Fișă de lucru grupuri clasa a 12-a — 17 exerciții cu răspunsuri, printabilă

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 12-a despre grupuri: verificarea axiomelor, grupul claselor de resturi \(\mathbb{Z}_n\), subgrupuri, ordinul unui element, morfisme și izomorfisme. Exercițiile marcate (M1) sunt doar pentru programa M1; răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — grupuri, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Exercițiile marcate (M1) sunt pentru programa M1 (mate-info).

I. Nivel ușor

  1. Completează tabla adunării în \(\mathbb{Z}_4\), apoi precizează elementul neutru și opusul fiecărui element.
  2. Calculează în \(\mathbb{Z}_6\): \(\hat{4}+\hat{5}\), \(\hat{4}\cdot\hat{5}\) și \(\hat{3}\cdot\hat{4}\).
  3. Arată că \((\mathbb{Z},\circ)\), unde \(x\circ y=x+y-3\), este grup comutativ.
  4. Adevărat sau fals? a) \((\mathbb{N},+)\) este grup; b) \((\mathbb{Q}^*,\cdot)\) este grup; c) \((\mathbb{Z},\cdot)\) este grup.
  5. Determină elementele inversabile ale monoidului \((\mathbb{Z}_8,\cdot)\).

II. Nivel mediu

  1. Pe \(G=(2,\infty)\) se definește \(x\circ y=xy-2x-2y+6\). Arată că \(G\) este parte stabilă a lui \(\mathbb{R}\) și că \((G,\circ)\) este grup comutativ.
  2. Pentru grupul de la exercițiul 6, calculează \(3\circ 4\circ 5\) și rezolvă ecuația \(x\circ x=6\).
  3. Rezolvă în \(\mathbb{Z}_7\) ecuația \(\hat{3}x+\hat{4}=\hat{2}\).
  4. (M1) Arată că \(H=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}\) este subgrup al grupului \((\mathbb{Z}_6,+)\).
  5. (M1) Determină ordinul elementului \(\hat{4}\) în \((\mathbb{Z}_6,+)\) și ordinul elementului \(\hat{3}\) în \((\mathbb{Z}_{10},+)\).
  6. (M1) Arată că \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\ln x\), este izomorfism de la grupul \(((0,\infty),\cdot)\) la grupul \((\mathbb{R},+)\).
  7. (M1) Fie \(x\circ y=x+y-3\) pe \(\mathbb{R}\). Arată că \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+3\), este izomorfism de la \((\mathbb{R},+)\) la \((\mathbb{R},\circ)\).

III. Nivel greu

  1. (M1) Arată că \(f:\mathbb{R}\to(2,\infty)\), \(f(x)=e^x+2\), este izomorfism de la \((\mathbb{R},+)\) la grupul \((G,\circ)\) de la exercițiul 6.
  2. (M1) Câte elemente de ordin 4 are grupul \((\mathbb{Z}_8,+)\)? Care sunt?
  3. (M1) Poate avea un grup cu 10 elemente un subgrup cu 4 elemente? Justifică.
  4. (M1) În grupul \((\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\) determină ordinul lui \(\hat{3}\) și arată că grupul este ciclic.
  5. (M1) Fie \(G=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}\mid x\in\mathbb{Z}\right\}\). Arată că \((G,\cdot)\) este grup și că \(f:\mathbb{Z}\to G\), \(f(x)=A(x)\), este izomorfism de la \((\mathbb{Z},+)\) la \((G,\cdot)\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. Neutrul \(\hat{0}\); opusele: \(-\hat{0}=\hat{0}\), \(-\hat{1}=\hat{3}\), \(-\hat{2}=\hat{2}\), \(-\hat{3}=\hat{1}\)
  2. \(\hat{3}\), \(\hat{2}\), \(\hat{0}\)
  3. Asociativă și comutativă; \(e=3\in\mathbb{Z}\); \(x'=6-x\in\mathbb{Z}\)
  4. a) F (2 nu are opus în \(\mathbb{N}\)); b) A; c) F (2 nu are invers în \(\mathbb{Z}\))
  5. \(\hat{1}\), \(\hat{3}\), \(\hat{5}\), \(\hat{7}\) (fiecare este propriul invers)
  6. \(x\circ y=(x-2)(y-2)+2\gt 2\); \(e=3\in G\); \(x'=2+\frac{1}{x-2}\in G\)
  7. \(3\circ 4\circ 5=1\cdot 2\cdot 3+2=8\); \(x=4\) (\(x=0\notin G\))
  8. \(x=\hat{4}\) (\(\hat{3}x=\hat{5}\), iar \(\hat{3}^{-1}=\hat{5}\))
  9. \(H\) conține \(\hat{0}\), e stabilă la adunare (\(\hat{2}+\hat{4}=\hat{0}\), \(\hat{4}+\hat{4}=\hat{2}\) etc.), iar \(-\hat{2}=\hat{4}\in H\)
  10. 3 (\(\hat{4}+\hat{4}+\hat{4}=\hat{0}\)); 10
  11. \(f(xy)=\ln x+\ln y=f(x)+f(y)\), iar \(f\) este bijectivă (inversa \(e^x\))
  12. \(f(x)\circ f(y)=2x+3+2y+3-3\) \(=2(x+y)+3=f(x+y)\); bijectivă, \(f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}\)
  13. \(f(x)\circ f(y)=e^x e^y+2\) \(=e^{x+y}+2=f(x+y)\); bijectivă, \(f^{-1}(y)=\ln(y-2)\)
  14. Două: \(\hat{2}\) și \(\hat{6}\) (ordinul lui \(\hat{k}\) este \(\frac{8}{(k,8)}\))
  15. Nu: după teorema lui Lagrange, ordinul subgrupului divide ordinul grupului, iar 4 nu divide 10
  16. Puterile lui \(\hat{3}\): \(\hat{3},\hat{2},\hat{6},\hat{4},\hat{5},\hat{1}\); ordinul 6, deci \(\hat{3}\) generează grupul
  17. \(A(x)A(y)=A(x+y)\in G\); neutrul \(A(0)=I_2\); \(A(x)^{-1}=A(-x)\); \(f(x+y)=f(x)f(y)\) și \(f\) e bijectivă

Teorie: Structuri algebrice — grupuri · Legi de compoziție · Formule clasa a 12-a · Alte fișe: toate fișele de lucru