Legi de compoziție la Bacalaureat — subiecte rezolvate (M1, M2, M3)

Legile de compoziție apar la Bacalaureat la Subiectul al II-lea, problema 2 (15 puncte, cerințele a, b, c), la M1 (mate-info, de multe ori cu grupuri și morfisme), la M2 (științele naturii) și la M3 (filiera tehnologică). Aici găsești toate cele 153 de cerințe din 51 de variante oficiale rezolvate pe site (2020–2027), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas.

M1 (mate-info)M2 (științele naturii)M3 (tehnologic)

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Asociativitate: $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ pentru orice $x,y,z$; comutativitate: $x\circ y=y\circ x$ pentru orice $x,y$.
• Element neutru: $e$ cu $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$; se află din $x\circ e=x$, egalitate care trebuie să fie adevărată pentru orice $x$.
• Element simetric: $x^{\prime }$ cu $x\circ x^{\prime }=x^{\prime }\circ x=e$; trebuie verificat că $x^{\prime }$ aparține mulțimii.
• Forma „produs”: multe legi se scriu $x\circ y=a(x-b)(y-b)+b$; atunci $x\circ b=b\circ x=b$, iar calculele lungi, de tipul $1\circ 2\circ \dots \circ 2026$, devin imediate.
• Grup: lege internă, asociativă, cu element neutru și cu toate elementele simetrizabile (abelian dacă este și comutativă); un morfism $f$ verifică $f(x\circ y)=f(x)\ast f(y)$.

Teoria completă și exemple: legi de compoziție, legi de compoziție — exerciții rezolvate, grup abelian; exersează cu fișele legi de compoziție și grupuri.

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info)

45 cerințe din 15 variante M1 (2020–2027). Tipurile de cerințe:

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Element neutru	7	M1 2024 sim. b), M1 2023 iun. b), M1 2022 aug. b), M1 2022 iun. b), M1 2022 sim. b), M1 2021 sim. b), M1 2020 aug. b)
Asociativitate și comutativitate	1	M1 2026 sim. c)
Ecuații, inecuații, determinarea unor valori	14	M1 model 2027 b), M1 model 2027 c), M1 2026 iun. b), M1 2026 iun. c), M1 2026 sim. b), M1 2025 sim. b), M1 2024 sim. c), M1 2023 sim. c), M1 2022 aug. c), M1 2022 iun. c), M1 2021 aug. c), M1 2021 iun. c), M1 2021 sim. c), M1 2020 iun. c)
Calculul direct al unei compuneri	13	M1 model 2027 a), M1 2026 iun. a), M1 2026 sim. a), M1 2025 sim. a), M1 2024 sim. a), M1 2023 iun. a), M1 2022 aug. a), M1 2022 iun. a), M1 2021 aug. a), M1 2021 iun. a), M1 2021 sim. a), M1 2020 aug. a), M1 2020 iun. a)
Demonstrații (forma legii, proprietăți)	10	M1 2025 sim. c), M1 2023 iun. c), M1 2023 sim. a), M1 2023 sim. b), M1 2022 sim. a), M1 2022 sim. c), M1 2021 aug. b), M1 2021 iun. b), M1 2020 aug. c), M1 2020 iun. b)

Model Bac 2027 M1 (oficial) — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=2(x-1)(y-2)+2$.

a) Arătați că $3\ast 4=10$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $a$ pentru care $a\ast x=x$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați tripletele $(m,n,p)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n\le p$, pentru care $m\ast (n\ast p)=26$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y$​$={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-3)(y-3)+3$.

a) Arătați că $0\ast 2=5$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast {\displaystyle \frac{3x}{2}}$​$=5x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast m\ast n=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y$​$=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}$, unde $m\in [-4,+\mathrm{\infty })$.

a) Pentru $m=3$, arătați că $0\ast 1=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru $m=7$, determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (2x)=5$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați $m\in [-4,+\mathrm{\infty })$ pentru care legea de compoziție „$\ast$” este asociativă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M1 — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=(0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y$​$=\sqrt{xy}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{xy}}}+{\displaystyle \frac{x+y}{2}}-2$.

