Prisma patrulateră regulată este prisma dreaptă cu baza pătrat de latură \( l \) și cu patru fețe laterale dreptunghiuri congruente. Formulele principale sunt \( A_l = 4lh \), \( A_t = 4lh + 2l^2 \), \( V = l^2 h \) și diagonala prismei \( d = \sqrt{2l^2 + h^2} \), unde \( h \) este înălțimea (muchia laterală).
Formulele prismei patrulatere regulate
Notăm prisma \( ABCDA'B'C'D' \), cu latura bazei \( l \) și înălțimea \( h = AA' \):
| Mărime | Formula |
|---|---|
| Perimetrul bazei | \( P_b = 4l \) |
| Aria bazei | \( A_b = l^2 \) |
| Aria laterală | \( A_l = P_b \cdot h = 4lh \) |
| Aria totală | \( A_t = A_l + 2A_b = 4lh + 2l^2 \) |
| Volumul | \( V = A_b \cdot h = l^2 h \) |
| Diagonala bazei | \( d_b = l\sqrt{2} \) |
| Diagonala unei fețe laterale | \( d_f = \sqrt{l^2 + h^2} \) |
| Diagonala prismei | \( d = \sqrt{2l^2 + h^2} \) |
| Aria secțiunii diagonale | \( A_{s} = l\sqrt{2}\cdot h \) |
Prisma are 8 vârfuri, 12 muchii și 6 fețe. Ea este un paralelipiped dreptunghic cu baza pătrat (\( L = l \)), iar când \( h = l \) devine cubul: \( A_t = 6l^2 \), \( V = l^3 \), \( d = l\sqrt{3} \).
Diagonala prismei: d = √(2l² + h²)
Diagonala bazei \( AC \) este diagonala pătratului, deci \( AC = l\sqrt{2} \). Muchia \( CC' \) este perpendiculară pe planul bazei, deci triunghiul \( ACC' \) este dreptunghic în \( C \). Cu teorema lui Pitagora:
\[ d^2 = AC^2 + CC'^2 = \left(l\sqrt{2}\right)^2 + h^2 = 2l^2 + h^2 \quad\Rightarrow\quad d = \sqrt{2l^2 + h^2} \]Prisma are 4 diagonale egale (\( AC', BD', CA', DB' \)), care se intersectează în centrul prismei și se înjumătățesc. Unghiul \( \alpha \) dintre diagonala prismei și planul bazei verifică \( \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{l\sqrt{2}} \), iar \( \cos\alpha = \dfrac{l\sqrt{2}}{d} \).
Secțiunea diagonală și diagonalele fețelor
Secțiunea diagonală \( ACC'A' \) este un dreptunghi cu laturile \( l\sqrt{2} \) (diagonala bazei) și \( h \), deci are aria \( l\sqrt{2}\cdot h \), iar diagonalele ei sunt chiar diagonalele prismei. Fiecare față laterală este un dreptunghi \( l \times h \), cu diagonala \( \sqrt{l^2 + h^2} \); unghiul ei cu planul bazei are \( \operatorname{tg} = \dfrac{h}{l} \).
Prisma patrulateră dreaptă vs. regulată
- Prisma patrulateră dreaptă: muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, iar baza poate fi orice patrulater (dreptunghi, romb, trapez). Cu baza dreptunghi se obține paralelipipedul dreptunghic.
- Prisma patrulateră regulată: prisma dreaptă cu baza pătrat; fețele laterale sunt patru dreptunghiuri congruente.
Pentru prismele cu altă bază vezi prisma regulată dreaptă (triunghiulară, patrulateră, hexagonală) și prisma triunghiulară regulată.
Greșeli frecvente
- Diagonala bazei în loc de diagonala prismei: \( l\sqrt{2} \) este diagonala pătratului; diagonala prismei este \( \sqrt{2l^2 + h^2} \).
- \( l\sqrt{3} \) pentru orice prismă: formula \( d = l\sqrt{3} \) este doar pentru cub (\( h = l \)).
- O singură bază în aria totală: se adună \( 2l^2 \), nu \( l^2 \).
- Unghiul diagonalei cu baza: se ia în triunghiul \( ACC' \), cu cateta alăturată \( l\sqrt{2} \), nu \( l \).
Întrebări frecvente
Cum se calculează diagonala prismei patrulatere regulate? Cu formula \( d = \sqrt{2l^2 + h^2} \), obținută din teorema lui Pitagora în triunghiul format de diagonala bazei \( l\sqrt{2} \), muchia laterală \( h \) și diagonala prismei. De exemplu, pentru \( l = 4 \) cm și \( h = 7 \) cm, \( d = \sqrt{32 + 49} = 9 \) cm.
Care este volumul prismei patrulatere regulate? Volumul este aria pătratului de bază înmulțită cu înălțimea: \( V = l^2 h \). Pentru \( l = 5 \) cm și \( h = 8 \) cm, \( V = 200\ \text{cm}^3 \).
Ce înseamnă prismă cu baza pătrat? Este prisma patrulateră regulată: o prismă dreaptă ale cărei baze sunt pătrate congruente, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri congruente. Este un paralelipiped dreptunghic cu lungimea egală cu lățimea.
Este cubul o prismă patrulateră regulată? Da. Cubul este prisma patrulateră regulată cu înălțimea egală cu latura bazei, deci formulele devin \( A_t = 6l^2 \), \( V = l^3 \) și \( d = l\sqrt{3} \).
Pagini conexe: prisma regulată (toate tipurile), prisma triunghiulară regulată, paralelipipedul dreptunghic, cubul, piramida regulată, toate formulele de arii și volume.
Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci latura bazei și înălțimea, primești ariile, volumul și diagonala cu pașii de rezolvare.
Exersează: fișă de lucru — prisma dreaptă regulată, clasa a 8-a, corpuri geometrice: arii și volume, unghiuri în spațiu și secțiuni, probleme de Evaluare Națională — geometrie în spațiu.