Olimpiada de matematică 2022 județeană, clasa a VI-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a VI-a?

Patru probleme: numerele n - 1, 2n - 1, n² + 3 prime sau compuse, perechi de mulțimi A și B cu produsele elementelor lui A în B, ecuația 2^a + 2^b + 2^c = 1 · 2 · · d și un triunghi cu puncte exterioare D, E în care se demonstrează perpendicularități.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2022, etapa județeană, clasa a VI-a (sâmbătă, 26 martie 2022), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: la problema 1 singura valoare este $n = 4$ ; perechile de mulțimi sunt $({2, 6, 12}, {12, 24, 72})$ și $({2, 3, 6}, {6, 12, 18})$ ; ecuația $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = d!$ are trei soluții; la geometrie $A$ este ortocentrul triunghiului $P D E$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 26 martie 2022, toți elevii de clasa a VI-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 2 ore (conform regulamentului specific ONM 2022). Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate s-au calificat la etapa națională din aprilie 2022 (Constanța pentru clasele V–VI, Iași pentru clasele VII–VIII).

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · numere prime și compuse, resturi la 3)

Considerăm numerele naturale $n - 1$ , $2 n - 1$ și $n^{2} + 3$ , unde $n \geq 3$ este un număr natural.

a) Arătați că există o singură valoare a lui $n$ pentru care toate numerele considerate sunt prime.

b) Arătați că există o infinitate de valori ale lui $n$ pentru care toate numerele considerate sunt compuse. (Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Analizăm restul lui $n$ la împărțirea cu 3 ( $M_{3}$ = multiplu de 3).

Dacă $n = M_{3}$ , atunci $n^{2} + 3 = M_{3}$ și $n^{2} + 3 > 3$ , deci $n^{2} + 3$ nu este prim. (1 p)
Dacă $n = M_{3} + 2$ , atunci $2 n - 1 = M_{3}$ și $2 n - 1 > 3$ , deci $2 n - 1$ nu este prim. (1 p)
Dacă $n = M_{3} + 1$ și $n \geq 7$ , atunci $n - 1 = M_{3}$ și $n - 1 > 3$ , deci $n - 1$ nu este prim. (1 p)
Singura posibilitate ca numerele considerate să fie prime este $n = 4$ , caz în care obținem numerele prime 3, 7, 19. (1 p)

Pentru $n$ impar și $n > 3$ , numerele $n - 1$ și $n^{2} + 3$ sunt pare și mai mari decât 2, deci nu sunt prime. (1 p)
Dacă, în plus, $n = M_{3} + 2$ și $n > 2$ , atunci nici $2 n - 1$ $= 2 (M_{3} + 2) - 1$ $= M_{3}$ nu este prim (fiind mai mare decât 3). Astfel, pentru $n = M_{6} + 5$ (adică $n = 5, 11, 17, \dots$ — o infinitate de valori), toate numerele considerate sunt compuse. (2 p)

Exemplu: pentru $n = 5$ obținem $4$ , $9$ și $28$ , toate compuse ✓.

Răspuns: a) $n = 4$ (numerele 3, 7, 19); b) de exemplu toate numerele $n = 6 k + 5$ , $k \in N$ .

Problema 2 (7 puncte · mulțimi, produse de elemente)

Determinați perechile $(A, B)$ de mulțimi care au elementele numere naturale nenule și care verifică simultan următoarele proprietăți:

fiecare din mulțimile $A$ și $B$ are trei elemente;
mulțimea $A \cap B$ are exact un element;
$6 \in A$ și $12 \in B$ ;
dacă $x, y \in A$ și $x \neq y$ , atunci $x \cdot y \in B$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $A = {a, b, c}$ , cu $a < b < c$ . Produsele $a b < a c < b c$ sunt trei numere diferite din $B$ , iar $B$ are trei elemente, deci $B = {a b, a c, b c}$ . Dacă $a = 1$ , atunci $b$ și $c$ ar fi ambele în $A \cap B$ , contradicție; deci $a > 1$ . Atunci $a b > b$ , deci elementele lui $B$ sunt mai mari decât $a$ și $b$ , iar elementul comun al mulțimilor $A$ și $B$ nu poate fi decât $c = a b$ . (2 p)
Dacă $a = 6$ , atunci $a \cdot b > 36$ , $a \cdot c > 36$ , $b \cdot c > 36$ , în contradicție cu $12 \in B$ . (1 p)
Dacă $b = 6$ , atunci: dacă $a \geq 3$ , obținem o contradicție asemănătoare cu cea precedentă (toate produsele sunt cel puțin $3 \cdot 6 = 18$ ); dacă $a = 2$ , atunci $a b = 12 = c$ , $A_{1} = {2, 6, 12}$ și $B_{1} = {12, 24, 72}$ . (2 p)
Dacă $c = 6 = a b$ , atunci $a = 2$ , $b = 3$ , $A_{2} = {2, 3, 6}$ și $B_{2} = {6, 12, 18}$ . Soluțiile sunt $(A_{1}, B_{1})$ și $(A_{2}, B_{2})$ . (2 p)

Verificare: ${2, 6, 12} \cap {12, 24, 72}$ $= {12}$ și ${2, 3, 6} \cap {6, 12, 18}$ $= {6}$ ✓.

Răspuns: $(A, B)$ $= ({2, 6, 12}, {12, 24, 72})$ sau $(A, B)$ $= ({2, 3, 6}, {6, 12, 18})$ .

Problema 3 (7 puncte · puteri ale lui 2, factorial, ultima cifră)

Determinați numerele naturale nenule $a, b, c, d$ pentru care $a \leq b \leq c$ și

2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot d .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $(a, b, c, d)$ o soluție. Rezultă $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} \geq 6$ , deci $d \geq 3$ . (1 p)
Deducem că 3 divide $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot d$ $= 2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ (*). Pentru $n$ număr natural avem $2^{n} = M_{3} + 1$ sau $2^{n} = M_{3} + 2$ , după cum $n$ este par sau impar. Astfel, relația (*) este posibilă doar dacă $a, b, c$ au aceeași paritate (suma resturilor trebuie să fie $1 + 1 + 1$ sau $2 + 2 + 2$ ). (2 p)
Dacă $n \in N^{*}$ , atunci ultima cifră a lui $2^{n}$ este 4 sau 6 dacă $n$ este par și 2 sau 8 dacă $n$ este impar. Astfel, ultima cifră a numărului $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ nu poate fi 0 (din trei cifre din ${4, 6}$ sau din trei cifre din ${2, 8}$ nu obținem o sumă terminată în 0). Cum $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot d$ se termină în 0 pentru $d \geq 5$ , rezultă $d \leq 4$ . (2 p)
Pentru $d = 3$ : $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 6$ dă soluția $(1, 1, 1, 3)$ , iar pentru $d = 4$ : $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 24$ dă soluțiile $(2, 2, 4, 4)$ ( $4 + 4 + 16$ ) și $(3, 3, 3, 4)$ ( $8 + 8 + 8$ ). (2 p)

Răspuns: $(a, b, c, d) \in {(1, 1, 1, 3), (2, 2, 4, 4), (3, 3, 3, 4)}$ .

Problema 4 (7 puncte · unghiuri, triunghiuri isoscele, ortocentru)

Considerăm triunghiul $A B C$ cu unghiul $∠ B A C$ ascuțit. Construim în exteriorul triunghiului punctele $D$ și $E$ astfel încât $A D = A C$ , $A E = A B$ , $D$ și $B$ sunt de aceeași parte a dreptei $A C$ , $E$ și $C$ sunt de aceeași parte a dreptei $A B$ și $∠ D A C$ $= ∠ B A E$ $= 120^{\circ} + \frac{2}{3} ∠ B A C$ . Fie $P$ intersecția dreptelor $B E$ și $C D$ . Demonstrați că:

a) dreptele $A E$ și $C D$ sunt perpendiculare;

b) dreptele $P A$ și $D E$ sunt perpendiculare.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie ${F} = A E \cap C D$ și $∠ B A C = 3 a$ , deci $∠ D A C$ $= ∠ B A E$ $= 120^{\circ} + 2 a$ .