a) Arătați că $1\ast 4=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că mulțimea $[1,+\mathrm{\infty })$ este parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M1 — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y$​$={\displaystyle \frac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}}$.

a) Arătați că $1\ast 2=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=5$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y$​$=xy+(2^x-2)(2^y-2)$.

a) Arătați că $2\circ 3=18$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că $x\circ (-x)\le 1$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M1 — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[-1,1]$ se definește legea de compoziție $x\ast y$​$={\displaystyle \frac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}}$.

a) Arătați că $1\ast {\displaystyle \frac{1}{2}}$​$={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $x\ast (-x)\ge -x^2$, pentru orice $x\in M$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(a,b)$ de numere din mulțimea $M$ pentru care $a\ast b=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y$​$={\displaystyle \frac{xy(x+y)}{xy+1}}$.

a) Arătați că $1\ast 3=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n$, pentru care ${\displaystyle \frac{1}{m}}\ast {\displaystyle \frac{1}{n}}$​$={\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot (m\ast n)$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y$​$={\displaystyle \frac{2x}{y+2}}+{\displaystyle \frac{2y}{x+2}}$.

a) Arătați că $1\ast 0=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați $x\in M$, $x$ nenul, pentru care $x\ast {\displaystyle \frac{4}{x}}=x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M1 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $z_1\ast z_2$​$={\displaystyle \frac{z_1+z_2}{4\cdot \left|z_1{z}_2\right|+1}}$.

a) Arătați că $(-1)\ast 2={\displaystyle \frac{1}{9}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea $|z\ast z|=|z|$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y$​$=xy-m(x+y)+m(m+1)$, unde $m\in (0,+\mathrm{\infty })$.

a) Pentru $m=1$, arătați că $2\circ 2=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că, dacă $2\circ 1=5$, atunci $2\circ 5=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $x$, știind că $\left(m{x}^3\right)\circ (-m{x}^2)$​$=m$, pentru orice $m\in (0,+\mathrm{\infty })$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y$​$={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+y+|x-y|)$.

a) Arătați că $2\ast 0=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a\le b$, atunci $a\ast b=b$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x)\ast (x^2+1)\ast (-2x)$​$=10$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M1 — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=(2,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y$​$=(x-1{)}^{{\log }_3(y-1)}+1$.

a) Arătați că $5\ast 10=17$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x\ast x=x\ast x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-4(x+y)+a$, unde $a$ este număr real.

a) Pentru $a=10$, arătați că $1\ast 2=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru $a=20$, arătați că $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că, dacă $a\in [20,+\mathrm{\infty })$, atunci mulțimea $H=[4,+\mathrm{\infty })$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea $A=[1,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y$​$={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt[3]{x^3{y}^3-x^3-y^3+9}$.

a) Arătați că $1\ast 2020=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că $x\ast y$​$=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{8}}(x^3-1)(y^3-1)+1}$, pentru orice $x,y\in A$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați $x\in A$ pentru care $x\ast x=x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii)

57 cerințe din 19 variante M2 (2020–2027). Tipurile de cerințe:

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Element neutru	5	M2 2025 aug. b), M2 2025 sim. b), M2 2023 sim. b), M2 2022 sim. b), M2 2021 sim. b)
Elemente simetrizabile	2	M2 model 2027 c), M2 2026 sim. c)
Ecuații, inecuații, determinarea unor valori	25	în aproape fiecare variantă (vezi lista de mai jos)
Calculul direct al unei compuneri	19	M2 model 2027 a), M2 2026 aug. a), M2 2026 sim. a), M2 2025 aug. a), M2 2025 iun. a), M2 2025 sim. a), M2 2024 aug. a), M2 2024 iun. a), M2 2024 sim. a), M2 2023 iun. a), M2 2023 sim. a), M2 2022 aug. a), M2 2022 iun. a), M2 2022 sim. a), M2 2021 aug. a), M2 2021 iun. a), M2 2021 sim. a), M2 2020 aug. a), M2 2020 iun. a)
Demonstrații (forma legii, proprietăți)	6	M2 2022 aug. b), M2 2022 sim. c), M2 2021 aug. b), M2 2021 aug. c), M2 2021 iun. b), M2 2020 aug. b)

Model Bac 2027 M2 (oficial) — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=(x-7)(y-7)+7$, cu elementul neutru $e=8$.

a) Arătați că $2\ast 3=27$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (x+8)=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul întreg $n$, $n\ne 7$, știind că ${\displaystyle \frac{5n}{3}}$ este simetricul lui $n$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=5-{\displaystyle \frac{x+y}{2}}+xy$.

a) Arătați că $1\ast 3=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 5=2x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $(m-n)\ast (m+n)=m^2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5$, cu elementul neutru $e=11$.

a) Arătați că $7\circ 8=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ (6x-1)=10$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele naturale $n$, $n\ne 5$, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „$\circ$” sunt numere naturale pare. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=\frac{1}{4}(x+1)(y+1)-1$.

a) Arătați că $1\circ 5=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m\le n$, pentru care $m\circ n=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-\sqrt{xy}$.

a) Arătați că $1\ast 4=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast (9x)=x^2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\ast 2^{x+2}=6^x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x\cdot 3^y+y\cdot 3^x$.

a) Arătați că $1\circ 2=15$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real nenul $x$ pentru care $x\circ (3x)=(2x)\circ (2x)$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+y)(4-x-y)$.

a) Arătați că $0\ast 3=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast 1=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele naturale $n$ pentru care numărul $N=(n+5)\ast (n-5)$ este natural. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-2x-3y+6$.

a) Arătați că $2\ast 2=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 6=x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x\ast (2\ast x)\ge 2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M2 — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=(0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}$.

a) Arătați că $1\circ 8=7$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați $x\in M$ pentru care $x\circ {\displaystyle \frac{3}{x}}=x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $(n\circ (n+2))\circ (n+4)>{\displaystyle \frac{n^2}{2}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x^2-4xy+3y^2$.

a) Arătați că $0\circ 2=12$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x)\circ x=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m<n$, pentru care $m\circ n=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M2 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+x+y-1+2^{xy}$.

a) Arătați că $1\ast 2=8$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $n\ast (-\frac{1}{n})=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=4(xy+1)-3(x+y)$.

a) Arătați că $1\circ 2=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că, dacă $a\circ 3=4$, atunci $a\circ (-a)=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $(x\circ 1)\circ (x-1)\le 4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(2x-1)(2y-1)+1$.

a) Arătați că $1\ast 2=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care $m\ast (1+{\displaystyle \frac{1}{m}})=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M2 — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[1,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}$.

a) Arătați că $2\ast 5=8$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că $(nx)\ast y\ge x(n\ast y)$, pentru orice $x,y\in M$ și orice număr natural $n$, $n\ge 2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea $A=[0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\circ y=4^{xy}-(1-x-y)$.

a) Arătați că $2\circ 0=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $x\circ {\displaystyle \frac{1}{x}}\ge 5$, pentru orice $x\in A$, $x\ne 0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale impare, atunci $m\circ n$ este număr natural impar. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x^2+y^2+x+y$.

a) Arătați că $(-1)\ast (-1)=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că $x\ast y={(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x^2\ast x^2\le 4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M2 — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y={\log }_2(2^x+2^y-1)$.

a) Arătați că $0\ast 2021=2021$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast (x+1)\ast (x+2)={\log }_{2}54$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea $M=[0,+\mathrm{\infty })$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}$.

a) Arătați că $3\ast 3=12$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că $x\ast 0=0\ast x=x$, pentru orice $x\in M$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați $x\in M$ pentru care $(x^2+2x)\ast 3=7$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+\sqrt[3]{y}-2$.

a) Arătați că $1\circ 1=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $a$ pentru care $x\circ a=x$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x^6=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic)

51 cerințe din 17 variante M3 (2020–2027). Tipurile de cerințe:

