Olimpiada de matematică 2023 națională, clasa a VII-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa națională, clasa a VII-a (11 aprilie 2023, Brașov), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $a_{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0, 2$ , iar $a_{n}$ schimbă semnul de o infinitate de ori; la paralelogram, $A$ , $N$ , $Q$ sunt coliniare exact când $P$ este mijlocul lui $O C$ ; la problema 3 se demonstrează $A M ⊥ B D$ și $3 \cdot P B = 2 \cdot C M$ ; la problema 4, $a$ , $b$ , $c$ sunt raționale.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională participă elevii calificați după etapa județeană. În 2023, etapa națională pentru clasele V–VI s-a desfășurat la Slobozia, între 10 și 13 aprilie, iar pentru clasele VII–VIII în județul Brașov, între 10 și 14 aprilie. Proba scrisă pentru clasa a VII-a a avut loc marți, 11 aprilie 2023, la Brașov (proba s-a dat la Cheile Grădiștei): 4 probleme, timp de lucru 4 ore (conform regulamentului olimpiadei din acel an). Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28 de puncte (fără puncte din oficiu).

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · partea fracționară, radicali)

Pentru $n$ număr natural definim

a_{n} = {\sqrt{n}} - {\sqrt{n + 1}} + {\sqrt{n + 2}} - {\sqrt{n + 3}} .

a) Arătați că $a_{1} > 0, 2$ .

b) Arătați că $a_{n} < 0$ pentru o infinitate de valori ale lui $n$ și $a_{n} > 0$ pentru o infinitate de valori ale lui $n$ . (Notația ${x}$ reprezintă partea fracționară a numărului real $x$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Avem ${\sqrt{1}}$ $= {\sqrt{4}}$ $= 0$ , ${\sqrt{2}}$ $= \sqrt{2} - 1$ și ${\sqrt{3}}$ $= \sqrt{3} - 1$ , deci

\begin{aligned} a_{1} & = 0 - {\sqrt{2}} + {\sqrt{3}} - 0 \\ = \sqrt{3} - 1 - (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{3} - \sqrt{2} . \end{aligned}

(1 p)

Cum $\sqrt{3} > 1, 7$ și $\sqrt{2} < 1, 5$ , rezultă $a_{1}$ $= \sqrt{3} - \sqrt{2}$ $> 1, 7 - 1, 5$ $= 0, 2$ . (1 p)

Observăm că, dacă $m$ este număr natural și $m^{2}$ $\leq a$ $< b$ $< (m + 1)^{2}$ , atunci $[\sqrt{a}]$ $= [\sqrt{b}]$ $= m$ și $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ , deci ${\sqrt{a}}$ $= \sqrt{a} - m$ $< \sqrt{b} - m$ $= {\sqrt{b}}$ . (1 p)
Astfel, dacă $m \geq 2$ este un număr natural și $m^{2}$ $\leq n$ $< n + 1$ $< n + 2$ $< n + 3$ $< (m + 1)^{2}$ (de exemplu $n = m^{2}$ , căci $m^{2} + 3 < m^{2} + 2 m + 1$ pentru $m \geq 2$ ), atunci ${\sqrt{n}}$ $< {\sqrt{n + 1}}$ și ${\sqrt{n + 2}}$ $< {\sqrt{n + 3}}$ , deci $a_{n} < 0$ . Avem câte un astfel de $n$ pentru fiecare $m \geq 2$ , deci o infinitate. (2 p)
Apoi, dacă $m \geq 2$ este un număr natural și $m^{2}$ $< n$ $< n + 1$ $< n + 2$ $< n + 3$ $= (m + 1)^{2}$ (adică $n = m^{2} + 2 m - 2$ ), atunci ${\sqrt{n + 1}}$ $< {\sqrt{n + 2}}$ , ${\sqrt{n}} \geq 0$ și ${\sqrt{n + 3}} = 0$ , deci $a_{n}$ $= {\sqrt{n}} + ({\sqrt{n + 2}} - {\sqrt{n + 1}})$ $> 0$ . Din nou, o infinitate de valori. (2 p)

Exemple: $a_{4}$ $= 0 - (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{6} - 2) - (\sqrt{7} - 2) \approx - 0, 43$ $< 0$ ; $a_{6}$ $= (\sqrt{6} - 2) - (\sqrt{7} - 2) + (\sqrt{8} - 2) - 0 \approx 0, 63$ $> 0$ .

