Cercul apare în aproape fiecare subiect de Evaluare Națională: fie direct (lungimea cercului, aria cercului, aria unui sector), fie ascuns în corpurile rotunde (cilindru, con, sferă). Această pagină strânge toate formulele cercului din gimnaziu — lungime, arie, arc, sector, coroană circulară, cerc înscris și circumscris — cu explicații intuitive, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri. Formula de bază: lungimea este \( L = 2\pi r \), iar aria este \( A = \pi r^2 \), unde \( r \) este raza și \( \pi \approx 3{,}14 \).
Elementele cercului
Centrul \( O \) este punctul față de care toate punctele cercului se află la aceeași distanță. Raza \( r = OA \) este segmentul care unește centrul cu un punct al cercului. Diametrul \( d = BC \) este o coardă care trece prin centru și are lungimea dublă față de rază: \( d = 2r \). Coarda \( DE \) este un segment cu capetele pe cerc, iar arcul este porțiunea de cerc cuprinsă între două puncte ale sale. Diametrul este cea mai lungă coardă a cercului. Discul este cercul împreună cu interiorul său; în practică, „aria cercului” înseamnă aria discului.
Lungimea cercului
Lungimea (sau circumferința) cercului este distanța parcursă dacă „desfășurăm” cercul într-o linie dreaptă:
\[ L = 2\pi r = \pi d \]Numărul \( \pi \) (pi) este raportul constant dintre lungimea oricărui cerc și diametrul său: \( \pi = \dfrac{L}{d} \approx 3{,}14159\ldots \). La examen se lucrează de obicei cu \( \pi \) lăsat în rezultat (de exemplu \( L = 10\pi \) cm) sau cu aproximarea \( \pi \approx 3{,}14 \) atunci când cerința o cere explicit. Dacă știi diametrul, nu trebuie să calculezi raza: \( L = \pi d \) direct.
Aria cercului
\[ A = \pi r^2 \]Intuiție: împarte discul în foarte multe „felii” subțiri (sectoare) și așază-le alternativ cu vârful în sus și în jos. Obții aproximativ un dreptunghi cu lungimea egală cu jumătate din lungimea cercului, \( \pi r \), și lățimea egală cu raza, \( r \). Aria lui este \( \pi r \cdot r = \pi r^2 \). Atenție: în formulă intră raza, nu diametrul; dacă problema dă diametrul, calculezi mai întâi \( r = \dfrac{d}{2} \). O altă formă utilă: \( A = \dfrac{\pi d^2}{4} \).
Lungimea arcului și aria sectorului
Un arc de cerc corespunzător unui unghi la centru de \( n^\circ \) reprezintă fracțiunea \( \dfrac{n}{360} \) din întregul cerc. De aici, lungimea arcului și aria sectorului de cerc (porțiunea de disc dintre două raze) sunt:
\[ l_{\text{arc}} = \dfrac{2\pi r \cdot n}{360} = \dfrac{\pi r n}{180}, \qquad A_{\text{sector}} = \dfrac{\pi r^2 \cdot n}{360} \]De exemplu, un sector cu unghi la centru de \( 90^\circ \) este un sfert de disc: \( A = \dfrac{\pi r^2}{4} \). Un semicerc (\( 180^\circ \)) are aria \( \dfrac{\pi r^2}{2} \) și lungimea arcului \( \pi r \). Aceste formule sunt exact cele care dau aria laterală a conului, obținută prin desfășurarea lui într-un sector de cerc.
Coroana circulară
Coroana circulară este regiunea cuprinsă între două cercuri concentrice (cu același centru), de raze \( R > r \). Aria ei este diferența dintre aria discului mare și aria discului mic:
\[ A_{\text{coroană}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (R - r)(R + r) \]Formula apare la problemele cu „inele”, piste de alergare, rondouri cu alee și la aria bazelor unui tub cilindric.
Cercul înscris și circumscris în pătrat și triunghi echilateral
La Evaluarea Națională, cercul este deseori combinat cu pătratul sau triunghiul echilateral. Reține razele cercului înscris (\( r \), tangent la laturi) și ale cercului circumscris (\( R \), care trece prin vârfuri):
| Figura (latura \( l \)) | Raza cercului înscris \( r \) | Raza cercului circumscris \( R \) |
|---|---|---|
| Pătrat | \( r = \dfrac{l}{2} \) | \( R = \dfrac{l\sqrt{2}}{2} \) (jumătate din diagonală) |
| Triunghi echilateral | \( r = \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \) (o treime din înălțime) | \( R = \dfrac{l\sqrt{3}}{3} \) (două treimi din înălțime) |
| Hexagon regulat | \( r = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \) (apotema) | \( R = l \) |
Observă că la triunghiul echilateral \( R = 2r \), iar centrul ambelor cercuri este același punct (centrul triunghiului). Pentru triunghiul dreptunghic, raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză — detalii pe pagina triunghiul dreptunghic.
Greșeli frecvente
- Raza în loc de diametru (și invers). Dacă enunțul spune „cerc cu diametrul 8 cm”, raza este 4 cm; aria este \( 16\pi \), nu \( 64\pi \).
- \( \pi \) în rezultat sau 3,14? Dacă cerința nu precizează, lasă rezultatul cu \( \pi \) (de exemplu \( 25\pi\ \text{cm}^2 \)); înlocuiești cu 3,14 doar când ți se cere o valoare aproximativă.
- Confuzia dintre lungime și arie: lungimea are \( r \) la puterea întâi și se măsoară în cm, aria are \( r^2 \) și se măsoară în \( \text{cm}^2 \).
- Sectorul cu unghi greșit: unghiul din formula sectorului este unghiul la centru, nu un unghi înscris (care este jumătate din cel la centru).
- Uitarea unităților pătrate la arie și a ridicării la pătrat în \( \pi(R^2 - r^2) \): nu este \( \pi(R - r)^2 \).
Întrebări frecvente
Care este formula ariei cercului? \( A = \pi r^2 \), unde \( r \) este raza. Dacă știi diametrul \( d \), formula devine \( A = \dfrac{\pi d^2}{4} \). Rezultatul se exprimă în unități pătrate.
Cum calculez lungimea cercului dacă știu diametrul? Direct, \( L = \pi d \). De exemplu, pentru \( d = 14 \) cm, \( L = 14\pi \approx 43{,}96 \) cm. Nu este nevoie să treci prin rază, deoarece \( 2r = d \).
Cât este aria unui cerc cu raza 5 cm? \( A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\ \text{cm}^2 \approx 78{,}5\ \text{cm}^2 \). Lungimea aceluiași cerc este \( L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4 \) cm.
Pagini conexe: toate formulele de arii și volume, aria triunghiului, cilindrul, conul, sfera.