Olimpiada de matematică 2026 națională, clasa a V-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa națională, clasa a V-a (Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: cel mai mare număr primsum de două cifre este 73, cel mai mic primdif de trei cifre este 101, iar singurul număr de ambele tipuri este 5; există 12 numere $\overset{―}{a b c}$ la problema 2; $3^{a} + 3^{b} + 2$ este cub doar pentru $a = b = 1$ ; la jocul cu 22 de numere câștigă Ana.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană și națională. Etapa națională 2026 pentru clasele V–VIII s-a desfășurat între 30 martie și 3 aprilie 2026, la Drobeta-Turnu Severin (județul Mehedinți); proba scrisă a avut loc pe 31 martie 2026, data din antetul documentelor oficiale. Elevii de clasa a V-a calificați de la etapa județeană au primit același subiect: 4 probleme. Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 22,5 puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu (total 100).

Cum să folosești pagina: sunt probleme grele, de nivel național — citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30–40 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial, așa că vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (22,5 puncte · numere prime)

Un număr natural se numește primsum dacă este prim și se poate scrie ca suma a două numere naturale prime. Un număr natural se numește primdif dacă este prim și se poate scrie ca diferența a două numere naturale prime.

a) Determinați cel mai mare număr primsum de două cifre și cel mai mic număr primdif de trei cifre.

b) Determinați numerele care sunt simultan și de tip primsum, și de tip primdif.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: suma și diferența a două numere impare sunt numere pare. Un număr prim mai mare decât 2 este impar, deci unul dintre cele două numere prime folosite trebuie să fie 2 (singurul număr prim par).

a) Așadar un număr primsum se scrie ca suma dintre un număr prim și 2, iar un număr primdif de trei cifre se scrie ca diferența dintre un număr prim și 2.

Cel mai mic număr prim de trei cifre este $101$ , iar $101 = 103 - 2$ , cu $103$ prim. Deci cel mai mic număr primdif de trei cifre este 101. (3 p)
Verificăm cele mai mari numere prime de două cifre: $97 - 2 = 95$ , $89 - 2 = 87 = 3 \cdot 29$ , $83 - 2 = 81$ , $79 - 2 = 77$ nu sunt prime, dar $73 - 2 = 71$ este prim. Cea mai mare pereche de numere prime de două cifre cu diferența 2 este 71 și 73, deci cel mai mare număr primsum de două cifre este $73 = 71 + 2$ . (3 p)

Fie $p$ un număr primsum: $p = q + r$ , cu $q, r$ prime. Atunci $p > 2$ , deci $p$ este impar. Rezultă că unul dintre numerele $q, r$ este par, adică egal cu 2: $p - 2$ este prim. (3 p)
Dacă $p$ este și primdif, $p = t - s$ , cu $t, s$ prime, atunci, $p$ fiind impar, $s$ este par, deci $s = 2$ și $p + 2$ este prim. (3 p)
Așadar căutăm numerele $p$ pentru care $p - 2$ , $p$ și $p + 2$ sunt simultan prime. Analizăm restul împărțirii lui $p$ la 3:
- dacă $p = M_{3}$ (multiplu de 3), cum $p$ este prim, $p = 3$ , dar $p - 2 = 1$ nu este prim — nu se poate; (3 p)
- dacă $p = M_{3} + 1$ , atunci $p + 2 = M_{3} + 3 = M_{3}$ , iar $p + 2 > 3$ , deci $p + 2$ nu este prim — nu se poate; (3 p)
- dacă $p = M_{3} + 2$ , atunci $p - 2 = M_{3}$ ; cum $p - 2$ este prim, $p - 2 = 3$ , deci $p = 5$ și $p + 2 = 7$ este prim. Astfel $5 = 3 + 2 = 7 - 2$ este singurul număr simultan primsum și primdif. (3 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Răspuns: a) cel mai mare primsum de două cifre este 73, cel mai mic primdif de trei cifre este 101; b) singurul număr este 5.

Problema 2 (22,5 puncte · scrierea în baza 10, divizibilitate)

Determinați numerele naturale de trei cifre $\overset{―}{a b c}$ cu proprietatea că, după eliminarea unei cifre, se obține un număr egal cu produsul cifrelor numărului $\overset{―}{a b c}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: după eliminarea unei cifre rămâne un număr de două cifre, deci produsul cifrelor este cel puțin 10. Rezultă că $a \cdot b \cdot c \geq 10$ , așadar $a$ , $b$ și $c$ sunt cifre nenule.

Simplificare: notăm cu $a, b$ (în această ordine) cifrele care rămân și cu $c$ cifra eliminată. Condiția devine $a \cdot b \cdot c$ $= \overset{―}{a b}$ . Dacă cifrele $a, b, c$ verifică această egalitate, atunci toate cele trei numere care se scriu cu ele păstrând ordinea lui $a$ și $b$ , anume $\overset{―}{a b c}$ , $\overset{―}{c a b}$ și $\overset{―}{a c b}$ , verifică cerința (eliminăm cifra $c$ ). (*) (3 p)
Din $a \cdot b \cdot c$ $= \overset{―}{a b}$ $= 10 \cdot a + b$ rezultă că $a ∣ b$ (pentru că $a$ divide $a \cdot b \cdot c$ și $10 \cdot a$ ) și $b ∣ 10 \cdot a$ . (3 p)
Atunci $b = a \cdot k$ , cu $k$ natural nenul, și $a \cdot k ∣ 10 \cdot a$ , deci $k ∣ 10$ . Cum $b = 10 a$ nu este cifră, rămân trei cazuri: $k = 5$ , $k = 2$ și $k = 1$ .
Cazul I: $k = 5$ : $b = 5 a$ , deci $a = 1$ și $b = 5$ ; din $1 \cdot 5 \cdot c = 15$ obținem $c = 3$ . Soluțiile sunt 153, 315, 135. (3 p)
Cazul II: $k = 2$ : $b = 2 a$ , deci $a \cdot 2 a \cdot c$ $= 10 a + 2 a$ $= 12 a$ , de unde $a \cdot c = 6$ . Posibilități:
- $a = 1$ , $c = 6$ , $b = 2$ : din observația (*), numerele 126, 612, 162 sunt soluții; (3 p)
- $a = 2$ , $c = 3$ , $b = 4$ : soluțiile 234, 324, 243; (3 p)
- $a = 3$ , $c = 2$ , $b = 6$ : soluțiile 326, 362, 236; (3 p)
- ( $a = 6$ ar da $b = 12$ , care nu este cifră.)
Cazul III: $k = 1$ : $a = b$ , deci $a \cdot a \cdot c$ $= 11 \cdot a$ , adică $a \cdot c = 11$ , imposibil dacă $a$ și $c$ sunt cifre (11 este prim). (3 p)

Observație (din barem): pentru abordările de tipul „eliminăm, pe rând, cifrele $a$ , $b$ , respectiv $c$ ” se acordă 3 puncte pentru demonstrația afirmației $k ∣ 10$ și câte 6 puncte analizei complete a fiecărui caz.

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Verificare: $1 \cdot 5 \cdot 3 = 15$ (din 153 eliminăm 3); $3 \cdot 6 \cdot 2 = 36$ (din 362 eliminăm 2). ✓

Răspuns: 12 numere: 126, 135, 153, 162, 234, 236, 243, 315, 324, 326, 362, 612.

Problema 3 (22,5 puncte · puteri, resturi, cuburi perfecte)

Aflați numerele naturale $a$ și $b$ , știind că $3^{a} + 3^{b} + 2$ este un cub perfect.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: ne uităm la restul împărțirii la 9. Un cub perfect poate avea doar una dintre formele $M_{9}$ , $M_{9} + 1$ sau $M_{9} + 8$ . (Dacă $n = 3 k$ , atunci $n^{3} = 27 k^{3} = M_{9}$ ; dacă $n = 3 k + 1$ , atunci $n^{3}$ $= 27 k^{3} + 27 k^{2} + 9 k + 1$ $= M_{9} + 1$ ; dacă $n = 3 k + 2$ , atunci $n^{3}$ $= 27 k^{3} + 54 k^{2} + 36 k + 8$ $= M_{9} + 8$ .)

Expresia este simetrică în $a$ și $b$ , deci putem presupune $a \geq b$ . Analizăm cazurile:

$a \geq b \geq 2$ : atunci $3^{a} = M_{9}$ și $3^{b} = M_{9}$ , de unde $3^{a} + 3^{b} + 2 = M_{9} + 2$ , care nu este cub perfect. (6 p)
$a \geq 2$ , $b \leq 1$ : atunci $3^{b} + 2$ este 3 sau 5, deci $3^{a} + 3^{b} + 2$ este de forma $M_{9} + 3$ sau $M_{9} + 5$ — nu este cub perfect. (6 p)
$a = b = 1$ : $3^{1} + 3^{1} + 2 = 8 = 2^{3}$ , cub perfect. (6 p)
$a \leq 1$ , $b = 0$ : obținem $3 + 1 + 2 = 6$ sau $1 + 1 + 2 = 4$ , care nu sunt cuburi perfecte. (3 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Răspuns: $a = b = 1$ ( $3 + 3 + 2 = 8 = 2^{3}$ ).