Triunghiul $D A C$ este isoscel ( $A D = A C$ ), deci $∠ A C F$ $= \frac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ D A C)$ $= \frac{1}{2} (180^{\circ} - 120^{\circ} - 2 a)$ $= 30^{\circ} - a$ . (1 p)
$∠ C A E$ $= ∠ B A E - ∠ B A C$ $= 120^{\circ} + 2 a - 3 a$ $= 120^{\circ} - a$ , deci $∠ C A F$ $= 180^{\circ} - ∠ C A E$ $= 180^{\circ} - (120^{\circ} - a)$ $= 60^{\circ} + a$ . (1 p)
În triunghiul $A F C$ : $∠ A F C$ $= 180^{\circ} - ∠ C A F - ∠ A C F$ $= 180^{\circ} - (60^{\circ} + a) - (30^{\circ} - a)$ $= 90^{\circ}$ , deci $E A ⊥ C D$ . (1 p)

Analog (schimbând rolurile: $D \leftrightarrow E$ și $C \leftrightarrow B$ ) obținem $D A ⊥ B E$ . (2 p)
Din relațiile $E A ⊥ P D$ și $D A ⊥ P E$ rezultă că $A$ este intersecția a două înălțimi ale triunghiului $P D E$ , adică ortocentrul triunghiului $P D E$ . Deci și a treia înălțime trece prin $A$ : $P A ⊥ D E$ . (2 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $n = 4$ (3, 7, 19); b) de exemplu $n = 6 k + 5$
2	$({2, 6, 12}, {12, 24, 72})$ și $({2, 3, 6}, {6, 12, 18})$
3	$(1, 1, 1, 3)$ , $(2, 2, 4, 4)$ , $(3, 3, 3, 4)$
4	demonstrații: $∠ A F C = 90^{\circ}$ ; $A$ este ortocentrul triunghiului $P D E$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Numere prime și compuse, resturi la împărțirea cu 3	fișă divizibilitate
2	Mulțimi, intersecție, produse de elemente	fișă mulțimi
3	Puteri ale lui 2, divizibilitate, ultima cifră	fișă divizibilitate · fișă recapitulare algebră
4	Unghiuri, triunghiul isoscel, înălțimi	fișă triunghiul isoscel · fișă unghiuri

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a VI-a? Patru probleme: numerele $n - 1$ , $2 n - 1$ , $n^{2} + 3$ prime sau compuse, perechi de mulțimi $A$ și $B$ cu produsele elementelor lui $A$ în $B$ , ecuația $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot d$ și un triunghi cu puncte exterioare $D$ , $E$ în care se demonstrează perpendicularități.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022? La clasa a VI-a, timpul de lucru a fost de 2 ore pentru 4 probleme (clasele V–VI: 2 ore, clasele VII–VIII: 3 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022? Enunțurile, soluțiile și baremul de corectare sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România (SSMR), împreună cu Ministerul Educației, în documentul „soluții și bareme” pentru fiecare clasă (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa județeană 2022: clasa a V-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Subiectele mai noi: etapa județeană 2023, clasa a VI-a · olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VI-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 6-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 26 martie 2022): enunțurile, soluțiile și baremul — clasa a VI-a, publicate de SSMR (ssmr.ro). Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a VI-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · numere prime și compuse, resturi la 3)

Problema 2 (7 puncte · mulțimi, produse de elemente)

Problema 3 (7 puncte · puteri ale lui 2, factorial, ultima cifră)

Problema 4 (7 puncte · unghiuri, triunghiuri isoscele, ortocentru)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe