Cel mai mare divizor comun (cmmdc) și cel mai mic multiplu comun (cmmmc) sunt două noțiuni de bază din clasele a 5-a și a 6-a, folosite la simplificarea fracțiilor, la aducerea la același numitor și în problemele clasice de la Evaluarea Națională. Mai jos găsești definițiile, cele două metode de calcul (descompunerea în factori primi și algoritmul lui Euclid), relația dintre cmmdc și cmmmc, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.
Definiții și notații
Un divizor comun al numerelor naturale \( a \) și \( b \) este un număr care le divide pe amândouă. Cel mai mare divizor comun, notat \( (a, b) \) sau cmmdc\( (a, b) \), este cel mai mare dintre divizorii comuni.
Un multiplu comun al numerelor \( a \) și \( b \) este un număr care se împarte exact la amândouă. Cel mai mic multiplu comun nenul, notat \( [a, b] \) sau cmmmc\( (a, b) \), este cel mai mic dintre multiplii comuni nenuli.
Exemplu: divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12; divizorii lui 18 sunt 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divizorii comuni sunt 1, 2, 3, 6, deci \( (12, 18) = 6 \). Multiplii lui 12: 12, 24, 36, 48, …; multiplii lui 18: 18, 36, 54, …; primul multiplu comun este 36, deci \( [12, 18] = 36 \).
Enumerarea divizorilor și a multiplilor merge pentru numere mici. Pentru numere mai mari folosim una dintre metodele de mai jos.
Metoda descompunerii în factori primi
Descompunem fiecare număr în produs de puteri de numere prime (vezi Divizibilitate, numere prime și compuse). Apoi:
- cmmdc = produsul factorilor primi comuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mică;
- cmmmc = produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mare.
Exemplu: numerele 36 și 48.
| Număr | Descompunere | Factorul 2 | Factorul 3 |
|---|---|---|---|
| 36 | \( 2^2 \cdot 3^2 \) | \( 2^2 \) | \( 3^2 \) |
| 48 | \( 2^4 \cdot 3 \) | \( 2^4 \) | \( 3^1 \) |
| cmmdc (puterile cele mai mici) | \( 2^2 \cdot 3 = 12 \) | \( 2^2 \) | \( 3^1 \) |
| cmmmc (puterile cele mai mari) | \( 2^4 \cdot 3^2 = 144 \) | \( 2^4 \) | \( 3^2 \) |
Deci \( (36, 48) = 12 \) și \( [36, 48] = 144 \).
Metoda funcționează la fel pentru trei sau mai multe numere: \( 24 = 2^3 \cdot 3 \), \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \), \( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \), deci \( (24, 36, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12 \) și \( [24, 36, 60] = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360 \).
Algoritmul lui Euclid
Când numerele sunt mari și greu de descompus, cmmdc-ul se calculează prin împărțiri succesive:
- Împărțim numărul mai mare la cel mai mic și reținem restul.
- Împărțim împărțitorul la restul obținut.
- Repetăm până obținem restul 0. Ultimul rest nenul este cmmdc-ul.
Exemplu: \( (252, 198) \).
\[ 252 = 198 \cdot 1 + 54, \quad 198 = 54 \cdot 3 + 36, \quad 54 = 36 \cdot 1 + 18, \quad 36 = 18 \cdot 2 + 0 \]Ultimul rest nenul este 18, deci \( (252, 198) = 18 \). Algoritmul se bazează pe proprietatea \( (a, b) = (b, r) \), unde \( r \) este restul împărțirii lui \( a \) la \( b \).
Relația dintre cmmdc și cmmmc
Pentru orice două numere naturale nenule:
\[ (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b \]Așadar, dacă știm cmmdc-ul, aflăm imediat cmmmc-ul: \( [a, b] = \dfrac{a \cdot b}{(a, b)} \). Verificare pe exemplul de mai sus: \( 12 \cdot 144 = 1728 = 36 \cdot 48 \). Pentru 252 și 198: \( [252, 198] = \dfrac{252 \cdot 198}{18} = 2772 \).
Atenție: relația este valabilă doar pentru două numere, nu pentru trei sau mai multe.
Numere prime între ele
Două numere sunt prime între ele dacă \( (a, b) = 1 \), adică singurul lor divizor comun este 1. În acest caz \( [a, b] = a \cdot b \). Exemple: \( (8, 15) = 1 \) și \( [8, 15] = 120 \); \( (9, 10) = 1 \). Numerele nu trebuie să fie prime: 8 și 15 sunt ambele compuse, dar prime între ele. Două numere naturale consecutive sunt întotdeauna prime între ele.
Aplicații
Simplificarea fracțiilor. O fracție se simplifică prin cmmdc-ul numărătorului și numitorului și devine ireductibilă: \( \dfrac{36}{48} = \dfrac{36 : 12}{48 : 12} = \dfrac{3}{4} \). Vezi Fracții — operații, simplificare, comparare.
Aducerea la același numitor. Cel mai mic numitor comun este cmmmc-ul numitorilor: pentru \( \dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} \) avem \( [12, 18] = 36 \), deci \( \dfrac{15}{36} + \dfrac{14}{36} = \dfrac{29}{36} \).
Probleme tip „cel mai mic număr care împărțit la…” — model frecvent la Evaluarea Națională:
- „Cel mai mic număr natural nenul care se împarte exact la 12 și la 18” este \( [12, 18] = 36 \).
- „Cel mai mic număr natural care împărțit la 12 și la 18 dă de fiecare dată restul 5” este \( [12, 18] + 5 = 41 \).
- „Cel mai mare număr natural la care, împărțind 100 și 64, obținem de fiecare dată restul 4” se obține din \( (100 - 4, 64 - 4) = (96, 60) = 12 \).
- „Cel mai mare număr care divide exact 36 și 48” este \( (36, 48) = 12 \) — de exemplu, numărul maxim de pachete identice ce se pot forma din 36 de mere și 48 de pere (fiecare pachet are 3 mere și 4 pere).
Alte situații tipice: două becuri care clipesc la intervale diferite și se aprind din nou simultan după cmmmc secunde; plăci pătrate de latură maximă care acoperă exact o podea dreptunghiulară (latura este cmmdc-ul dimensiunilor).
Greșeli frecvente
- Confuzia între cele două noțiuni: cmmdc-ul este cel mult egal cu cel mai mic dintre numere, cmmmc-ul este cel puțin egal cu cel mai mare dintre ele.
- La cmmdc se iau doar factorii comuni; la cmmmc se iau toți factorii, inclusiv cei care apar într-un singur număr.
- Puterile: cmmdc folosește puterea cea mai mică, cmmmc puterea cea mai mare — nu invers.
- Aplicarea relației \( (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b \) la trei numere.
- În problemele cu rest: pentru cmmdc se scade restul din numere, pentru cmmmc se adună restul la multiplul comun — nu invers.
Întrebări frecvente
Cum se calculează cmmdc? Descompui numerele în factori primi și înmulțești factorii comuni la puterea cea mai mică; sau aplici algoritmul lui Euclid (împărțiri succesive, ultimul rest nenul). Exemplu: \( (36, 48) = 2^2 \cdot 3 = 12 \).
Cum se calculează cmmmc? Descompui numerele în factori primi și înmulțești toți factorii, comuni și necomuni, la puterea cea mai mare. Exemplu: \( [36, 48] = 2^4 \cdot 3^2 = 144 \).
Ce legătură este între cmmdc și cmmmc? Produsul lor este egal cu produsul numerelor: \( (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b \). Dacă numerele sunt prime între ele, cmmdc-ul este 1 și cmmmc-ul este \( a \cdot b \).