Problema 2 (7 puncte · paralelogram, teorema fundamentală a asemănării, linia mijlocie)

În paralelogramul $A B C D$ punctul $O$ este intersecția diagonalelor sale, iar $M$ este mijlocul laturii $A B$ . Fie $P$ un punct al segmentului $O C$ și $Q$ intersecția dreptelor $M P$ și $B C$ . Paralela prin $O$ la $M P$ intersectează dreapta $C D$ în punctul $N$ . Arătați că punctele $A$ , $N$ și $Q$ sunt coliniare dacă și numai dacă $P$ este mijlocul segmentului $O C$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $R$ intersecția dreptelor $Q M$ și $C D$ .

„⇒” Dacă $A$ , $N$ , $Q$ sunt coliniare, atunci, cu teorema fundamentală a asemănării ( $R C ∥ M B$ și $C N ∥ A B$ ), $\frac{C R}{M B}$ $= \frac{Q C}{Q B}$ $= \frac{C N}{A B}$ și, cum $A B = 2 \cdot M B$ , reiese $C N = 2 \cdot C R$ , adică $R$ este mijlocul lui $C N$ . (2 p)
Din $R P ∥ O N$ ( $R$ și $P$ sunt pe dreapta $M P$ , paralelă cu $O N$ ) deducem că $R P$ este linie mijlocie în $△ C O N$ , deci $P$ este mijlocul lui $O C$ . (2 p)
„⇐” Reciproc, dacă $P$ este mijlocul lui $O C$ , atunci $R P$ (paralelă cu $O N$ , prin mijlocul lui $O C$ ) este linie mijlocie în $△ C O N$ , deci $C N = 2 \cdot C R$ . (1 p)
Fie $N^{'}$ intersecția dreptelor $A Q$ și $C D$ . Atunci, ca mai sus, $\frac{C N^{'}}{A B}$ $= \frac{Q C}{Q B}$ $= \frac{C R}{M B}$ , deci $C N^{'} = 2 \cdot C R = C N$ ; cum $N$ și $N^{'}$ sunt pe semidreapta $C D$ , $N$ coincide cu $N^{'}$ , adică $A$ , $N$ , $Q$ sunt coliniare. (2 p)

Problema 3 (7 puncte · triunghiul dreptunghic, asemănare, congruență)

Se consideră un triunghi $A B C$ care are $∠ B A C = 90^{\circ}$ și $∠ A B C = 60^{\circ}$ . Luăm punctele $D$ și $E$ pe laturile $A C$ , respectiv $A B$ , astfel încât $C D = 2 \cdot D A$ și $D E$ este bisectoarea unghiului $∠ A D B$ . Notăm cu $M$ intersecția dreptelor $C E$ și $B D$ , iar cu $P$ intersecția dreptelor $D E$ și $A M$ . Arătați că:

a) dreptele $A M$ și $B D$ sunt perpendiculare;

b) $3 \cdot P B = 2 \cdot C M$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $A B = a$ . Atunci $B C = 2 a$ (teorema unghiului de $30^{\circ}$ , căci $∠ A C B = 30^{\circ}$ ), $A C$ $= \sqrt{B C^{2} - A B^{2}}$ $= a \sqrt{3}$ , $A D = \frac{a}{3} \sqrt{3}$ , $B D$ $= \sqrt{A B^{2} + A D^{2}}$ $= \frac{2 a}{3} \sqrt{3}$ $= 2 A D$ . Rezultă, conform reciprocei teoremei unghiului de $30^{\circ}$ , că $∠ A B D = 30^{\circ}$ , deci $∠ A D B = 60^{\circ}$ . (2 p)
Obținem $∠ A D E$ $= 30^{\circ}$ $= ∠ A C B$ , deci $D E ∥ B C$ . Astfel $△ D M E \sim △ B M C$ și $△ A D E \sim △ A C B$ , de unde $\frac{D M}{M B}$ $= \frac{D E}{B C}$ $= \frac{A D}{A C}$ $= \frac{1}{3}$ . Deducem $\frac{D M}{D B}$ $= \frac{1}{4}$ , de unde $\frac{D M}{D A}$ $= \frac{D A}{D B}$ $= \frac{1}{2}$ , deci $△ D M A \sim △ D A B$ (L.U.L., unghiul $D$ comun), ceea ce implică $∠ A M D$ $= ∠ B A D$ $= 90^{\circ}$ . (2 p)

