Calculator aria triunghiului — Heron, bază×înălțime, 2 laturi și unghi

Calculatorul de mai sus află aria unui triunghi cu oricare dintre formulele folosite la școală: baza ori înălțimea supra 2, formula lui Heron (când cunoști cele trei laturi), formula cu sinusul (două laturi și unghiul dintre ele), formula cu determinant (vârfurile date prin coordonate), formula triunghiului echilateral și semiprodusul catetelor la triunghiul dreptunghic. Fiecare rezultat vine cu toți pașii, valoarea exactă (cu radicalul simplificat) și cea aproximativă, iar la trei laturi se verifică mai întâi dacă triunghiul există.

Formulele ariei triunghiului

Toate aceste formule, plus cele cu raza cercului înscris (\(\mathcal{A} = p \cdot r\)) și circumscris (\(\mathcal{A} = \dfrac{abc}{4R}\)), sunt explicate pe pagina aria triunghiului — toate formulele.

Formula lui Heron

Când cunoști doar laturile, calculezi întâi semiperimetrul \(p = \dfrac{a+b+c}{2}\), apoi diferențele \(p - a\), \(p - b\), \(p - c\), le înmulțești cu \(p\) și extragi radicalul. Formula îi este atribuită lui Heron din Alexandria (secolul I). Dacă una dintre diferențe iese zero sau negativă, cele trei lungimi nu formează un triunghi: trebuie respectată inegalitatea triunghiului, adică fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Când laturile conțin radicali, calculatorul folosește forma echivalentă \(16\mathcal{A}^2 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)\), în care apar doar pătratele laturilor.

Formula cu sinus și formula cu determinant

Înălțimea dusă pe latura \(a\) este \(h = b \sin C\), de unde \(\mathcal{A} = \dfrac{ab\sin C}{2}\). Valorile exacte ale sinusului sunt \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), iar unghiurile suplementare au același sinus (\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ\)). Calculatorul află și a treia latură, cu teorema cosinusului. Pentru vârfuri date prin coordonate, aria este jumătate din modulul determinantului format cu coordonatele punctelor; dacă determinantul este 0, punctele sunt coliniare. Detalii pe pagina distanțe și arii în geometria analitică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (Heron). Laturile 13, 14, 15: \(p = 21\), \(p - a = 8\), \(p - b = 7\), \(p - c = 6\), deci \(\mathcal{A} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\).

Exemplul 2 (sinus). \(a = 6\), \(b = 8\), \(C = 30^\circ\): \(\mathcal{A} = \dfrac{6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}}{2} = 12\).

Exemplul 3 (echilateral). Pentru latura 6: \(\mathcal{A} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\).

Exemplul 4 (coordonate). Pentru \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\), \(C(-2, 5)\): \(\Delta = (4 - 1)(5 - 2) - (-2 - 1)(6 - 2) = 9 + 12 = 21\), deci \(\mathcal{A} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5\). Dacă ai fi obținut \(\Delta = 0\), punctele ar fi fost coliniare.

Exemplul 5 (laturi care nu formează triunghi). Lungimile 2, 3 și 7 nu pot fi laturile unui triunghi, deoarece \(2 + 3 < 7\). În formula lui Heron ar apărea \(p - c = 6 - 7 = -1\), iar sub radical un număr negativ — semn că datele sunt greșite.

Greșeli frecvente

• Înălțimea greșită. În \(\dfrac{b \cdot h}{2}\), înălțimea trebuie să fie perpendiculara dusă chiar pe baza aleasă, nu o altă latură.
• Uitarea împărțirii la 2. Produsul \(b \cdot h\) este aria unui dreptunghi; triunghiul are jumătate.
• Perimetrul în loc de semiperimetru. În formula lui Heron, \(p\) este jumătate din perimetru.
• Unghiul care nu este între laturi. În \(\dfrac{ab\sin C}{2}\), unghiul \(C\) trebuie să fie cel cuprins între laturile \(a\) și \(b\).

Pentru triunghiul dreptunghic (ipotenuză, catete, înălțime, proiecții) folosește calculatorul pentru teorema lui Pitagora. Pentru simplificarea radicalilor ai și calculatorul de radicali.

Întrebări frecvente

Cum calculez aria unui triunghi dacă știu cele trei laturi? Folosești formula lui Heron: calculezi semiperimetrul \(p = \dfrac{a+b+c}{2}\), apoi \(\mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Pentru laturile 5, 5, 6: \(p = 8\) și \(\mathcal{A} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12\).

Care este formula ariei triunghiului echilateral? \(\mathcal{A} = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\), unde \(l\) este latura. De exemplu, pentru \(l = 4\), aria este \(\dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\).

Cum aflu aria cu două laturi și unghiul dintre ele? Înmulțești cele două laturi cu sinusul unghiului cuprins între ele și împarți la 2: \(\mathcal{A} = \dfrac{ab\sin C}{2}\). Pentru 4, 6 și \(45^\circ\): \(\dfrac{4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = 6\sqrt{2}\).

Cum îmi dau seama dacă trei lungimi formează un triunghi? Verifici inegalitatea triunghiului: cea mai mare lungime trebuie să fie strict mai mică decât suma celorlalte două. De exemplu, 2, 3 și 7 nu formează un triunghi, pentru că \(2 + 3 = 5 < 7\).