Olimpiada de matematică 2024 națională, clasa a XII-a

Problemele de la Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa națională, clasa a XII-a (Târgu Mureș, 3 aprilie 2024), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: problema 1 folosește inversa lui $x + \sin x$ ; un corp cu $x^{2} y = y x^{2}$ este comutativ; limita de la problema 3 este $2 \int_{0}^{1} x f (x) d x$ ; problema 4 tratează corpurile finite.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. Etapa națională din 2024 pentru clasele IX–XII s-a desfășurat la Târgu Mureș (proba de clasa a XII-a: 3 aprilie 2024), cu elevii calificați de la etapa județeană. Subiectul a avut 4 probleme; conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte (punctaj maxim 28). Pe baza rezultatelor se acordă premiile și medaliile și se face selecția pentru barajele echipelor olimpice ale României.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · integrala inversei unei funcții, inegalități integrale)

Fie $f : R \to R$ o funcție continuă, cu proprietatea că $f (x) + \sin (f (x)) \geq x$ , pentru orice $x \in R$ . Arătați că

\int_{0}^{π} f (x) d x \geq \frac{π^{2}}{2} - 2.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $g : R \to R$ funcția definită prin $g (x) = x + \sin x$ . Atunci $g$ este o funcție continuă și derivabilă pe $R$ , cu $g^{'} (x) = 1 + \cos x > 0$ pentru orice $x \in ((2 k - 1) π, (2 k + 1) π)$ , $k \in Z$ . Rezultă că $g$ este strict crescătoare pe fiecare interval $[(2 k - 1) π, (2 k + 1) π]$ , deci $g$ este strict crescătoare pe $R$ . (2 p)

Cum $lim_{x \to - \infty} g (x)$ $= - \infty$ și $lim_{x \to \infty} g (x)$ $= \infty$ , $g$ este bijectivă, cu inversa $g^{- 1} : R \to R$ de asemenea continuă și strict crescătoare. (1 p)

Inegalitatea din ipoteză se transcrie atunci echivalent

g (f (x)) \geq x, \forall x \in R ⟺ f (x) \geq g^{- 1} (x), \forall x \in R .

(1 p)

Atunci $\int_{0}^{π} f (x) d x$ $\geq \int_{0}^{π} g^{- 1} (x) d x$ . (1 p)

Cum $g (0) = 0$ și $g (π) = π$ , din identitatea lui Young avem

\begin{aligned} \int_{0}^{π} g^{- 1} (x) d x & = π \cdot g (π) - 0 \cdot g (0) - \int_{0}^{π} g (x) d x \\ = π^{2} - (\frac{π^{2}}{2} - \cos π) + (0 - \cos 0) = \frac{π^{2}}{2} - 2. \end{aligned}

(1 p)

Obținem astfel inegalitatea căutată: $\int_{0}^{π} f (x) d x$ $\geq \frac{π^{2}}{2} - 2$ . (1 p)

Problema 2 (7 puncte · corpuri, centrul unui corp, comutativitate)

Fie $(K, +, \cdot)$ un corp cu proprietatea că $x^{2} y = y x^{2}$ , pentru orice $x, y \in K$ . Arătați că corpul $(K, +, \cdot)$ este comutativ.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $Z (K)$ $= {c \in K ∣ c x = x c, \forall x \in K}$ centrul corpului $K$ . Atunci $Z (K)$ este un subcorp al lui $K$ . (1 p)

Din ipoteză, pătratele sunt în centru, deci $2 \cdot a$ $= (a + 1)^{2} - a^{2} - 1 \in Z (K)$ , pentru orice $a \in K$ . (1 p)

Dacă caracteristica $char (K)$ a corpului $K$ este diferită de 2, atunci $2 \cdot 1$ este un element inversabil, aflat în centrul $Z (K)$ , astfel că

a = (2 \cdot 1)^{- 1} \cdot (2 \cdot a) \in Z (K), pentru orice a \in K,

și corpul $K$ este comutativ. (1 p)

Fie în continuare $char (K)$ $= 2$ . Pentru orice $a, b \in K$ avem că $w$ $= a b + b a$ $= (a + b)^{2} - a^{2} - b^{2} \in Z (K)$ . (1 p)

Cum $w \cdot a b$ $= a b \cdot w$ $= (a b)^{2} + a b^{2} a$ $= (a b)^{2} + a^{2} b^{2} \in Z (K)$ , dacă $w \neq 0$ , atunci $a, b \neq 0$ și $a b = w^{- 1} \cdot ((a b)^{2} + a^{2} b^{2}) \in Z (K)$ . Atunci $a \cdot (a b)$ $= (a b) \cdot a$ $= a \cdot (b a)$ , astfel că, simplificând la stânga cu $a$ , obținem că $a b = b a$ .

Dacă $w = 0$ , cum $1 = - 1$ (caracteristica 2), rezultă că $a b = - b a = b a$ . (2 p)

În concluzie, $a b = b a$ pentru orice $a, b \in K$ și corpul $K$ este comutativ. (1 p)

Problema 3 (7 puncte · integrale cu parametru, regula lui l’Hôpital)

Fie $f : [0, 1] \to R$ o funcție continuă, cu $f (1) = 0$ . Demonstrați existența și determinați valoarea limitei

lim_{\begin{matrix} t \to 1 \\ t < 1 \end{matrix}} (\frac{1}{1 - t} \cdot \int_{0}^{1} x (f (t x) - f (x)) d x) .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $g : [0, 1] \to R$ funcția definită prin $g (x) = x f (x)$ . Fiind continuă, $g$ admite primitive; fie $G : [0, 1] \to R$ primitiva funcției $g$ cu $G (0) = 0$ . Atunci $g (1) = f (1) = 0$ și

\int_{0}^{1} x f (x) d x = \int_{0}^{1} g (x) d x = G (1) .

(1 p)

iar (cu schimbarea de variabilă $u = t x$ )

\int_{0}^{1} x f (t x) d x = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1} t g (t x) d x = \frac{1}{t^{2}} \cdot G (t), t \in (0, 1] .

(2 p)

Rezultă că

\frac{1}{1 - t} \int_{0}^{1} x (f (t x) - f (x)) d x = \frac{1}{1 - t} (\frac{G (t)}{t^{2}} - G (1)) = \frac{1}{t^{2}} \cdot \frac{G (t) - t^{2} G (1)}{1 - t} .

(1 p)

Fie $u, v : [0, 1] \to R$ , $u (t) = G (t) - t^{2} G (1)$ , $v (t) = 1 - t$ . Funcțiile $u$ și $v$ sunt derivabile, cu $u^{'} (t) = g (t) - 2 t G (1)$ , $v^{'} (t) = - 1$ , și verifică

lim_{t ↗ 1} u (t) = lim_{t ↗ 1} v (t) = 0, lim_{t ↗ 1} \frac{u^{'} (t)}{v^{'} (t)} = 2 G (1) - g (1) = 2 G (1) .

(1 p)

Cu regula lui l’Hôpital rezultă atunci că există limita

lim_{t ↗ 1} (\frac{1}{1 - t} \int_{0}^{1} x (f (t x) - f (x)) d x) = lim_{t ↗ 1} \frac{1}{t^{2}} \cdot \frac{u (t)}{v (t)} = lim_{t ↗ 1} \frac{u (t)}{v (t)},

și aceasta este egală cu

lim_{t ↗ 1} \frac{u^{'} (t)}{v^{'} (t)} = 2 G (1) = 2 \int_{0}^{1} x f (x) d x .

(2 p)

Exemplu de control: pentru $f (x) = 1 - x$ , limita este $2 \int_{0}^{1} x (1 - x) d x$ $= \frac{1}{3}$ .

Problema 4 (7 puncte · corpuri finite, grupul multiplicativ)

Fie $L$ un corp finit, cu $q$ elemente. Arătați că:

a) Dacă $q \equiv 3 (\mod 4)$ și $n \in N$ , cu $n \geq 2$ , este un număr natural divizibil prin $q - 1$ , atunci $x^{n} = (x^{2} + 1)^{n}$ pentru orice element $x \in L^{*}$ .
b) Dacă există un număr natural $n \in N^{*}$ , cu $n \geq 2$ , astfel încât $x^{n} = (x^{2} + 1)^{n}$ pentru orice $x \in L^{*}$ , atunci $q \equiv 3 (\mod 4)$ și $q - 1$ divide $n$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Deoarece grupul multiplicativ $L^{*}$ are ordinul $q - 1$ , pentru orice $x \in L^{*}$ avem $x^{q - 1} = 1$ , și cum $n$ este un multiplu al lui $q - 1$ , rezultă că $x^{n} = 1$ , pentru orice $x \in L^{*}$ . (1 p)

Deoarece 4 nu divide ordinul $q - 1$ al grupului $L^{*}$ ( $q - 1 \equiv 2 (\mod 4)$ ), nu există în $L^{*}$ elemente de ordin 4, astfel că $x^{2} \neq - 1$ pentru orice $x \in L^{*}$ . Rezultă că $x^{2} + 1 \neq 0$ , deci $(x^{2} + 1)^{n} = 1$ , pentru orice $x \in L^{*}$ . Prin urmare, $x^{n} = (x^{2} + 1)^{n}$ , pentru orice $x \in L^{*}$ . (1 p)

b) Dacă $char (L)$ $= 2$ , ar rezulta că $1 = 1^{n} = (1^{2} + 1)^{n} = 0$ , ceea ce este fals. Prin urmare, $q$ este impar.

Dacă $q \equiv 1 (\mod 4)$ , considerăm un generator $a$ al grupului multiplicativ $L^{*}$ și fie $b = a^{\frac{q - 1}{4}}$ . Atunci $b$ este un element de ordin 4 în $L^{*}$ , astfel că $b^{2} \neq 1 = (b^{2})^{2}$ . Rezultă că $b^{2} = - 1$ și obținem că $b^{n} = (b^{2} + 1)^{n} = 0$ , ceea ce este fals. Prin urmare, $q \equiv 3 (\mod 4)$ . (2 p)

Considerăm submulțimile $A$ $= {x + x^{- 1} ∣ x \in L^{*}}$ și $H$ $= {x \in L^{*} ∣ x^{n} = 1}$ . Deoarece $L^{*}$ este comutativ, $H$ este un subgrup al lui $L^{*}$ . Conform ipotezei, pentru orice $y \in A$ există $x \in L^{*}$ cu $y$ $= x + x^{- 1}$ $= x^{- 1} (x^{2} + 1)$ , astfel că $y^{n}$ $= x^{- n} (x^{2} + 1)^{n}$ $= 1$ . Rezultă că $A \subseteq H$ . (1 p)

Fie $f : L^{*} \to A$ , $f (x) = x + x^{- 1}$ . Din definiția mulțimii $A$ , $f$ este surjectivă, astfel că $L^{*}$ $= ⋃_{y \in A} f^{- 1} (y)$ și

q - 1 = | L^{*} | = \sum_{y \in A} | f^{- 1} (y) | .

(1 p)

Fie $u, v \in L^{*}$ care verifică egalitatea $f (u) = f (v)$ . Echivalent,

u + u^{- 1} = v + v^{- 1} ⟺ u - v = v^{- 1} - u^{- 1} ⟺ (u - v) (u v - 1) = 0 ⟺ v \in {u, u^{- 1}} .

Cum $u$ $= u^{- 1} ⟺ u^{2}$ $= 1 ⟺ u \in {1, - 1}$ , rezultă că $| f^{- 1} (2 \cdot 1) | = | f^{- 1} (2 \cdot (- 1)) | = 1$ și $| f^{- 1} (y) | = 2$ , pentru orice $y \in A ∖ {2 \cdot 1, 2 \cdot (- 1)}$ . Obținem

q - 1 = 1 + 1 + 2 (| A | - 2) = 2 | A | - 2,

astfel că $| A | = \frac{q + 1}{2}$ . Cum $A \subseteq H$ , avem $| H |$ $\geq \frac{q + 1}{2}$ $> \frac{1}{2} | L^{*} |$ . Cum $H$ este un subgrup al lui $L^{*}$ (iar ordinul său divide $q - 1$ ), rezultă $H = L^{*}$ . Prin urmare, $x^{n} = 1$ pentru orice $x \in L^{*}$ .

Considerând un generator $a$ al grupului $L^{*}$ , avem $ord (a) = q - 1$ și $a^{n} = 1$ , de unde rezultă că $q - 1$ divide $n$ . (1 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	demonstrație: $\int_{0}^{π} g^{- 1} = \frac{π^{2}}{2} - 2$ , cu $g (x) = x + \sin x$
2	demonstrație (centrul corpului)
3	$2 \int_{0}^{1} x f (x) d x$
4	demonstrații: a) $x^{n} = 1 = (x^{2} + 1)^{n}$ ; b) $q \equiv 3 (\mod 4)$ , $q - 1 ∣ n$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Integrala definită, funcția inversă, identitatea lui Young
2	Structuri algebrice: corpuri, centrul unui corp
3	Integrale cu parametru, primitive, regula lui l’Hôpital
4	Corpuri finite, grupuri ciclice, ordinul unui element

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa națională, clasa a XII-a? Patru probleme: o inegalitate integrală pentru o funcție cu $f (x) + \sin f (x) \geq x$ , comutativitatea unui corp în care pătratele comută cu toate elementele, o limită cu integrală depinzând de parametrul $t$ și identitatea $x^{n} = (x^{2} + 1)^{n}$ într-un corp finit.

Cum se punctează subiectul de la etapa națională a olimpiadei de matematică 2024? Conform baremului oficial, fiecare dintre cele 4 probleme valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, pe pași, după barem; orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică 2024, etapa națională? Soluțiile și baremele de corectare de la etapa națională sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2024 — clasa a IX-a · clasa a X-a · clasa a XI-a. Aceeași clasă, etapa județeană: olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a XII-a. Alte competiții găsești la concursuri de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Târgu Mureș, 3 aprilie 2024): enunțurile, soluțiile și baremul (ssmr.ro). Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa națională — clasa a XII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · integrala inversei unei funcții, inegalități integrale)

Problema 2 (7 puncte · corpuri, centrul unui corp, comutativitate)

Problema 3 (7 puncte · integrale cu parametru, regula lui l’Hôpital)

Problema 4 (7 puncte · corpuri finite, grupul multiplicativ)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe