Un grup abelian (grup comutativ) este o mulțime \( G \) cu o lege de compoziție \( \ast \) care este asociativă, are element neutru, în care orice element are simetric și care este comutativă: \( x\ast y=y\ast x \) pentru orice \( x,y\in G \). Exemple tipice: \( (\mathbb{Z},+) \), \( (\mathbb{Q}^*,\cdot) \), \( (\mathbb{Z}_n,+) \). Grupul matricelor inversabile \( GL_2(\mathbb{R}) \) este un grup care nu este abelian.
Definiția grupului abelian
Fie \( G \) o mulțime nevidă și \( \ast \) o lege de compoziție pe \( G \) (adică \( x\ast y\in G \) pentru orice \( x,y\in G \)). Perechea \( (G,\ast) \) este grup abelian dacă:
- (G1) asociativitate: \( (x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z) \), \( \forall\, x,y,z\in G \);
- (G2) element neutru: \( \exists\, e\in G \) astfel încât \( x\ast e=e\ast x=x \), \( \forall\, x\in G \);
- (G3) elemente simetrizabile: \( \forall\, x\in G \), \( \exists\, x'\in G \) cu \( x\ast x'=x'\ast x=e \);
- (G4) comutativitate: \( x\ast y=y\ast x \), \( \forall\, x,y\in G \).
Fără (G4) avem doar un grup. Numele vine de la matematicianul norvegian Niels Henrik Abel. Noțiunile de lege de compoziție, monoid, inel și corp sunt pe pagina structuri algebrice.
Cum demonstrezi că (G, ∗) este grup abelian
- Lege internă (parte stabilă): pentru \( x,y\in G \) arăți că \( x\ast y\in G \). Pasul este des uitat la Bac când \( G \) este un interval, de exemplu \( (1,\infty) \).
- Asociativitatea: calculezi ambii membri; la legile factorizabile \( (x-k)(y-k)+k \) ambii dau \( (x-k)(y-k)(z-k)+k \).
- Elementul neutru: îl afli din \( x\ast e=x \) și verifici că \( e\in G \).
- Simetricul: îl afli din \( x\ast x'=e \) și verifici că \( x'\in G \) pentru orice \( x\in G \).
- Comutativitatea: expresia lui \( x\ast y \) este simetrică în \( x \) și \( y \).
Calcule detaliate pentru fiecare pas găsești la legi de compoziție — exerciții rezolvate.
Exemple de grupuri abeliene
| Grup | Element neutru | Simetricul lui \( x \) |
|---|---|---|
| \( (\mathbb{Z},+) \), \( (\mathbb{Q},+) \), \( (\mathbb{R},+) \), \( (\mathbb{C},+) \) | \( 0 \) | \( -x \) (opusul) |
| \( (\mathbb{Q}^*,\cdot) \), \( (\mathbb{R}^*,\cdot) \), \( (\mathbb{C}^*,\cdot) \) | \( 1 \) | \( \dfrac{1}{x} \) (inversul) |
| \( \big((0,\infty),\cdot\big) \) | \( 1 \) | \( \dfrac{1}{x} \) |
| \( (\{-1,1\},\cdot) \), \( (\{1,-1,i,-i\},\cdot) \) | \( 1 \) | \( \dfrac{1}{x} \) |
| \( (\mathbb{Z}_n,+) \) | \( \hat{0} \) | \( \widehat{n-a} \) pentru \( x=\hat{a} \) |
| \( (\mathbb{Z}_p^*,\cdot) \), \( p \) prim | \( \hat{1} \) | inversul modulo \( p \) |
| \( (M_2(\mathbb{R}),+) \) — matrice cu adunarea | \( O_2 \) | \( -A \) |
| \( \left\{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}: a\in\mathbb{R}\right\} \) cu înmulțirea | \( I_2 \) | matricea cu \( -a \) |
| \( (\mathbb{Z},\ast) \), \( x\ast y=x+y-3 \) | \( 3 \) | \( 6-x \) |
Orice grup ciclic (generat de un singur element, ca \( \mathbb{Z}_n \)) este abelian. Orice grup cu cel mult 5 elemente este abelian.
Contraexemple: ce nu este grup abelian
- \( (\mathbb{N},+) \) nu este grup: \( 1 \) nu are opus în \( \mathbb{N} \) (\( -1\notin\mathbb{N} \)); este doar monoid comutativ.
- \( (\mathbb{Z},\cdot) \) nu este grup: numai \( 1 \) și \( -1 \) au invers în \( \mathbb{Z} \).
- \( (\mathbb{Q},\cdot) \) nu este grup: \( 0 \) nu are invers. Scoțând zero obții grupul abelian \( (\mathbb{Q}^*,\cdot) \).
- \( (\mathbb{Z},-) \) nu este grup: scăderea nu este asociativă, \( (5-3)-1=1 \), dar \( 5-(3-1)=3 \).
- \( (\mathbb{Z}_n,\cdot) \) nu este grup (\( \hat{0} \) nu este inversabil); \( (\mathbb{Z}_6^*,\cdot) \) nu este nici măcar lege internă: \( \hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{0} \).
- \( (GL_2(\mathbb{R}),\cdot) \), matricele de ordinul 2 cu determinant nenul, este grup, dar nu este abelian (Exemplul 4). Detalii la matricea inversabilă.
Proprietăți utile într-un grup abelian
- \( (x\ast y)'=x'\ast y' \) (în orice grup \( (x\ast y)'=y'\ast x' \), iar comutativitatea permite schimbarea ordinii);
- în notație multiplicativă, \( (xy)^n=x^ny^n \) pentru orice \( n\in\mathbb{Z} \);
- tabla operației (pentru grupuri finite) este simetrică față de diagonala principală;
- orice subgrup al unui grup abelian este tot abelian.
Întrebări frecvente
Ce este un grup abelian? Un grup în care legea este comutativă: \( x\ast y=y\ast x \) pentru orice \( x,y \). Se mai numește grup comutativ.
Care este diferența dintre grup și grup abelian? Un grup verifică asociativitatea, existența elementului neutru și a simetricelor. Grupul abelian verifică, în plus, comutativitatea. Orice grup abelian este grup, dar nu și invers: \( GL_2(\mathbb{R}) \) este grup neabelian.
Este (ℕ, +) grup abelian? Nu. Adunarea pe \( \mathbb{N} \) este asociativă, comutativă și are elementul neutru \( 0 \), dar niciun număr natural nenul nu are opus în \( \mathbb{N} \). \( (\mathbb{N},+) \) este doar monoid comutativ.
Cum arăt că un grup nu este abelian? Găsești două elemente concrete \( x,y \) cu \( x\ast y\neq y\ast x \). Pentru matrice, de exemplu, calculezi \( AB \) și \( BA \) și arăți că diferă.