Media geometrică (numită și medie proporțională) a două numere reale nenegative este rădăcina pătrată a produsului lor. Ea apare natural în proporții — dacă \(\frac{a}{x}=\frac{x}{b}\), atunci \(x=\sqrt{ab}\) — precum și în teorema înălțimii din triunghiul dreptunghic.
Media geometrică a două numere:
Media geometrică pentru n numere:
Ce spun formulele, în cuvinte
Pentru două numere, \(M_g=\sqrt{ab}\): înmulțim numerele și extragem rădăcina pătrată. Pentru \(n\) numere, înmulțim toți termenii și extragem rădăcina de ordin \(n\) din produs. Media geometrică este potrivită atunci când mărimile se combină prin înmulțire: creșteri procentuale, dobânzi, scări de asemănare.
Legătura cu celelalte medii: pentru numere pozitive are loc lanțul \(M_h\le M_g\le M_a\le M_p\) — media geometrică este cuprinsă între media armonică și media aritmetică (vezi pagina „Inegalitatea mediilor”). Pentru două numere pozitive are loc și identitatea \(M_g^2=M_a\cdot M_h\).
Întrebări frecvente
De ce trebuie ca numerele să fie nenegative? Radicalul de ordin par există în \(\mathbb{R}\) doar pentru numere nenegative; în plus, media trebuie să rămână cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare dintre numere, ceea ce se garantează doar pentru valori nenegative.
Când este media geometrică egală cu media aritmetică? Numai când numerele sunt egale: dacă \(a=b\), atunci \(\sqrt{ab}=a=\frac{a+b}{2}\).