \cdot h \). Cubul este o prismă cu baza pătrat de latură \( l \), deci \( V = l^2 \cdot l = l^3 \) și \( A_l = 4l \cdot l = 4l^2 \). Cilindrul este tot o „prismă”, dar cu baza cerc: \( V = \pi r^2 \cdot h \) și \( A_l = 2\pi r \cdot h \).
2. Corpurile „ascuțite” (piramidă, con): au exact o treime din volumul prismei sau cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime, \( V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} \). Aria laterală se obține din perimetrul bazei înmulțit cu apotema (la piramidă) sau cu generatoarea (la con), totul împărțit la 2: \( A_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2} \), respectiv \( A_l = \dfrac{2\pi r \cdot G}{2} = \pi r G \).
3. Aria totală este întotdeauna aria laterală plus ariile bazelor: două baze la prismă și cilindru, o singură bază la piramidă și con, două baze diferite la trunchiuri.
4. Trunchiurile se obțin tăind vârful unei piramide sau al unui con; formulele lor seamănă cu cele ale corpului „părinte”, dar apar ambele baze (\( A_B \) și \( A_b \), \( R \) și \( r \)). Dacă o formulă îți scapă la examen, poți calcula trunchiul ca diferență între corpul mare și cel mic.
Pentru figurile plane, reține că paralelogramul, rombul și dreptunghiul sunt „rude”: toate au \( A = \text{bază} \cdot \text{înălțime} \). Trapezul are aria egală cu linia mijlocie înmulțită cu înălțimea, iar triunghiul este jumătate dintr-un paralelogram, de unde împărțirea la 2.
Unități de măsură
Aria se exprimă în unități pătrate (\( \text{cm}^2, \text{m}^2 \)), volumul în unități cubice (\( \text{cm}^3, \text{m}^3 \)) sau în litri: \( 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l} \) și \( 1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{ml} \). La transformări, factorul este 100 pentru arii (\( 1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2 \)) și 1000 pentru volume (\( 1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3 \)). Toate regulile, cu exemple, sunt pe pagina unități de măsură și transformări.
Greșeli frecvente
- Uiți împărțirea la 2 la aria triunghiului, a rombului sau a trapezului, ori împărțirea la 3 la volumul piramidei și al conului.
- Confunzi raza cu diametrul: dacă în problemă apare diametrul \( d = 10 \) cm, raza este \( r = 5 \) cm, iar aria cercului este \( 25\pi \), nu \( 100\pi \).
- Folosești înălțimea în loc de apotemă (sau generatoare) la aria laterală a piramidei și a conului. Înălțimea intră doar în volum; legătura este \( a_p^2 = h^2 + a_b^2 \), respectiv \( G^2 = h^2 + r^2 \).
- Amesteci unitățile: dacă lungimile sunt în cm, aria este în \( \text{cm}^2 \), iar volumul în \( \text{cm}^3 \). Transformă toate datele în aceeași unitate înainte de calcul.
- Aria totală fără baze: la cilindru aria totală are două cercuri în plus față de aria laterală, la con unul singur.
Întrebări frecvente
Care sunt formulele pentru arii și volume la Evaluarea Națională? Cele din tabelele de mai sus: aria pătratului \( l^2 \), a dreptunghiului \( L \cdot l \), a triunghiului \( \dfrac{b \cdot h}{2} \), a rombului \( \dfrac{d_1 d_2}{2} \), a trapezului \( \dfrac{(B+b)h}{2} \), a cercului \( \pi r^2 \); pentru corpuri, \( V = A_b \cdot h \) la prisme și cilindru, \( V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} \) la piramidă și con, \( V = \dfrac{4\pi r^3}{3} \) la sferă. Cele mai frecvente în subiecte sunt cubul, paralelipipedul, prisma și piramida regulată, cilindrul și conul.
Cum se calculează aria totală a unui corp? Aria totală este suma dintre aria laterală și ariile bazelor: \( A_t = A_l + 2A_b \) la prismă și cilindru, \( A_t = A_l + A_b \) la piramidă și con, \( A_t = A_l + A_B + A_b \) la trunchiuri. Practic, calculezi aria fiecărei fețe și le aduni.
Care este diferența dintre arie și volum? Aria măsoară o suprafață (cât „material” trebuie pentru a acoperi o figură sau un corp) și se exprimă în unități pătrate; volumul măsoară spațiul ocupat de un corp (cât „încape” în el) și se exprimă în unități cubice. O figură plană are doar arie; un corp are și arie (laterală și totală), și volum.
Pagini conexe: cercul – lungime și arie, aria triunghiului – toate formulele, arii, înălțime și apotemă.