Pe această pagină găsești 8 exerciții rezolvate cu legi de compoziție, de tipul celor de la Bacalaureat M1 și M2: forma factorizată \( x\circ y=(x-k)(y-k)+k \), elementul neutru, elementele simetrizabile, asociativitatea, comutativitatea, partea stabilă și ecuațiile cu legi. Teoria completă (definiții, condiții, tabel rezumat) este pe pagina legi de compoziție.
Metoda pe scurt
- Comutativitate: arăți că \( x\circ y=y\circ x \) pentru orice \( x,y \) (expresia este simetrică în \( x \) și \( y \)).
- Asociativitate: calculezi separat \( (x\circ y)\circ z \) și \( x\circ(y\circ z) \) și arăți că dau aceeași expresie.
- Element neutru: rezolvi \( x\circ e=x \) pentru orice \( x \); \( e \) trebuie să fie o constantă din mulțime.
- Simetrizabile: rezolvi \( x\circ x'=e \) în necunoscuta \( x' \) și verifici că \( x' \) aparține mulțimii.
- Parte stabilă: pentru \( x,y\in H \) arăți că \( x\circ y\in H \).
Legea tip Bac: x∘y = xy − k(x + y) + c
Cea mai frecventă lege de la examen are forma \( x\circ y=xy-kx-ky+c \). Completând produsul obținem
Legea este asociativă exact atunci când \( c=k^2+k \); în acest caz
și toate rezultatele se citesc direct din forma factorizată:
| Ce se cere | Rezultat pentru \( x\circ y=(x-k)(y-k)+k \) |
|---|---|
| Asociativitate | \( (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)=(x-k)(y-k)(z-k)+k \) |
| Element neutru | \( e=k+1 \) |
| Simetricul lui \( x\neq k \) | \( x'=k+\dfrac{1}{x-k} \) |
| Element „absorbant” | \( x\circ k=k\circ x=k \); \( k \) nu are simetric |
| Parte stabilă | \( (k,\infty) \) și \( [k,\infty) \) |
| Compunere repetată | \( \underbrace{x\circ x\circ\cdots\circ x}_{n}=(x-k)^n+k \) |
Dacă \( c\neq k^2+k \), legea nu este asociativă; demonstrezi asta cu un contraexemplu numeric (Exercițiul 3). Cazul general \( x\circ y=axy+b(x+y)+c \) este tratat pe pagina de teorie.
Pentru exersare suplimentară: fișă de lucru legi de compoziție, clasa a 12-a, cu 17 exerciții și răspunsuri. Când legea are toate proprietățile de mai sus pe o mulțime, obții un grup abelian.
Întrebări frecvente
Cum aflu elementul neutru al unei legi de compoziție? Pui condiția \( x\circ e=x \) pentru orice \( x \) din mulțime și rezolvi în \( e \). Pentru \( x\circ y=(x-k)(y-k)+k \) obții \( (x-k)(e-k)=x-k \), deci \( e=k+1 \). Dacă legea nu este comutativă, verifici și \( e\circ x=x \).
Cum demonstrez că o lege nu este asociativă? Găsești trei numere concrete \( x,y,z \) pentru care \( (x\circ y)\circ z\neq x\circ(y\circ z) \). Un singur contraexemplu este suficient; pentru a demonstra asociativitatea, în schimb, ai nevoie de un calcul pentru orice \( x,y,z \).
De ce elementul k nu are simetric? Pentru \( x=k \) ecuația \( (x-k)(x'-k)=1 \) devine \( 0=1 \), imposibil. În plus, \( k\circ y=k \) pentru orice \( y \), deci \( k \) „absoarbe” orice element.
Cum calculez 1∘2∘3∘…∘2026? Folosești asociativitatea și comutativitatea pentru a grupa termenii. Dacă printre ei apare elementul absorbant \( k \), rezultatul este \( k \); altfel aplici formula \( (x_1-k)(x_2-k)\cdots(x_n-k)+k \).