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Element neutru	4	M3 2026 sim. b), M3 2025 sim. c), M3 2021 iun. b), M3 2021 sim. b)
Asociativitate și comutativitate	3	M3 2024 iun. b), M3 2022 sim. b), M3 2020 iun. b)
Ecuații, inecuații, determinarea unor valori	22	în aproape fiecare variantă (vezi lista de mai jos)
Calculul direct al unei compuneri	17	M3 model 2027 a), M3 2026 iun. a), M3 2026 sim. a), M3 2025 sim. a), M3 2024 iun. a), M3 2024 sim. a), M3 2023 aug. a), M3 2023 iun. a), M3 2023 sim. a), M3 2022 aug. a), M3 2022 iun. a), M3 2022 sim. a), M3 2021 aug. a), M3 2021 iun. a), M3 2021 sim. a), M3 2020 aug. a), M3 2020 iun. a)
Demonstrații (forma legii, proprietăți)	5	M3 2024 sim. c), M3 2023 aug. c), M3 2022 iun. c), M3 2020 aug. b), M3 2020 iun. c)

Model Bac 2027 M3 (oficial) — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=4x+4y-9$.

a) Arătați că $1\ast 3=7$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast (-2x)=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați cel mai mare număr natural $n$ pentru care $(n-1)\ast (n\ast (n+1))$​$>3n^2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(4-x)(4-y)+2$.

a) Arătați că $0\ast 3=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $2\ast x=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi pentru care $(2m)\ast (2n+1)=10$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M3 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-3x-3y+12$.

a) Arătați că $2\ast 5=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $a$ pentru care $(a-x)\ast (a-x)=(a+x)\ast (a+x)$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M3 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

a) Arătați că $0\ast 2=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (2x)=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Știind că $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”, determinați numărul real $x$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „$\ast$” este $4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2(x+y)-xy-4$.

a) Arătați că $1\circ 3=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\circ n\ge n-2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M3 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-x-y+2$.

a) Arătați că $2\circ 3=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 4=x+6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că $(x-2)\circ (x+2)\ge -3$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+2x-y-1$.

a) Arătați că $1\ast 1=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 2=x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că $(1-x)\ast x\le 2$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$.

a) Arătați că $5\ast 4=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 6=6x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care ${\displaystyle \frac{4}{n}}\ast n>4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M3 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=4xy-3x+2y-1$.

a) Arătați că $1\ast 2=8$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast (-1)=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $a$ pentru care $x\ast a=-x$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy(x+y-4)$.

a) Arătați că $2\ast 3=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $1\ast x=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\ast 2^x=2^{3x}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+2y)(y+2x)+2$.

a) Arătați că $1\ast 1=11$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast 0=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că $x\ast {\displaystyle \frac{1}{x}}>7$, pentru orice număr real nenul $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M3 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+y)(x-1)(y-1)+1$.

a) Arătați că $2\ast 1=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\ast (1-n)\ge n^2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=3x+4y-25$.

a) Arătați că $3\circ 4=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $(2x)\circ x=5$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele întregi $m$ pentru care $m^2\circ 1\ge 1\circ m^2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=3-(x-3)(y-3)$.

a) Arătați că $1\ast 3=3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că $e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x\ast (x+6)\ge 3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M3 — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y+x^2{y}^2$.

a) Arătați că $1\ast 2=7$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele întregi $x$ pentru care $(-2)\ast x\le 3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x^2+xy-x-y+1$.

a) Arătați că $3\ast 2=11$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că $x\ast (-x)=1$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\ast 4=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2$.

a) Arătați că $3\circ (-1)=10$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că $x\circ 1\ge 2$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de Bac: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Polinoame la Bac (II.2).

Întrebări frecvente

Ce se cere la Bac la legea de compoziție? Se dă o lege pe o mulțime și se cer trei cerințe de câte 5 puncte: un calcul direct sau o proprietate (asociativitate, comutativitate, element neutru), apoi elemente simetrizabile sau o ecuație cu legea, iar la final o ecuație, o inegalitate ori un calcul lung de tipul x∘x∘…∘x.

Cum aflu elementul neutru al unei legi de compoziție? Pui condiția x∘e = x pentru orice x din mulțime, rezolvi după e (coeficienții lui x trebuie să se potrivească) și verifici că e aparține mulțimii și că e∘x = x (dacă legea nu este comutativă).

Cum calculez rapid 1∘2∘…∘n? Scrii legea sub forma x∘y = a(x−b)(y−b)+b. Atunci b∘x = x∘b = b, deci dacă b apare printre termeni, rezultatul întregului șir de compuneri este b, datorită asociativității.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.