Fișă de lucru legi de compoziție clasa a 12-a — 17 exerciții cu răspunsuri
Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 12-a (M1 și M2) despre legi de compoziție: calcul cu legi date, asociativitate și comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile și parte stabilă. Exercițiile urcă de la ușor la greu, iar răspunsurile sunt la final.
Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________
Fișă de lucru — legi de compoziție, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț.
I. Nivel ușor
- Pe \(\mathbb{R}\) se definește legea \(x\circ y=x+y-3\). Calculează \(2\circ 5\) și \((1\circ 2)\circ 4\).
- Pe \(\mathbb{R}\) se definește legea \(x * y=xy+2\). Calculează \(3*(-1)\) și verifică dacă \(0*5=5*0\).
- Arată că legea \(x\circ y=x+y-3\) este comutativă și asociativă pe \(\mathbb{R}\).
- Determină elementul neutru al legii \(x\circ y=x+y-3\).
- Determină simetricul numărului 5 în raport cu legea \(x\circ y=x+y-3\).
- Adevărat sau fals? Legea \(x*y=x-y\) pe \(\mathbb{Z}\) este comutativă.
II. Nivel mediu
- Pe \(\mathbb{R}\) se definește legea \(x\circ y=xy-2x-2y+6\). Arată că \(x\circ y=(x-2)(y-2)+2\), pentru orice \(x,y\in\mathbb{R}\).
- Determină elementul neutru al legii de la exercițiul 7.
- Determină elementele simetrizabile ale lui \(\mathbb{R}\) în raport cu legea de la exercițiul 7 și simetricul fiecăruia.
- Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația \(x\circ x=11\), pentru legea de la exercițiul 7.
- Arată că intervalul \(H=[2,\infty)\) este parte stabilă a lui \(\mathbb{R}\) în raport cu legea de la exercițiul 7.
- Pe \(\mathbb{Z}\) se definește legea \(x*y=x+y+xy\). Arată că \(x*y=(x+1)(y+1)-1\) și calculează \(1*2*3\).
III. Nivel greu
- Pe \(\mathbb{R}\) se definește legea \(x\circ y=2xy-6x-6y+21\). Arată că \(x\circ y=2(x-3)(y-3)+3\) și calculează \(1\circ 2\circ 3\circ\ldots\circ 2026\).
- Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care legea \(x*y=xy+2x+ay+2\) este comutativă, apoi determină elementul ei neutru.
- Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația \(x\circ x\circ x=10\), pentru legea \(x\circ y=xy-2x-2y+6\) de la exercițiul 7.
- Pe \(\mathbb{R}\) se definește legea \(x\circ y=x+y-xy\). Arată că \(x\circ y=1-(1-x)(1-y)\), că intervalul \((-\infty,1)\) este parte stabilă și determină elementele simetrizabile.
- (M1) Fie \(A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}\), \(x\in\mathbb{R}\), și \(M=\{A(x)\mid x\in\mathbb{R}\}\). Arată că \(A(x)\cdot A(y)=A(x+y)\), deci \(M\) este parte stabilă a lui \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) față de înmulțire; determină elementul neutru și inversa lui \(A(x)\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa
Răspunsuri
- \(2\circ 5=4\); \(1\circ 2=0\), deci \((1\circ 2)\circ 4=0\circ 4=1\)
- \(3*(-1)=-1\); \(0*5=5*0=2\), deci da
- \(x\circ y=y\circ x\) (adunarea e comutativă); \((x\circ y)\circ z=x+y+z-6=x\circ(y\circ z)\)
- \(e=3\) (\(x+e-3=x\))
- \(x'=6-x\), deci simetricul lui 5 este 1
- Fals: \(1*0=1\), dar \(0*1=-1\)
- \((x-2)(y-2)+2=\) \(xy-2x-2y+4+2=x\circ y\)
- \(e=3\) (\((x-2)(e-2)=x-2\) pentru orice \(x\) \(\Rightarrow e-2=1\))
- Toate \(x\ne 2\): \((x-2)(x'-2)=1\Rightarrow x'=2+\frac{1}{x-2}\); mulțimea lor este \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
- \((x-2)^2=9\Rightarrow x\in\{-1,5\}\)
- \(x,y\ge 2\) \(\Rightarrow(x-2)(y-2)\ge 0\) \(\Rightarrow x\circ y\ge 2\), deci \(x\circ y\in H\)
- \((x+1)(y+1)-1=xy+x+y\); \(1*2*3=2\cdot 3\cdot 4-1=23\)
- 3 (\(3\circ y=y\circ 3=3\) pentru orice \(y\), iar 3 apare în compunere)
- \(a=2\); \(x*y=(x+2)(y+2)-2\), elementul neutru \(e=-1\)
- \(x=4\) (\(x\circ x\circ x=(x-2)^3+2\), deci \((x-2)^3=8\))
- \(x,y\lt 1\) \(\Rightarrow(1-x)(1-y)\gt 0\) \(\Rightarrow x\circ y\lt 1\); \(e=0\); simetrizabile: \(x\ne 1\), cu \(x'=\frac{x}{x-1}\)
- \(A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&x+y\\0&1\end{pmatrix}\); neutrul \(A(0)=I_2\); \(A(x)^{-1}=A(-x)\)