Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma generală \( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \). A rezolva sistemul înseamnă a găsi perechea (x, y) care verifică simultan ambele ecuații.
Metoda substituției
Exprimi o necunoscută dintr-o ecuație (de exemplu x din prima) și o înlocuiești în cealaltă. Obții o ecuație cu o singură necunoscută, o rezolvi, apoi revii pentru cealaltă necunoscută.
Metoda reducerii
Înmulțești ecuațiile cu numere alese astfel încât, prin adunarea lor, una dintre necunoscute să se reducă (coeficienți opuși). Este de obicei cea mai rapidă metodă la examen.
Regula lui Cramer
Cu determinantul sistemului \( \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0 \), soluția este:
\( x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} \)
unde \( \Delta_x \) și \( \Delta_y \) se obțin înlocuind în \( \Delta \) coloana coeficienților lui x, respectiv y, cu coloana termenilor liberi.
Discuția sistemului
Dacă \( \Delta \neq 0 \): soluție unică (sistem compatibil determinat). Dacă \( \Delta = 0 \) și \( \Delta_x = \Delta_y = 0 \): o infinitate de soluții. Dacă \( \Delta = 0 \) și măcar unul dintre \( \Delta_x, \Delta_y \) e nenul: sistem incompatibil (fără soluții).
Întrebări frecvente
Ce metodă aleg la examen? Reducerea, când coeficienții se potrivesc ușor; substituția, când o necunoscută are coeficientul 1. Cramer e util la sisteme cu parametri.
Cum verific soluția? Înlocuiești perechea (x, y) în ambele ecuații inițiale — ambele trebuie să dea egalități adevărate.