Calculator regula de trei simplă — mărimi direct și invers proporționale (pas cu pas)

Regula de trei simplă rezolvă problemele în care două mărimi variază împreună: cunoști trei valori și o afli pe a patra. Calculatorul de mai sus scrie schema cu săgeți, alcătuiește proporția, aplică proprietatea fundamentală și calculează necunoscuta, apoi verifică rezultatul prin metoda reducerii la unitate. Funcționează pentru mărimi direct și invers proporționale, cu numere întregi, zecimale (cu virgulă sau punct) și fracții, iar necunoscuta poate fi în oricare dintre cele patru căsuțe.

Cum se aplică regula de trei simplă

Scrii datele într-o schemă cu două coloane, câte una pentru fiecare mărime, și două rânduri: rândul cu valorile cunoscute și rândul cu necunoscuta \(x\):

\[ \begin{array}{ccc} a & \ldots & b \\ c & \ldots & x \end{array} \]

Apoi stabilești tipul dependenței și scrii proporția potrivită. Teoria, cu mai multe exemple, este pe pagina regula de trei simplă, iar proprietățile proporțiilor sunt explicate la rapoarte și proporții.

Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă atunci când una se mărește (sau se micșorează) de un număr de ori, și cealaltă se mărește (sau se micșorează) de același număr de ori: cantitatea și prețul, distanța și consumul, timpul de lucru și producția. Săgețile din schemă au același sens, iar rapoartele sunt egale:

\[ \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{b \cdot c}{a}. \]

Mărimi invers proporționale

Două mărimi sunt invers proporționale dacă atunci când una se mărește de un număr de ori, cealaltă se micșorează de același număr de ori: numărul de muncitori și numărul de zile, viteza și timpul, numărul de robinete și timpul de umplere. Săgețile au sensuri opuse, produsul valorilor rămâne constant, iar al doilea raport se inversează:

\[ \dfrac{a}{c} = \dfrac{x}{b} \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot b = c \cdot x \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{a \cdot b}{c}. \]

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (direct): 3 kg de mere costă 15 lei. Cât costă 5 kg? Mai multe kilograme înseamnă mai mulți lei, deci mărimile sunt direct proporționale: \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{15}{x}\), de unde \(x = \dfrac{15 \cdot 5}{3} = 25\) de lei. Prin reducere la unitate: 1 kg costă \(15 : 3 = 5\) lei, iar 5 kg costă \(5 \cdot 5 = 25\) de lei.

Exemplul 2 (invers): 6 muncitori termină o lucrare în 10 zile. În câte zile o termină 4 muncitori? Mai puțini muncitori lucrează mai multe zile, deci mărimile sunt invers proporționale: \(6 \cdot 10 = 4 \cdot x\), \(x = \dfrac{60}{4} = 15\) zile.

Exemplul 3 (direct, cu zecimale): o mașină consumă 7,5 litri la 100 km. Pe 340 km consumă \(x = \dfrac{7{,}5 \cdot 340}{100} = 25{,}5\) litri.

Exemplul 4 (invers): cu 60 km/h un drum durează 3 ore. Cu 90 km/h durează \(x = \dfrac{60 \cdot 3}{90} = 2\) ore.

Greșeli frecvente

• Confuzia direct/invers. Nu te uita la cuvinte, ci la sens: „dacă dublez prima mărime, ce se întâmplă cu a doua?”. Dacă se dublează, sunt direct proporționale; dacă se înjumătățește, sunt invers proporționale.
• Valori trecute în coloana greșită. Fiecare coloană conține aceeași mărime, cu aceeași unitate de măsură: nu amesteca kilograme cu lei pe aceeași coloană.
• Unități diferite. Dacă o valoare este în ore și alta în minute, transformă-le mai întâi în aceeași unitate.
• Mărimi care nu sunt proporționale. Vârsta și înălțimea, sau timpul de fierbere și numărul de ouă, nu sunt proporționale; regula de trei nu se aplică acolo.

Multe probleme cu regula de trei sunt de fapt probleme cu procente: pentru acestea folosește calculatorul de procente. Când rezultatul este o fracție, o poți simplifica pas cu pas cu calculatorul de simplificare a fracțiilor.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale? Imaginează-ți că prima mărime se dublează. Dacă și a doua se dublează (de exemplu cantitatea și prețul), mărimile sunt direct proporționale. Dacă a doua se înjumătățește (de exemplu muncitorii și zilele de lucru), sunt invers proporționale.

Care este formula regulii de trei simple? Pentru schema „a … b, c … x”, la mărimi direct proporționale \(x = \dfrac{b \cdot c}{a}\), iar la mărimi invers proporționale \(x = \dfrac{a \cdot b}{c}\). Ambele vin din proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Ce este metoda reducerii la unitate? Este un alt mod de a rezolva aceeași problemă: afli mai întâi cât corespunde unei singure unități din prima mărime (de exemplu prețul unui kilogram), apoi înmulțești sau împarți pentru valoarea cerută. Calculatorul o folosește ca verificare.

Ce fac dacă rezultatul nu este un număr întreg? Calculatorul afișează rezultatul exact, ca fracție, și aproximativ, cu două zecimale. Dacă mărimea numără persoane sau obiecte, interpretezi rezultatul în contextul problemei (de exemplu rotunjești în sus numărul de mașini necesare).