Polinoame la Bac: subiecte rezolvate, Subiectul II.2

Q: Ce se cere la Bac la problema cu polinoame?

Se dă un polinom, de obicei de gradul 3 sau 4, adesea cu un parametru, și se cer trei cerințe de câte 5 puncte: o valoare sau un parametru, câtul și restul unei împărțiri sau o rădăcină, iar la final o relație între rădăcini, rezolvată cu relațiile lui Viète.

Q: Cum aflu restul împărțirii unui polinom la X − a?

Cu teorema restului: restul este f(a). Dacă f(a) = 0, polinomul este divizibil cu X − a. Câtul îl afli cu schema lui Horner sau prin împărțire directă.

Q: Cum folosesc relațiile lui Viète la Bac?

Exprimi suma cerută (de exemplu x₁² + x₂² + x₃² sau 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃) prin sumele s₁ = x₁ + x₂ + x₃, s₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ și s₃ = x₁x₂x₃, care se citesc direct din coeficienții polinomului.

Polinoamele apar la Bacalaureat la Subiectul al II-lea, problema 2 (15 puncte, cerințele a, b, c), mai ales la M1 (mate-info), dar și la M2 (științele naturii) și, în ultimii ani, la M3 (filiera tehnologică). Aici găsești toate cele 36 de cerințe din 12 de variante oficiale rezolvate pe site (2023–2026), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. De regulă, a) este un calcul direct cu polinomul, b) cere câtul sau restul unei împărțiri ori un parametru, iar c) folosește relațiile lui Viète sau rădăcinile polinomului.

M1 (mate-info)M2 (științele naturii)M3 (tehnologic)

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

Teorema împărțirii cu rest: pentru $g \neq 0$ există unice $q$ și $r$ cu $f = g \cdot q + r$ și $grad r < grad g$ .
Teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ ; Bézout: $X - a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ . Câtul se obține rapid cu schema lui Horner.
Relațiile lui Viète pentru $f = a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ : $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ , $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ .
Sume utile: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ ; dacă $x_{i}$ este rădăcină, atunci $f (x_{i}) = 0$ , iar aceste egalități se pot aduna pentru $i = 1, 2, 3$ .
Rădăcini conjugate: dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcina $a + b i$ , are și rădăcina $a - b i$ ; dacă are coeficienți raționali și rădăcina $a + \sqrt{b}$ (cu $\sqrt{b}$ irațional), are și $a - \sqrt{b}$ .

Toate formulele de algebră pentru examen sunt pe pagina formule Bac M1 și M2; despre autorul relațiilor citește pagina François Viète.

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info)

18 cerințe din 6 variante M1 (2023–2026). Tipurile de cerințe:

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Împărțirea polinoamelor (cât, rest)	4	M1 2026 aug. b), M1 2025 aug. c), M1 2025 iun. b), M1 2024 iun. b)
Relațiile lui Viète	5	M1 2025 aug. b), M1 2025 iun. c), M1 2024 aug. c), M1 2024 iun. c), M1 2023 aug. c)
Rădăcinile polinomului	3	M1 2026 aug. c), M1 2024 aug. b), M1 2023 aug. b)
Calcul cu polinomul	6	M1 2026 aug. a), M1 2025 aug. a), M1 2025 iun. a), M1 2024 aug. a), M1 2024 iun. a), M1 2023 aug. a)

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + X^{2} + a X + 8$ , unde $a$ este număr real.

a) Arătați că $f (0) = 8$ , pentru orice număr real $a$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $a$ pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului $f$ este egal cu $2$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f$ $= X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} - 2 X + m$ , unde $m$ este număr real.

a) Pentru $m = 3$ , arătați că $f (1) = 0$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale $m$ pentru care $(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})^{2} - x_{1} - x_{2} - x_{3} - x_{4}$ $= 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ și $x_{4}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru $m = 0$ , determinați numerele reale $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X - a$ este egal cu $a$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = a X^{3} + 3 X^{2} - a X - 6$ , unde $a$ este număr real nenul.

a) Arătați că $f (1) = - 3$ , pentru orice număr real nenul $a$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru $a = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^{2} + 3 X - 1$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3})$ $= 1$ , unde $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + X + 2 - a$ , unde $a$ este număr real.

a) Arătați că $f (1) = 4$ , pentru orice număr real $a$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru $a = 2$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $a$ pentru care $(x_{1} - x_{1}^{2}) (x_{2} - x_{2}^{2}) (x_{3} - x_{3}^{2})$ $= 4$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 2 X^{2} - a X + 2 a$ , unde $a$ este număr real.

a) Arătați că $f (2) = 0$ , pentru orice număr real $a$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru $a = 1$ , arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 1$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați $a \in (0, + \infty)$ pentru care $| x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} |$ $= 8$ , unde $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f$ $= X^{4} + 2 X^{3} - 8 X^{2} + 3 m X + m$ , unde $m$ este număr real.

a) Pentru $m = 2$ , arătați că $f (1) = 3$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru $m = 0$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul rațional $m$ pentru care polinomul $f$ are rădăcina $x_{1} = 1 + \sqrt{3}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii)

6 cerințe din 2 variante M2 (2023–2026). Tipurile de cerințe:

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Împărțirea polinoamelor (cât, rest)	2	M2 2026 iun. b), M2 2023 aug. b)
Relațiile lui Viète	2	M2 2026 iun. c), M2 2023 aug. c)
Calcul cu polinomul	2	M2 2026 iun. a), M2 2023 aug. a)

Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} - a X + 2 + a$ , unde $a$ este număr real.

a) Arătați că $f (1) = 3$ , pentru orice număr real $a$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + 2 X^{2} + m X - 3$ , unde $m$ este număr real.

a) Pentru $m = 0$ , arătați că $f (1) = 0$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X + 1$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $m$ pentru care $(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) (1 - x_{3}) = x_{1} x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic)

12 cerințe din 4 variante M3 (2024–2026). Tipurile de cerințe:

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Împărțirea polinoamelor (cât, rest)	2	M3 2026 aug. c), M3 2025 iun. c)
Relațiile lui Viète	3	M3 2025 aug. c), M3 2025 iun. b), M3 2024 aug. c)
Rădăcinile polinomului	3	M3 2026 aug. b), M3 2025 aug. b), M3 2024 aug. b)
Calcul cu polinomul	4	M3 2026 aug. a), M3 2025 aug. a), M3 2025 iun. a), M3 2024 aug. a)

Bac 2026 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + m$ , unde $m$ este număr real.

a) Pentru $m = 9$ , arătați că $f (- 1) = 7$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $m$ pentru care $2$ este rădăcină a polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X - 4$ este egal cu $14$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - X - m$ , unde $m$ este număr real.

a) Arătați că $f (1) = 0$ , pentru orice număr real $m$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru $m = - 3$ , arătați că $3$ este rădăcină a polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real $m$ pentru care ${(x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})}^{2} +$ $x_{1} x_{2} x_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} + X + m$ , unde $m$ este număr real.

a) Pentru $m = 1$ , arătați că $f (1) = 0$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $m$ pentru care $2 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 1 + x_{1} x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X - 2$ este $- 5$ , arătați că $f$ este divizibil cu polinomul $X^{2} + 1$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul II.2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} + 2 X - 5$ , unde $m$ este număr real.

a) Arătați că $f (0) = - 5$ , pentru orice număr real $m$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real $m$ , știind că $1$ este rădăcină a polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul natural $m$ pentru care $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 5$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de Bac: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Legi de compoziție la Bac (II.2).

Întrebări frecvente

Ce se cere la Bac la problema cu polinoame? Se dă un polinom, de obicei de gradul 3 sau 4, adesea cu un parametru, și se cer trei cerințe de câte 5 puncte: o valoare sau un parametru, câtul și restul unei împărțiri sau o rădăcină, iar la final o relație între rădăcini, rezolvată cu relațiile lui Viète.

Cum aflu restul împărțirii unui polinom la X − a? Cu teorema restului: restul este f(a). Dacă f(a) = 0, polinomul este divizibil cu X − a. Câtul îl afli cu schema lui Horner sau prin împărțire directă.

Cum folosesc relațiile lui Viète la Bac? Exprimi suma cerută (de exemplu x₁² + x₂² + x₃² sau 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃) prin sumele s₁ = x₁ + x₂ + x₃, s₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ și s₃ = x₁x₂x₃, care se citesc direct din coeficienții polinomului.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2

Polinoame la Bacalaureat — subiecte rezolvate (M1, M2, M3)