Problema 4 (22,5 puncte · joc, paritate, strategie)

Pe o tablă sunt scrise primele 22 de numere naturale nenule. Numim mutare alegerea a două numere de pe tablă, unul par și celălalt impar, ștergerea acestor numere de pe tablă și scrierea lor în propriul caiet.

Doi copii, Ana și Bogdan, joacă un joc, alternativ, începând cu Ana. Când îi vine rândul, fiecare jucător poate face fie una, fie două mutări, cu condiția să nu facă același număr de mutări în oricare două runde consecutive. Câștigător este acela care reușește ca, la finalul unei runde, suma numerelor scrise în caietul său să fie egală cu 100.

Arătați că unul dintre cei doi jucători are o strategie de câștig indiferent de alegerile făcute de celălalt jucător.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Vom arăta că Ana are strategia câștigătoare. Pentru început, facem două observații:

La fiecare mutare, suma numerelor alese de un jucător este număr impar (par + impar = impar). (3 p)
Niciunul dintre copii nu poate câștiga după doar două runde ale sale. Dacă începe cu o mutare în prima rundă, trebuie să facă obligatoriu două mutări în a doua rundă, iar dacă începe cu două mutări, în a doua rundă face obligatoriu o singură mutare. Deci, după 2 runde, fiecare copil a ales exact 3 perechi. Suma numerelor dintr-o pereche este impară, deci suma numerelor celor 3 perechi este tot impară, așadar diferită de 100. (6 p)

Strategia Anei. Ana face inițial o singură mutare; apoi trebuie să continue cu 2 mutări în a doua rundă și cu o mutare în a treia, ajungând la 4 perechi după primele 3 runde ale sale. Cum Bogdan nu poate câștiga după doar 2 runde, Ana poate câștiga în a treia sa rundă dacă reușește ca cele 4 perechi alese să însumeze 100. (3 p)

Există 10 perechi par–impar dintre numerele de pe tablă care au suma 25:

25 = 22 + 3 = 21 + 4 = 20 + 5 = 19 + 6 = 18 + 7

= 17 + 8 = 16 + 9 = 15 + 10 = 14 + 11 = 13 + 12.

(3 p)

Ana alege de fiecare dată una dintre aceste perechi. Până la a treia rundă a Anei, Bogdan a jucat exact 2 runde, deci a șters exact 6 numere, care „strică” cel mult 6 dintre cele 10 perechi. Ana a folosit deja 3 perechi, deci rămâne disponibilă cel puțin $10 - 6 - 3 = 1$ pereche pentru ultima ei mutare. Astfel Ana alege 4 perechi cu suma 25, iar $25 \cdot 4 = 100$ , deci Ana câștigă (după primele două runde ale ei avea doar 25, respectiv 75). (6 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Răspuns: Ana (cea care începe) are strategie de câștig: alege numai perechi cu suma 25 și câștigă în a treia sa rundă.

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) 73 și 101; b) 5
2	126, 135, 153, 162, 234, 236, 243, 315, 324, 326, 362, 612
3	$a = b = 1$
4	Ana are strategie de câștig (perechi cu suma 25)

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Numere prime, paritate, resturi la împărțirea cu 3	fișă divizibilitate
2	Scrierea în baza 10, divizibilitate, analiză pe cazuri	fișă operații cu numere naturale
3	Puteri, resturi la împărțirea cu 9	fișă puteri
4	Jocuri, paritate, strategie	fișă metode aritmetice

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a V-a? Patru probleme: numere prime „primsum” și „primdif”, numere de trei cifre la care eliminarea unei cifre dă produsul cifrelor, aflarea lui $a$ și $b$ pentru care $3^{a} + 3^{b} + 2$ este cub perfect și un joc cu numerele de la 1 la 22 în care trebuie găsită o strategie de câștig.

Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2026? Subiectul are 4 probleme. Conform baremului oficial din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2026? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale SSMR, publicate pe site-ul SSMR (ssmr.ro) după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2026 — clasa a VI-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a; aceeași clasă, etapa județeană: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a V-a; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 5-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a V-a — subiecte și soluții

Problema 1 (22,5 puncte · numere prime)

Problema 2 (22,5 puncte · scrierea în baza 10, divizibilitate)

Problema 3 (22,5 puncte · puteri, resturi, cuburi perfecte)

Problema 4 (22,5 puncte · joc, paritate, strategie)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe