Calculator sisteme de ecuații — 2×2 și 3×3, pas cu pas (substituție, reducere, Cramer, Gauss)
Calculator sisteme de ecuații liniare
Separă ecuațiile cu „;” sau scrie-le pe rânduri diferite (Shift+Enter). Necunoscute: x, y, z. Exemple: x/2 + 0,5y = 3, 2x - y + z = 1, x = y + 1. Fără paranteze.
Coeficienții pot fi întregi, negativi (−2), zecimali (0,5 sau 0.5) sau fracții (3/4). O căsuță goală înseamnă coeficientul 0. Calculele se fac exact, cu fracții ireductibile.
Metoda de rezolvare:
Calculatorul de mai sus rezolvă pas cu pas sisteme de ecuații liniare cu două necunoscute (\(x, y\)) sau trei necunoscute (\(x, y, z\)). Completezi coeficienții în tabel sau scrii direct ecuațiile, de exemplu 2x + 3y = 7; x - y = 1, alegi metoda — substituție, reducere, regula lui Cramer sau eliminarea Gauss — și primești toți pașii, cu fracții exacte, plus verificarea soluției în ecuațiile inițiale. Calculatorul recunoaște singur cele trei situații posibile: sistem compatibil determinat (o soluție), compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții, scrise cu parametri) sau incompatibil (nicio soluție). Este util la Evaluarea Națională (sisteme 2×2) și la bacalaureat, M1 și M2 (sisteme 3×3, determinanți, rang).
Metoda substituției și metoda reducerii
La metoda substituției scoți o necunoscută dintr-o ecuație — de preferat una cu coeficientul 1 sau −1, ca să nu apară fracții — și o înlocuiești în cealaltă ecuație. Obții o ecuație de gradul I cu o singură necunoscută, o rezolvi, apoi revii și calculezi cealaltă necunoscută.
La metoda reducerii înmulțești ecuațiile cu numere alese astfel încât coeficienții uneia dintre necunoscute să devină opuși, apoi aduni ecuațiile membru cu membru: necunoscuta respectivă „se reduce”. Dacă sistemul are fracții sau zecimale, întâi înmulțești fiecare ecuație cu numitorul comun. Pentru \(2x + 3y = 7\) și \(x - y = 1\), înmulțim a doua ecuație cu \(-2\): \(-2x + 2y = -2\); adunând, \(5y = 5\), deci \(y = 1\) și apoi \(x = 2\). Ambele metode sunt explicate cu exemple pe pagina sisteme de ecuații.
Regula lui Cramer: 2×2 și 3×3
Pentru un sistem cu la fel de multe ecuații câte necunoscute, calculezi determinantul sistemului \(\Delta\) (din coeficienții necunoscutelor) și determinanții \(\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z\), obținuți înlocuind coloana necunoscutei respective cu coloana termenilor liberi. Dacă \(\Delta \neq 0\), sistemul are soluție unică:
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}. \]La 2×2, \(\Delta = a_1b_2 - a_2b_1\); la 3×3, determinanții se calculează cu regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie (vezi determinanți și calculatorul de determinant și matrice inversă). Regula poartă numele lui Gabriel Cramer, care a publicat-o în 1750. Același sistem se poate scrie matriceal \(AX = B\), iar când \(\det A \neq 0\), \(X = A^{-1}B\) — detalii la matrice inversabilă.
Eliminarea Gauss
Metoda lui Gauss lucrează pe matricea extinsă \(\bar{A}\) (coeficienții plus coloana termenilor liberi). Cu operații elementare pe linii — schimbarea a două linii, înmulțirea unei linii cu un număr nenul, adunarea la o linie a unui multiplu al altei linii — aduci matricea la forma de scară (triunghiulară), apoi rezolvi de jos în sus. Calculatorul folosește combinații cu coeficienți întregi (de tipul \(L_2 \leftarrow 3L_2 - 2L_1\)), ca numerele să rămână mici. Avantajul metodei: funcționează la fel și când \(\Delta = 0\), iar numărul de linii nenule îți dă direct rangul.
Când sistemul nu are soluție unică: rang și teorema lui Rouché
Dacă \(\Delta = 0\), regula lui Cramer nu se aplică. La bacalaureat se studiază atunci compatibilitatea cu teorema Rouché (Kronecker–Capelli): sistemul este compatibil dacă și numai dacă \(\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} \bar{A}\). Practic, alegi un minor principal \(\Delta_p \neq 0\) de ordin egal cu rangul, îl bordezi cu coloana termenilor liberi și cu fiecare ecuație rămasă și obții determinanții caracteristici. Dacă toți sunt nuli, sistemul este compatibil nedeterminat: necunoscutele secundare devin parametri (\(z = \alpha\), \(\alpha \in \mathbb{R}\)) și rezolvi sistemul principal. Dacă unul este nenul, sistemul este incompatibil.
| Situație | Tipul sistemului | Soluții |
|---|---|---|
| \(\Delta \neq 0\) | compatibil determinat | una singură |
| \(\Delta = 0\), \(\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} \bar{A}\) | compatibil nedeterminat | o infinitate, cu parametri |
| \(\Delta = 0\), \(\operatorname{rang} A \lt \operatorname{rang} \bar{A}\) | incompatibil | niciuna, \(S = \emptyset\) |
La 2×2 interpretarea este grafică: fiecare ecuație este o dreaptă, iar cele trei cazuri înseamnă drepte concurente, confundate sau paralele (vezi și calculatorul ecuației dreptei).
Exemple rezolvate
Exemplul 1 (3×3, Cramer). Pentru \(x + y + z = 6\), \(x - y + 2z = 5\), \(2x + y - z = 1\) obținem \(\Delta = 7\), \(\Delta_x = 7\), \(\Delta_y = 14\), \(\Delta_z = 21\), deci \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\).
Exemplul 2 (nedeterminat). Sistemul \(x + y + z = 3\), \(x - y + z = 1\), \(2x + 2z = 4\) are \(\Delta = 0\); a treia ecuație este suma primelor două. Cu \(z = \alpha\) obținem \(x = 2 - \alpha\), \(y = 1\), deci \(S = \{(2 - \alpha, 1, \alpha) \mid \alpha \in \mathbb{R}\}\).
Exemplul 3 (incompatibil). Dacă a treia ecuație devine \(2x + 2z = 5\), suma primelor două dă \(2x + 2z = 4\), contradicție: \(4 = 5\). Sistemul nu are soluții.
Greșeli frecvente
- Uiți să înmulțești și termenul liber când înmulțești o ecuație cu un număr la metoda reducerii.
- Greșești semnul la scăderea ecuațiilor; e mai sigur să înmulțești cu un număr negativ și să aduni.
- La \(\Delta_x\) înlocuiești altă coloană decât cea a lui \(x\), sau scrii termenii liberi cu semn schimbat (sistemul trebuie adus la forma \(ax + by + cz = d\)).
- Concluzionezi „incompatibil” sau „nedeterminat” la 3×3 doar din faptul că \(\Delta = 0\) și \(\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0\) — corect este să studiezi rangurile (determinanții caracteristici).
- Nu faci verificarea: înlocuirea soluției în toate ecuațiile inițiale prinde aproape orice greșeală de calcul.
Întrebări frecvente
Ce metodă de rezolvare a sistemelor este cea mai rapidă? Pentru sisteme 2×2, metoda reducerii sau substituția, când o necunoscută are coeficientul 1 sau −1. Pentru sisteme 3×3, eliminarea Gauss cere de obicei mai puține calcule decât regula lui Cramer, care necesită patru determinanți de ordinul 3.
Ce înseamnă că un sistem este compatibil nedeterminat? Că are o infinitate de soluții: cel puțin o ecuație este consecința celorlalte. Soluția se scrie cu parametri, de exemplu \((2 - \alpha, 1, \alpha)\), \(\alpha \in \mathbb{R}\); fiecare valoare a lui \(\alpha\) dă o soluție particulară.
Când nu se poate aplica regula lui Cramer? Când determinantul sistemului este 0 sau când sistemul nu are tot atâtea ecuații câte necunoscute. În acest caz studiezi compatibilitatea cu rangul (teorema Rouché) sau folosești eliminarea Gauss.
Pot introduce coeficienți cu fracții sau zecimale? Da. Poți scrie 1/2, 0,5 sau 0.5, iar în modul text și x/2. Calculatorul lucrează exact, cu fracții ireductibile, și afișează rezultatele ca fracții, cu valoarea aproximativă alături.