Fie $D F ∥ A M$ , $F \in C E$ . Atunci $\frac{C F}{C M}$ $= \frac{C D}{C A}$ $= \frac{2}{3}$ ; avem de arătat că $C F = P B$ (atunci $3 \cdot P B$ $= 3 \cdot C F$ $= 2 \cdot C M$ ). (1 p)
Avem $∠ D A M$ $= 90^{\circ} - ∠ A D B$ $= 30^{\circ}$ și $∠ A D E = 30^{\circ}$ , deci $D P = A P$ . Din $△ D P M$ (dreptunghic în $M$ , cu $∠ P D M = 30^{\circ}$ ) reiese $P M$ $= \frac{1}{2} D P$ $= \frac{1}{2} A P$ , de unde $\frac{M P}{M A}$ $= \frac{1}{3}$ $= \frac{M F}{M C}$ , ceea ce arată că $P F ∥ A C$ . Deducem că $A P F D$ este paralelogram, de unde $D F = A P = D P$ . Cum $∠ C D F$ $= ∠ D A M$ $= 30^{\circ}$ $= ∠ B D P$ și $B D$ $= \frac{2 a}{3} \sqrt{3}$ $= C D$ , obținem $△ C D F \equiv △ B D P$ (L.U.L.), deci $C F = B P$ , c.c.t.d. (2 p)

Problema 4 (7 puncte · numere raționale și iraționale)

a) Arătați că există numerele iraționale $a$ , $b$ , $c$ astfel încât numerele $a + b \cdot c$ , $b + a \cdot c$ și $c + a \cdot b$ să fie raționale.

b) Arătați că, dacă $a$ , $b$ , $c$ sunt numere reale astfel încât $a + b + c = 1$ și numerele $a + b \cdot c$ , $b + a \cdot c$ și $c + a \cdot b$ sunt raționale și nenule, atunci numerele $a$ , $b$ , $c$ sunt raționale.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Dacă luăm $a = b = c$ astfel încât $a$ să fie irațional și $a^{2} + a$ să fie rațional, cerința este demonstrată. Aceasta se întâmplă dacă, de exemplu, $a = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ : atunci $a + a^{2}$ $= a (a + 1)$ $= (\sqrt{2} - \frac{1}{2}) (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$ $= 2 - \frac{1}{4}$ $= \frac{7}{4}$ . (1 p)

Cum $b + a c$ și $c + a b$ sunt raționale, este rațional și numărul $b + c + a c + a b$ $= (b + c) (1 + a)$ $= (1 - a) (1 + a)$ $= 1 - a^{2}$ , deci $a^{2}$ este rațional. (2 p)
Analog, $b^{2}$ și $c^{2}$ sunt raționale. Cum $(a + b c)^{2}$ $= a^{2} + b^{2} c^{2} + 2 a b c$ este rațional, rezultă că $a b c$ este rațional. (2 p)
Așadar $a (a + b c) = a^{2} + a b c$ este rațional și, cum $a + b c$ este rațional nenul, deducem că $a$ $= \frac{a^{2} + a b c}{a + b c}$ este rațional. Analog, $b$ și $c$ sunt raționale. (2 p)

Baremul oficial conține și o soluție alternativă pentru b), prin eliminarea cazului în care $a$ , $b$ , $c$ sunt toate iraționale.

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $a_{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0, 2$ ; b) $a_{n} < 0$ pentru $n = m^{2}$ , $a_{n} > 0$ pentru $n = m^{2} + 2 m - 2$ ( $m \geq 2$ )
2	demonstrație (teorema fundamentală a asemănării, linia mijlocie)
3	demonstrație ( $△ D M A \sim △ D A B$ ; $△ C D F \equiv △ B D P$ )
4	a) de exemplu $a = b = c = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ ; b) demonstrație

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Partea întreagă și fracționară, radicali	fișă mulțimea numerelor reale · fișă radicali
2	Paralelogram, asemănare, linia mijlocie	fișă patrulatere · fișă asemănarea triunghiurilor
3	Triunghiul dreptunghic, unghiul de 30°, asemănare	fișă relații metrice · fișă Thales și linia mijlocie
4	Numere raționale și iraționale	fișă operații cu numere reale

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a VII-a? Patru probleme: un șir definit cu părți fracționare de radicali, o problemă de coliniaritate într-un paralelogram, un triunghi dreptunghic cu unghiul de $60^{\circ}$ (perpendicularitate și o relație între segmente) și o problemă despre numere raționale și iraționale.

Cât durează proba și cum se punctează la etapa națională a olimpiadei de matematică 2023? Subiectul are 4 probleme. Timpul de lucru a fost de 2 ore la clasele V–VI și de 4 ore la clasele VII–VIII. Fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28; se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte

Alte clase, etapa națională 2023: clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VIII-a. Clasa a VII-a, etapa județeană: 2023 · 2026. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 7-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, 11 aprilie 2023): soluțiile și baremul (documentul conține și enunțurile), publicate pe ssmr.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a VII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · partea fracționară, radicali)

Problema 2 (7 puncte · paralelogram, teorema fundamentală a asemănării, linia mijlocie)

Problema 3 (7 puncte · triunghiul dreptunghic, asemănare, congruență)

Problema 4 (7 puncte · numere raționale și iraționale)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe