Regula de trei simplă este metoda prin care aflăm o valoare necunoscută atunci când două mărimi sunt proporționale: dacă 3 kg de mere costă 12 lei, cât costă 5 kg? Este una dintre cele mai folosite tehnici din gimnaziu — la procente, la probleme cu viteze, cu muncitori, cu concentrații și la Evaluarea Națională. Pagina explică schema de calcul, diferența dintre mărimile direct și invers proporționale, legătura cu proporțiile și cu procentele, cu exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.
Ce este regula de trei simplă
Avem două mărimi legate între ele (de exemplu cantitate și preț). Cunoaștem o pereche de valori \( a \) și \( b \) și o a doua valoare \( c \) a primei mărimi; căutăm valoarea \( x \) corespunzătoare. Scriem datele într-o schemă cu două linii, fiecare mărime pe coloana ei:
\[ \begin{array}{ccc} a \text{ kg} & \ldots\ldots & b \text{ lei} \\ c \text{ kg} & \ldots\ldots & x \text{ lei} \end{array} \]Dacă mărimile sunt direct proporționale, rapoartele corespunzătoare sunt egale și obținem proporția
\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{x} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{b \cdot c}{a} \]Regula practică: \( x \) este egal cu produsul celor două numere de pe diagonala care nu îl conține pe \( x \), împărțit la numărul aflat pe aceeași diagonală cu \( x \). Pentru merele de mai sus: \( 3 \text{ kg} \ldots 12 \text{ lei} \), \( 5 \text{ kg} \ldots x \), deci \( x = \dfrac{12 \cdot 5}{3} = 20 \) lei.
Mărimi direct proporționale
Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă crește de același număr de ori (și când una scade, scade și cealaltă). Raportul valorilor corespunzătoare este constant: \( \dfrac{b}{a} = \dfrac{x}{c} = k \). Exemple: cantitatea și prețul, distanța și timpul (la viteză constantă), numărul de muncitori și cantitatea de lucru făcută în același timp.
Pași:
- Scriem schema cu două linii, cu aceleași unități de măsură pe aceeași coloană.
- Verificăm că mărimile sunt direct proporționale (mai mult → mai mult).
- Scriem proporția și calculăm \( x = \dfrac{b \cdot c}{a} \).
Exemplu: O mașină parcurge 180 km în 2 ore. Câți kilometri parcurge în 5 ore, cu aceeași viteză?
\[ \begin{array}{ccc} 2 \text{ h} & \ldots\ldots & 180 \text{ km} \\ 5 \text{ h} & \ldots\ldots & x \text{ km} \end{array} \qquad x = \frac{180 \cdot 5}{2} = 450 \text{ km} \]Mărimi invers proporționale
Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori. Produsul valorilor corespunzătoare este constant: \( a \cdot b = c \cdot x \). Exemple: numărul de muncitori și timpul necesar pentru o lucrare, viteza și timpul pentru aceeași distanță, numărul de robinete și timpul de umplere a unui bazin.
În schemă, săgețile au sensuri opuse, iar proporția se scrie cu al doilea raport inversat:
\[ \begin{array}{ccc} a & \ldots\ldots & b \\ c & \ldots\ldots & x \end{array} \qquad \frac{a}{c} = \frac{x}{b} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{a \cdot b}{c} \]Regula practică: la mărimi invers proporționale, \( x \) se obține înmulțind cele două valori de pe linia completă (\( a \cdot b \)) și împărțind la valoarea rămasă (\( c \)).
Exemplu: Un bazin se umple cu 4 robinete identice în 6 ore. În cât timp se umple cu 8 robinete?
Mai multe robinete → mai puțin timp, deci mărimile sunt invers proporționale:
\[ \begin{array}{ccc} 4 \text{ robinete} & \ldots\ldots & 6 \text{ h} \\ 8 \text{ robinete} & \ldots\ldots & x \text{ h} \end{array} \qquad x = \frac{4 \cdot 6}{8} = 3 \text{ h} \]Proporții — proprietatea fundamentală
O proporție este egalitatea a două rapoarte: \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \). Termenii \( a \) și \( d \) se numesc extremi, iar \( b \) și \( c \) se numesc mezi. Proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c \]De aici aflăm orice termen necunoscut: \( a = \dfrac{b \cdot c}{d} \), \( d = \dfrac{b \cdot c}{a} \), \( b = \dfrac{a \cdot d}{c} \), \( c = \dfrac{a \cdot d}{b} \). Regula de trei simplă este, de fapt, rezolvarea unei proporții în care necunoscuta este unul dintre termeni. Exemplu: \( \dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15 \).
Proporții derivate (pe scurt): dintr-o proporție \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) obținem alte proporții adevărate schimbând mezii între ei \( \left( \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \right) \), schimbând extremii între ei \( \left( \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a} \right) \), inversând rapoartele \( \left( \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c} \right) \) sau adunând numitorii la numărători \( \left( \dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d} \right) \). Un șir de rapoarte egale \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} \) are proprietatea \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{a+c+e}{b+d+f} \).
Regula de trei și procentele
Orice calcul cu procente se poate face cu regula de trei simplă, luând întregul drept 100%:
\[ \begin{array}{ccc} 100\% & \ldots\ldots & a \\ p\% & \ldots\ldots & x \end{array} \qquad x = \frac{p \cdot a}{100} \]Exemplu: 15% din 240 este \( x = \dfrac{15 \cdot 240}{100} = 36 \). Invers, ce procent reprezintă 36 din 240? Scriem \( 240 \ldots 100\% \), \( 36 \ldots p\% \), deci \( p = \dfrac{36 \cdot 100}{240} = 15\% \). Toate formulele pentru procente, creșteri și reduceri sunt pe pagina Procente; pentru dobânzi, prețuri și TVA, vezi Matematici financiare.
Regula de trei compusă
Când necunoscuta depinde de două sau mai multe mărimi, aplicăm regula de trei simplă de mai multe ori, pe rând, sau înmulțim valoarea cunoscută cu rapoartele corespunzătoare (mărime direct proporțională → raport direct; mărime invers proporțională → raport inversat).
Exemplu: 5 muncitori sapă 60 m de șanț în 4 zile. Câți metri sapă 8 muncitori în 3 zile, în același ritm?
Lungimea săpată este direct proporțională atât cu numărul de muncitori, cât și cu numărul de zile: \( x = 60 \cdot \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = 72 \) m.
Greșeli frecvente
- Confuzia direct / invers: cea mai frecventă greșeală. Întreabă-te mereu: „dacă prima mărime crește, a doua crește sau scade?” Mai mulți muncitori → mai puține zile (invers); mai multe kilograme → mai mulți lei (direct).
- Unități diferite pe aceeași coloană: ore cu minute sau kilometri cu metri. Transformă mai întâi totul în aceeași unitate.
- Proporția scrisă greșit: la mărimi direct proporționale \( \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{x} \), la mărimi invers proporționale \( \dfrac{a}{c} = \dfrac{x}{b} \).
- Rezultat neverificat: dacă obții că 8 robinete umplu bazinul în 12 ore când 4 robinete îl umpleau în 6, ceva este greșit — mai multe robinete trebuie să termine mai repede.
- Procentul aplicat valorii greșite: la reduceri sau creșteri succesive, al doilea procent se aplică la noua valoare, nu la cea inițială.
Întrebări frecvente
Cum se aplică regula de trei simplă? Scrii datele în două linii (schema), stabilești dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale, scrii proporția corespunzătoare și afli necunoscuta: \( x = \dfrac{b \cdot c}{a} \) la mărimi direct proporționale sau \( x = \dfrac{a \cdot b}{c} \) la mărimi invers proporționale.
Cum știu dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale? Mărește în gând prima mărime de două ori. Dacă a doua se dublează, mărimile sunt direct proporționale (raport constant). Dacă a doua se înjumătățește, sunt invers proporționale (produs constant).
Cum calculez un procent cu regula de trei? Pui întregul în dreptul lui 100% și procentul căutat pe linia a doua: \( p\% \) din \( a \) este \( \dfrac{p \cdot a}{100} \). De exemplu, 20% din 350 este \( \dfrac{20 \cdot 350}{100} = 70 \).
Regula de trei simplă se combină des cu operațiile cu fracții și apare în aproape fiecare subiect de Evaluare Națională, la problemele cu procente, viteze și amestecuri.