Sisteme de ecuații: substituție, reducere, Cramer

Q: Cum verific soluția unui sistem?

Înlocuiești perechea (x, y) în ambele ecuații inițiale — ambele trebuie să devină egalități adevărate.

Formule

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ , iar soluția lui este perechea $(x, y)$ care verifică simultan ambele ecuații. Se rezolvă prin metoda substituției, metoda reducerii, grafic sau cu regula lui Cramer: dacă $Δ = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$ , atunci $x = \frac{Δ_{x}}{Δ}, y = \frac{Δ_{y}}{Δ}$ .

Metoda substituției

Exprimăm o necunoscută dintr-o ecuație (de preferat una cu coeficientul 1 sau −1), de exemplu $x$ din prima.
Înlocuim expresia obținută în cealaltă ecuație și obținem o ecuație cu o singură necunoscută.
Rezolvăm această ecuație, apoi revenim și calculăm cealaltă necunoscută.
Verificăm perechea găsită în ambele ecuații inițiale.

Metoda reducerii

Înmulțim ecuațiile cu numere alese astfel încât coeficienții uneia dintre necunoscute să devină opuși; adunând ecuațiile membru cu membru, acea necunoscută se reduce. De exemplu, pentru a reduce $y$ din $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ și $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ , înmulțim prima ecuație cu $b_{2}$ , a doua cu $- b_{1}$ și adunăm:

(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) x = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} .

Este de obicei cea mai rapidă metodă la Evaluarea Națională.

Metoda grafică

Fiecare ecuație $a x + b y = c$ (cu $a, b$ nu ambii nuli) reprezintă o dreaptă în plan. Soluția sistemului este punctul de intersecție al celor două drepte: îl citim din grafic, apoi îl verificăm prin calcul. Reprezentarea dreptelor este explicată la Funcții.

Discuția sistemului după rapoartele coeficienților

Condiție (coeficienți nenuli)	Tipul sistemului	Interpretare grafică
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$	compatibil determinat — soluție unică	drepte concurente
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$	compatibil nedeterminat — o infinitate de soluții	drepte confundate
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$	incompatibil — nicio soluție	drepte paralele

Regula lui Cramer pentru sisteme 2 × 2

Determinantul sistemului și determinanții necunoscutelor (coloana coeficienților lui $x$ , respectiv $y$ , se înlocuiește cu coloana termenilor liberi):

Δ = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}, Δ_{x} = | \begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix} |, Δ_{y} = | \begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix} | .

Δ \neq 0 \Rightarrow x = \frac{Δ_{x}}{Δ}, y = \frac{Δ_{y}}{Δ} .

Dacă $Δ = 0$ și măcar unul dintre $Δ_{x}, Δ_{y}$ este nenul, sistemul este incompatibil. Dacă $Δ = Δ_{x} = Δ_{y} = 0$ (și coeficienții nu sunt toți nuli), sistemul are o infinitate de soluții.

Regula lui Cramer pentru sisteme 3 × 3

Pentru sistemul ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$ cu determinantul matricei coeficienților $Δ \neq 0$ (sistem de tip Cramer):

x = \frac{Δ_{x}}{Δ}, y = \frac{Δ_{y}}{Δ}, z = \frac{Δ_{z}}{Δ},

unde $Δ_{x}, Δ_{y}, Δ_{z}$ se obțin înlocuind coloana necunoscutei respective cu coloana termenilor liberi $(d_{1}, d_{2}, d_{3})$ . Determinanții de ordinul 3 se calculează cu regula lui Sarrus sau prin dezvoltare — vezi Determinanți; poți verifica rezultatele cu calculatorul de determinanți. Dacă $Δ = 0$ , discuția se face cu rangul matricei (teoremele Rouché și Kronecker–Capelli).

Sisteme neliniare simple

Sistemul sumă–produs. Dacă $x + y = S$ și $x y = P$ , atunci $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației de gradul al II-lea

t^{2} - S t + P = 0,

care are soluții reale dacă $S^{2} - 4 P \geq 0$ ; soluțiile sistemului sunt $(t_{1}, t_{2})$ și $(t_{2}, t_{1})$ . Vezi Ecuația de gradul al II-lea și relațiile lui Viète. O ecuație liniară și una de gradul II: exprimăm o necunoscută din ecuația liniară și o substituim în cealaltă.

Probleme care se rezolvă cu sisteme

Pași: (1) alegem necunoscutele și precizăm ce reprezintă; (2) traducem fiecare informație din enunț într-o ecuație; (3) rezolvăm sistemul; (4) verificăm că soluția are sens (numere naturale, pozitive etc.) și răspundem la întrebare.

Greșeli frecvente

La metoda reducerii, înmulțirea doar a unui membru al ecuației cu numărul ales — se înmulțesc ambii membri, inclusiv termenul liber.
Greșeli de semn la scăderea ecuațiilor: e mai sigur să înmulțești cu un număr negativ și să aduni.
La Cramer, înlocuirea rândului în loc de coloană în $Δ_{x}$ sau $Δ_{y}$ .
Oprirea după aflarea unei singure necunoscute: soluția unui sistem 2 × 2 este o pereche $(x, y)$ .
La sistemul sumă–produs, uitarea perechii simetrice $(t_{2}, t_{1})$ .

Întrebări frecvente

Ce metodă aleg pentru un sistem de două ecuații cu două necunoscute? Reducerea, când coeficienții se potrivesc ușor; substituția, când o necunoscută are coeficientul 1 sau −1. Regula lui Cramer e utilă la sisteme cu parametri și la sistemele 3 × 3.

Cum verific soluția unui sistem? Înlocuiești perechea $(x, y)$ în ambele ecuații inițiale — ambele trebuie să devină egalități adevărate.

Când un sistem nu are soluții? Când coeficienții necunoscutelor sunt proporționali, dar termenii liberi nu respectă același raport ( $Δ = 0$ și $Δ_{x} \neq 0$ sau $Δ_{y} \neq 0$ ); grafic, dreptele sunt paralele.

Istoric: Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — metoda eliminării succesive a necunoscutelor îi poartă numele.

Istoric: Gabriel Cramer (1704–1752) — a publicat în 1750 regula de rezolvare a sistemelor liniare cu ajutorul determinanților.

Calculează rapid: calculator sisteme de ecuații — 2×2 și 3×3 prin substituție, reducere, Cramer sau Gauss, cu toți pașii și verificarea.

Exersează: fișă de lucru printabilă — sisteme de ecuații, clasa a 7-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — sisteme de ecuații liniare (Cramer, Gauss, rang), clasa a 11-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Sistemul $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ , $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ (coeficienți nenuli) are soluție unică dacă:

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ $= \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$

Rezolvă sistemul $x + y = 7$ , $x - y = 1$ .

$x = 4$ , $y = 3$
$x = 3$ , $y = 4$
$x = 5$ , $y = 2$

Sistemul $2 x + y = 5$ , $4 x + 2 y = 8$ are:

soluție unică
nicio soluție
o infinitate de soluții

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — metoda substituției

Rezolvați ${\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ 3 x - y = 3 \end{cases}$ .

Rezolvare: Din prima ecuație $x = 8 - 2 y$ . Înlocuim: $3 (8 - 2 y) - y = 3 \Rightarrow 24 - 7 y = 3 \Rightarrow y = 3$ . Atunci $x = 8 - 6 = 2$ . Verificare: $2 + 6 = 8$ ✓, $6 - 3 = 3$ ✓. Soluția: $(2, 3)$ .

Exemplul 2 — metoda reducerii

Rezolvați ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 12 \\ 5 x - 3 y = 1 \end{cases}$ .

Rezolvare: Înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 2: $9 x + 6 y = 36$ , $10 x - 6 y = 2$ . Adunăm: $19 x = 38 \Rightarrow x = 2$ . Din prima: $6 + 2 y = 12 \Rightarrow y = 3$ . Soluția: $(2, 3)$ .

Un caz și mai simplu: ${\begin{cases} 2 x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$ — adunăm direct: $3 x = 9$ , $x = 3$ , $y = 1$ .

Exemplul 3 — regula lui Cramer (2 × 2)

Rezolvați ${\begin{cases} 2 x - 3 y = - 4 \\ x + 2 y = 5 \end{cases}$ .

Rezolvare:

Δ = | \begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 4 + 3 = 7, Δ_{x} = | \begin{matrix} - 4 & - 3 \\ 5 & 2 \end{matrix} | = - 8 + 15 = 7, Δ_{y} = | \begin{matrix} 2 & - 4 \\ 1 & 5 \end{matrix} | = 10 + 4 = 14.

Deci $x = \frac{7}{7} = 1$ , $y = \frac{14}{7} = 2$ . Verificare: $2 - 6 = - 4$ ✓, $1 + 4 = 5$ ✓.

Exemplul 4 — discuția unui sistem cu parametru

Discutați după $m \in R$ sistemul ${\begin{cases} x + m y = 2 \\ m x + 4 y = 4 \end{cases}$ .

Rezolvare: $Δ = 4 - m^{2}$ . Pentru $m \neq \pm 2$ , sistemul este compatibil determinat. Pentru $m = 2$ : $x + 2 y = 2$ și $2 x + 4 y = 4$ — a doua ecuație este dublul primei, sistem compatibil nedeterminat. Pentru $m = - 2$ : $x - 2 y = 2$ și $- 2 x + 4 y = 4$ ; $\frac{1}{- 2} = \frac{- 2}{4} \neq \frac{2}{4}$ , sistem incompatibil.

Exemplul 5 — regula lui Cramer (3 × 3)

Rezolvați ${\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2 x + y - z = 1 \end{cases}$ .

Rezolvare: Dezvoltând după prima linie:

Δ = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 1 & - 1 \end{matrix} | = 1 \cdot (1 - 1) - 1 \cdot (- 1 - 2) + 1 \cdot (1 + 2) = 6.

Δ_{x} = | \begin{matrix} 6 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix} | = 6, Δ_{y} = | \begin{matrix} 1 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & - 1 \end{matrix} | = 12, Δ_{z} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} | = 18.

Deci $x = 1, y = 2, z = 3$ . Verificare în a treia ecuație: $2 + 2 - 3 = 1$ ✓.

Exemplul 6 — sistem sumă–produs

Rezolvați ${\begin{cases} x + y = 7 \\ x y = 12 \end{cases}$ .

Rezolvare: $x, y$ sunt rădăcinile ecuației $t^{2} - 7 t + 12 = 0$ , adică $t_{1} = 3, t_{2} = 4$ . Soluțiile: $(3, 4)$ și $(4, 3)$ .

Exemplul 7 — problemă (model Evaluare Națională)

Într-o curte sunt găini și iepuri: în total 20 de capete și 56 de picioare. Câte găini și câți iepuri sunt?

Rezolvare: Fie $g$ găinile și $i$ iepurii: $g + i = 20$ , $2 g + 4 i = 56$ . Scădem din a doua ecuație dublul primei: $2 i = 16 \Rightarrow i = 8$ , $g = 12$ . Verificare: $24 + 32 = 56$ ✓.

Exerciții

Exerciții propuse

Rezolvați ${\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$ .
Rezolvați prin substituție ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$ .
Rezolvați prin reducere ${\begin{cases} 4 x - 3 y = - 1 \\ 3 x + 2 y = 12 \end{cases}$ .
Rezolvați cu regula lui Cramer ${\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ x - 2 y = 4 \end{cases}$ .
Determinați $m$ astfel încât sistemul ${\begin{cases} 2 x + m y = 1 \\ 4 x + 6 y = 3 \end{cases}$ să fie incompatibil.
Rezolvați ${\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2 x - y + z = 2 \\ x + 2 y - z = 2 \end{cases}$ .
Rezolvați ${\begin{cases} x + y = 5 \\ x y = 6 \end{cases}$ .
2 caiete și 3 pixuri costă 19 lei, iar 3 caiete și 2 pixuri costă 21 de lei. Cât costă un caiet și cât un pix?

Răspunsuri

1. $(7, 3)$ . 2. $x = y + 1 \Rightarrow 5 y + 2 = 12 \Rightarrow (3, 2)$ . 3. $17 x = 34 \Rightarrow (2, 3)$ . 4. $Δ = - 7, Δ_{x} = - 14, Δ_{y} = 7 \Rightarrow (2, - 1)$ . 5. $Δ = 12 - 4 m = 0 \Rightarrow m = 3$ ; atunci $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{1}{3}$ , sistem incompatibil. 6. $Δ = 7$ , soluția $(1, 1, 1)$ . 7. $t^{2} - 5 t + 6 = 0 \Rightarrow (2, 3)$ și $(3, 2)$ . 8. Adunând: $c + p = 8$ ; scăzând: $c - p = 2 \Rightarrow$ caietul 5 lei, pixul 3 lei.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Sisteme de ecuații — metoda substituției, metoda reducerii, regula lui Cramer, exemple rezolvate